专题04 双曲线与抛物线【6大经典基础题+6大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题04 双曲线与抛物线 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 双曲线的定义 · 题型02、 双曲线的方程 · 题型03、 双曲线的几何性质 · 题型04、 双曲线的渐近线 · 题型05、抛物线的定义 · 题型06、抛物线的方程 【优选提升题】 · 题型01、双曲线的离心率问题 · 题型02、双曲线的弦长问题 · 题型03、双曲线的定值、定点问题 · 题型04、抛物线的弦长问题 · 题型05、抛物线的定值、定点问题 · 题型06、圆锥曲线的综合问题 双曲线的定义 1．（21-22高二上·广东深圳·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 2．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东江门·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·广东广州·期中）点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．5 5．（21-22高二上·广东江门·期中）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 . 双曲线的方程 6．（21-22高二上·广东广州·期中）是双曲线的上焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线下支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为 ． 7．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的虚半轴长为1，半焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东广州·期中）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 10．（20-21高二上·广东广州·期中）已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为 . 双曲线的几何性质 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4 12．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线C的方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．渐近线方程为 C．顶点坐标为， D．焦距为 13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（    ） A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距为3 14．（22-23高二上·广东江门·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的值可能为5 C．的离心率为3 D．的值可能为9 15．（21-22高二上·广东深圳·期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（    ） A．与共轭的双曲线是 B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率为，则 D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上 双曲线的渐近线 16．（20-21高二下·广东深圳·期中）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线（其中O为坐标原点），点B为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 17．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（    ） A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为 20．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 抛物线的定义 21．（20-21高二上·广东深圳·期中）如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 22．（23-24高二上·广东江门·期中）已知线段是抛物线的一条弦，且中点M在上，则点A横坐标最大值为 23．（21-22高二上·广东中山·期中）如图，过抛物线的焦点作直线，与抛物线及其准线分别交于，，三点，若，则直线的方程 ，的面积是 ． 24．（20-21高二下·广东揭阳·期中）抛物线：的准线为，过焦点的直线与相交于A，两点，分别过A，作准线的垂线，垂足分别为，，与的面积分别为，，且，则的面积为 . 25．（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 抛物线的方程 26．（21-22高二上·广东广州·期中）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为 . 27．（19-20高二下·广东江门·期中）若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 ． 28．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 29．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程. 30．（20-21高二上·海南·期末）已知抛物线经过点. （Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标； （Ⅱ）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值. 双曲线的离心率问题 31．（21-22高二上·广东中山·期中）已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）． A． B． C．3 D．2 32．（21-22高二上·广东广州·期中）已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（    ） A． B．的离心率等于 C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 34．（22-23高二下·广东揭阳·期中）现有双曲线，，为双曲线的左、右顶点，，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为2，则双曲线的离心率为 . 35．（2022·广东韶关·一模）双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率 ；若点在双曲线右支上，则的取值范围是 . 双曲线的弦长问题 36．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 37．（21-22高二上·广东广州·期中）已知双曲线过点，焦距为，． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由． 38．（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 双曲线的定值、定点问题 39．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 40．（22-23高二上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切. (1)求动圆圆心M的轨迹方程E； (2)是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由. 41．（2021·江苏徐州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且. （1）求C的方程； （2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值. 抛物线的弦长问题 42．（23-24高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 43．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 44．（21-22高二上·广东江门·期中）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)抛物线的准线过双曲线的左顶点，斜率为1的直线过双曲线的右顶点且交抛物线于两点，求. 抛物线的定值、定点问题 45．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知抛物线：的准线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线交抛物线于A､B两点，求的值.（其中点为坐标原点，，分别为直线OA､OB的斜率） 46．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 47．（2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 圆锥曲线的综合问题 48．