专题训练13：求函数的解析式精练30题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

专题训练13 求函数的解析式 一、单选题 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可得答案. 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令代换，因为为偶函数，为奇函数，则，与俩式相加即可. 【详解】令代换，则， 因为为偶函数，为奇函数， 则上式化为：， 又， 俩式相加，得. 故选：C 4．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 5．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解. 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6．（19-20高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案. 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 7．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 二、多选题 8．（20-21高一上·湖南常德·期中）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可． 【详解】， 化简得 两式相加得，解得 故，A正确，B错误； 又，则，C正确，D错误； 故选：AC 9．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 三、填空题 10．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数，，则 . 【答案】 【分析】由已知的函数解析式，代入法求复合函数的解析式. 【详解】函数，，则. 故答案为： 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】先求出函数解析式，进而求解结论. 【详解】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】（） 【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可. 【详解】函数，令，则，所以 则函数化为 所以（）. 故答案为：（）. 13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，且，则 . 【答案】4 【分析】求出的解析式，再由求的值. 【详解】，所以， 由得. 故答案为：4 14．（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【分析】赋值法得到，，求出函数解析式. 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 15．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【详解】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 16．（18-19高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 四、解答题 17．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据配凑法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）， 故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 18．（23-24高一上·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用配凑法即可得函数解析式. （2）利用待定系数法即可得到结论. 【详解】（1）， 所以. （2）由是一次函数，设，， 则， 则，，解得，，或，， 所以或. 19．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性； (2)解不等式. 【答案】(1)，函数在上是增函数 (2) 【分析】（1）根据，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析式即可判断和证明； （2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故， 又，故，则， 时，，所以为奇函数， 故. 在上是增函数，理由如下， 设，则， 因为，所以，且，则， 则，即， 所以函数在上是增函数； （2）等价于， 又在是单调增函数，故可得， 解得，即不等式的解集为. 20．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 21．（22-23高一上·辽宁·期中）解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1) 设，代入已知条件得，列出不等式组求解即可； (2) 用-代替，消去即可. 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 解得， 所以； （2）解：因为，① 用-代替，得，② 由①×3-②×2得， 所以. 22．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案； （2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域． 【详解】（1）令，则， 所以， 所以的解析式为； （2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，， 因为当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，，所以的值域为. 24．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数，且， (1)求解析式； (2)判断并证明函数在区间的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）依题意可得，，解方程即可得函数解析式； （2）利用函数单调性的定义法判断即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，解得：，， 所以函数解析式为：. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 由（1）知， 取任意、，令， 则 因为，所以， 又，则，， 所以，则， 所以，即， 所以， 即函数在区间上单调递增. 25．（23-24高一上·安徽滁州·期中）（1）已知函数满足为奇函数，函数为偶函数，求的解析式； （2）已知函数满足，判断在上的单调性并用定义证明. 【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析. 【分析】（1）利用奇偶性得到的方程组，求解可得； （2）以替换，构造另一个等式，联立解方程组可得. 【详解】（1）为奇函数， . ①. 为偶函数， . ② ①+②，得， . （2），① 把用替换，得，② 由①②得， . 判断：在上单调递减. 证明：设任取，且， 则， ，则， ， 在上单调递减. 26．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 27．（22-23高一上·贵州遵义·期中）已知函数对于一切实数x，y，都有成立，且当时，． (1)求． (2)求的解析式． (3)若函数，试问是否存在实数a，使得的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）令可得答案； （2）令可得答案； （3），令，记函数，然后分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）令，则， 解得或（舍去），所以． （2）令，则，． 所以的解析式为． （3）由，即． 令，记函数，对称轴为． ①当，即时，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，在上单调递减， 所以，解得，符合题意． 综上，存在，使得的最小值为． 28．（21-22高一上·山东德州·期中）已知函数满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用代替x得到的式子与原式组成方程组，求解函数解析式； （2）根据单调性定义证明. 【详解】（1）由 用代替x可得，，. ，联立方程，解得：. （2）证明：任取，且， . 因为，且，所以，， 故，即， 所以在上单调递减. 29．（23-24高一上·江苏·期中）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）换元法解出函数解析式即可； （2）根据判别式讨论的范围即可. 【详解】（1）因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②， 联立①②可得 （2）即 ①，即，解集为R                          ②，即，解集为                            ③，即，解集为或 30．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练13 求函数的解析式 一、单选题 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（19-20高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（20-21高一上·湖南常德·期中）已知满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数，，则 . 11．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 12．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，且，则 . 14．（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 15．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 16．（18-19高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，则 . 四、解答题 17．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 18．（23-24高一上·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 19．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性； (2)解不等式. 20．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 21．（22-23高一上·辽宁·期中）解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 22．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 24．（23-24高一上·山东济南·期中）已知函数，且， (1)求解析式； (2)判断并证明函数在区间的单调性. 25．（23-24高一上·安徽滁州·期中）（1）已知函数满足为奇函数，函数为偶函数，求的解析式； （2）已知函数满足，判断在上的单调性并用定义证明. 26．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 27．（22-23高一上·贵州遵义·期中）已知函数对于一切实数x，y，都有成立，且当时，． (1)求． (2)求的解析式． (3)若函数，试问是否存在实数a，使得的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 28．（21-22高一上·山东德州·期中）已知函数满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上的单调性． 29．（23-24高一上·江苏·期中）已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 30．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$