3.1.2函数的单调性（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

3.1 函数的概念及性质 3.1.2 函数的单调性 第3章 函数 问题引入 情境与问题：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律. 如果我们以表示时间间隔(单位：)，表示记忆保持量，则不难看出，图中，是的函数，记这个函数为. 新知探索 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 情境与问题中的函数反映出记忆的如下规律：随着时间间隔的增大，记忆保持量将减小. 新知探索 给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过. 如图，从正比例函数的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即随着的增大而增大；从反比例函数的图象可以看出，在和内，这个函数的函数值都随着的增大而减小. 新知探索 尝试与发现： 怎样用不等式符号表示“随着的增大而增大”“随着的增大而减小”. 一般地，设函数的定义域是，且： (1)如果对任意，，当时，都有，则称在上是增函数(也称在上单调递增)，如图所示. (2)如果对任意，，当时，都有，则称在上是减函数(也称在上单调递减)，如图所示. 新知探索 两种情况下，都称函数在上具有单调性(当为区间时，称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，在上是增函数；在上是减函数，在上也是减函数. 想一想：能否说在定义域内是减函数？为什么？ 新知探索 尝试与发现： 如图所示的函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是____函数，在上是____函数，在上是____函数. 增 减 增 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 例题 例1 求证：函数在上是减函数. 证明：任取且，则，那么 ， 从而. 因此，函数在上是减函数. 新知探索 一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，而称为的最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，而称为的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值. 例题 例2 判断函数的单调性，并求这个函数的最值. 解：任取且，则，那么 ， 所以这个函数是_____函数. 因此，当时，有， 从而这个函数的最小值为_____，最大值为______. 增 2 23 例2的结论也可由不等式的知识得到： 因为，所以，，即，其余同上. 新知探索 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，， 当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在. 直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度. 若记，相应的，则当时，斜率可记为. 如图所示，直线的斜率即为中与的比.另外，图中，直线的斜率大于零，而直线的斜率小于零. 新知探索 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或不存在.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在. 尝试与发现：如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 新知探索 可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0. 一般地，若是函数的定义域的子集，对任意且， 记，，(即)，则： (1)在上是增函数的充要条件是在上恒成立； (2)在上是减函数的充要条件是在上恒成立. 新知探索 一般地，当时，称为函数在区间 (时)或(时)上的平均变化率. 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性. 例如，对于函数来说，对任意且，有 ， 因此在上是_____函数. 减 例题 例3 求证：函数在区间和上都是减函数. 证明：设，那么. 如果，则， 此时，所以函数在上是减函数. 同理，函数在上也是减函数. 例题 例4 判断一次函数的单调性. 解：设，那么. 因此，一次函数的单调性取决于的符号：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数. 新知探索 特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质.事实上，如果，设时函数值为， 则，即，因此一定是一次函数.正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数. 例4说明，一次函数的图象上任意两点确定的直线斜率均为，这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线.不仅如此，此时从还可以看出，，这就意味着在一次函数中，与成正比，且比例系数为. 新知探索 例如，如果向给定的容器倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度是时间的函数. 当容器是如图所示(1)的圆柱时，在固定的时间内，应该是常数，因此函数的图象是如图所示(2)的一条线段. 新知探索 当容器是如图所示(1)的圆台时，由容器的形状可知，在固定的时间内，随着的增加，应该越大，因此函数的图象是如图所示(2)的一条线段. 例题 例5 证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求出这个函数的最值. 证明：设，则. 因此：当时，有，从而， 因此在上是减函数； 当时，有，从而， 因此在上是增函数. 例题 例5 证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求出这个函数的最值. 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且， 当时，有，当时，不等式也成立，因此是函数的最小值. 新知探索 用类似的方法可以证明，二次函数的单调性为： (1)当时，在上单调递减，在上单调递增，函数没有最大值，但有最小值； (2)当时，在上单调递___，在上单调递___，函数没有最___值，但有_______________________. 增 减 小 最大值 当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于对称的抛物线与开口方向看出来. 练习 题型一：判断（证明）函数的单调性） 例1.证明函数 在区间上是减函数. 证明： ( 所以， 又由，得 于是 所以，函数在区间上单调递增. 练习 变1.(1)(多选)下列四个函数在区间上是增函数的是（ ）. 答案：CD. 变2.试用函数单调性的定义证明： 在上是减函数. （解答思路同例1） 练习 题型二：图象法求函数的单调区间 例2.画出函数 的图象，并指出函数的单调区间. 解：函数图象如图所示： 由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 练习 变2.将例2中的 改为,则如何求解. （解答思路同例2） 图象法求函数单调区间的步骤： （1）作图； （2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间. 练习 题型三：函数单调性的应用 例3.函数是R上的增函数且,则（ ）. A. B. C. D. 解：据题意，暂不能得出的正负.现假设： ，则有： ,. 而是R上的增函数 ∴, ∴.故选C. 练习 变3.已知函数. (1)若上是增函数，求的范围. 解：(1)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 所以有，即 练习 变3.已知函数. (2)若的单调区间是，求的范围. 解：(2)∵， ∴ 由二次函数的性质知，在上单调递增， 若的单调区间是，则有，即 练习 题型四：图象法求函数的最值） 例4.已知函数 (1)在直角坐标系中画出的图象； (2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域. 解(1)：的图象如图所示： (2)：由的图象知： 函数的单调增区间为：，; 单调减区间为： 值域为：. 练习 利用图象求函数最值的方法： (1)画出函数的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. 练习 变4(1).函数,则的最大值和最小值分别是_____________. 答案：和.（画出草图即可根据图象求解） 变4(2).设函数,则( ). A.有最大值 有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 答案：D 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数单调性的定义； (2)函数最值的定义； (3)函数单调性的判断(图象法、定义法). 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P107的练习，练习； (3)课本P115的习题的第6、7、8题；习题的第6、7题；习题的第1、2题. 谢谢学习 Thank you for learning $$