（23-24高二上·广东中山·期中）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.当点运动时，设点的轨迹为E. (1)求点的轨迹方程； (2)已知过点的直线分别交E于和，且两直线的斜率之积为1，设的中点分别为，探究轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点；若不存在，说明理由. 49．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 50．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 51．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 52．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线与抛物线 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 双曲线的定义 · 题型02、 双曲线的方程 · 题型03、 双曲线的几何性质 · 题型04、 双曲线的渐近线 · 题型05、抛物线的定义 · 题型06、抛物线的方程 【优选提升题】 · 题型01、双曲线的离心率问题 · 题型02、双曲线的弦长问题 · 题型03、双曲线的定值、定点问题 · 题型04、抛物线的弦长问题 · 题型05、抛物线的定值、定点问题 · 题型06、圆锥曲线的综合问题 双曲线的定义 1．（21-22高二上·广东深圳·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 【答案】B 【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积. 【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点， 则①，②，， 可得①②2：， ∴是直角三角形， ①②：，． 故选：B 2．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率可得，根据双曲线定义推出，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由题意双曲线C的离心率为，焦点为F1、F2，点A在C上， 故不妨设为左、右焦点，由可知A在双曲线右支上， 则，故， 由于双曲线C的离心率为，则，即， 在中， ， 故选：B 3．（22-23高二上·广东江门·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得 ，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解. 【详解】由题可知，，求得， 对由余弦定理可得 ，即， 即，因为，解得， 又， 即，解得，， 所以的周长为. 故选：A 4．（21-22高二上·广东广州·期中）点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】设点在双曲线的右支上，则，，结合已知条件可得，，代入可得关于、的齐次方程，转化为关于的二次方程即可求解. 【详解】设点在双曲线的右支上，则，， 因为，所以，， 因为，所以是直角三角形，所以 所以，即， 所以，解得：或（舍）， 所以此双曲线的离心率是， 故选：D. 5．（21-22高二上·广东江门·期中）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 . 【答案】17 【分析】根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离. 【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故. 因为点与一个焦点的距离等于1，而， 故点与该焦点同在轴的上方或下方， 故点与另一个焦点的距离为， 故答案为：. 双曲线的方程 6．（21-22高二上·广东广州·期中）是双曲线的上焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线下支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】连接，根据圆和正三角形性质可知，为含有的，再利用双曲线定义得到的关系，可求出双曲线离心率. 【详解】如图连接， 是圆的直径，，， 又是等边三角形，， 在中：，， 由双曲线的定义得 双曲线的离心率为． 故答案为： 7．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为， 所以可设C的方程为， 把点的坐标代入得， 所以C的方程为，即. 故选：B. 8．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的虚半轴长为1，半焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法结合题意求得双曲线方程，进而求得渐近线方程. 【详解】依题意，设双曲线方程为， 则由双曲线的几何性质易得，故， 故双曲线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：B. 9．（23-24高二上·广东广州·期中）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程、双曲线方程以及圆的方程的概念求解. 【详解】 对A,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形不是一个圆，故A错误； 对B,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对C,当时，曲线方程为，即，所以曲线表示的图形是一个圆，故C正确； 对D，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故D正确； 故选:BCD. 10．（20-21高二上·广东广州·期中）已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且， 根据双曲线的定义，由题可得：，即，故， 则所求所曲线方程为：. 故答案为：. 双曲线的几何性质 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4 【答案】AD 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为， 所以A正确，B、C不正确； 又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点， 不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：AD. 12．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线C的方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．渐近线方程为 C．顶点坐标为， D．焦距为 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断. 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴，所以， 所以实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，故B正确； 顶点坐标为，，故C错误； 焦距为，故D错误. 故选：AB. 13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（    ） A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距为3 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求出，然后逐个分析判断即可 【详解】双曲线，焦点在轴上，其中， 所以渐近线方程，故A正确； 离心率为，故C正确； 顶点坐标为，故B错误； 焦距为，故D错误， 故选：AC. 14．（22-23高二上·广东江门·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的值可能为5 C．的离心率为3 D．的值可能为9 【答案】BCD 【分析】由双曲线标准式确定，可判断A，C是否正确，由双曲线第一定义可判断B，D正确性. 【详解】由的标准式可确定： ， 故C正确，A错误； 由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以BD正确. 故选：BCD 15．（21-22高二上·广东深圳·期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（    ） A．与共轭的双曲线是 B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率为，则 D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上 【答案】CD 【分析】根据共轭双曲线的定义可判断A；分别求得互为共轭的双曲线的渐近线判断B；根据双曲线离心率定义可得，即，即可结合基本不等式推得，判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D. 【详解】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误； 对于B，的渐近线方程为， 的渐近线方程也为，二者相同，B错误； 对于C，由题意可得， 故， 由于，故，即， 当且仅当时等号成立，C正确； 对于D，的焦点坐标为， 其共轭双曲线的焦点坐标为， 显然这4个焦点在以原点为圆心，为半径的圆上，D正确， 故选：CD 双曲线的渐近线 16．（20-21高二下·广东深圳·期中）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线（其中O为坐标原点），点B为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线， 渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为， 即， 正方形的边长为2， ，即， 则， 即， 则，， 故选：． 17．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则. 椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即， 则，解得，，则双曲线C的方程为. 故选：B. 18．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 【答案】BD 【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】解：由双曲线，可得，则， 对于A中，设点的坐标为， 其中，则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确； 对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到的距离为，所以B正确； 对于C中，由由双曲线的近线方程为， 要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确； 对于D中，设点的坐标为，则，可得， 又由，则， 所以D正确. 故选：BD. 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线，下列对双曲线判断正确的是（    ） A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】根据方程求出的值，即可得出双曲线的性质. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，. 对于A项，实轴长，虚轴长为，故A正确； 对于B项，焦距为，故B错误； 对于C项，离心率，故C项正确； 对于D项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为. 整理可得，.故D项正确. 故选：ACD. 20．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 抛物线的定义 21．（20-21高二上·广东深圳·期中）如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：与抛物线焦点有关的距离问题可以转化为与准线有关的距离计算问题. 22．（23-24高二上·广东江门·期中）已知线段是抛物线的一条弦，且中点M在上，则点A横坐标最大值为 【答案】2 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】由题意，设， 由抛物线范围可知，， 所以如图，    当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图，    当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故答案为：2. 23．（21-22高二上·广东中山·期中）如图，过抛物线的焦点作直线，与抛物线及其准线分别交于，，三点，若，则直线的方程 ，的面积是 ． 【答案】 【分析】结合已知条件，利用抛物线定义求出直线的斜率，然后利用点斜式即可求解；利用点到直线的距离公式求出的高，然后利用面积公式求解即可. 【详解】不妨设准线与轴交于点，过作，垂足为，连接，如下图： 由题意可知，， 因为， 所以， 由抛物线定义可知，，则， 从而， 设直线的倾斜角为， 因为， 所以，故， 从而直线的方程为：，即； 不妨设，， 由， 则， 由抛物线定义可知，， 因为到直线的距离， 所以. 故答案为：；. 24．（20-21高二下·广东揭阳·期中）抛物线：的准线为，过焦点的直线与相交于A，两点，分别过A，作准线的垂线，垂足分别为，，与的面积分别为，，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】设，，，先证明，由可得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】如图，设，，，则，. 因为， 所以， 所以. 由余定理得，. 因为，， 所以， 即， 所以， 故的面积为. 故答案为：4. 25．（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的准线求出椭圆的焦点，得到的值，再根据的关系，求出的值即可. 【详解】抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，即， 又，所以. 所以长轴长为：. 故选：D 抛物线的方程 26．（21-22高二上·广东广州·期中）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为 . 【答案】5 【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果． 【详解】解：抛物线的准线方程为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 设点，，，，的中点为，， 则，， 两式相减得， 即， 又因为，两点关于直线对称， 所以， 解得，可得， 则， 故答案为：5． 27．（19-20高二下·广东江门·期中）若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】解：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为， 设的坐标，且， 又， ，整理得，解得或（舍去）， 所以由抛物线的定义可得． 故答案为： 28．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦点坐标求方程； （2）根据双曲线的渐近线方程进行求解. 【详解】（1）由题意，且，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2），焦点在轴上， 故渐近线方程为 29．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程. 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）根据抛物线的几何性质，得出方程，即可求解； （2）根据题意，设所求直线方程为，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，列出方程求得，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，抛物线的焦点为，可得，所以. （2）解：由（1）知，抛物线方程为， 因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为， 又由焦点为，可设所求直线方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，可得， 则 又因为，即，解得，即， 所以所求直线方程为或. 30．（20-21高二上·海南·期末）已知抛物线经过点. （Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标； （Ⅱ）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知； （2）设出点坐标，根据切线长相等以及切线垂直于半径将四边形的面积表示为，然后根据三角形面积公式将其表示为，根据点到点的距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，即； （2）设，因为为圆的切线，所以，且， 所以， 又因为， 所以， 当时，四边形的面积有最小值且最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据圆的切线的性质将四边形面积转化为三角形的面积，再通过三角形的面积公式将其转化为二次函数求最值的问题模型，对于转化的技巧要求较高. 双曲线的离心率问题 31．（21-22高二上·广东中山·期中）已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）． A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线和抛物线的焦点重合,建立双曲线和抛物线基本量之间的关系,再通过过双曲线左焦点且与一条渐近线平行的直线与抛物线相切,设直线联立抛物线方程,判别式等于零,建立等式,求出双曲线离心率. 【详解】解:抛物线的焦点, 双曲线的右焦点为, 由题意可得,, 双曲线的渐近线方程为,不妨取, 设过左焦点的直线方程为 联立,得, 由题意,, 可得,取, 又直线与平行, ,可得双曲线的离心率, 所以离心率为. 故选:B． 32．（21-22高二上·广东广州·期中）已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（    ） A． B．的离心率等于 C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2 【答案】ABD 【分析】对于A选项，根据条件及双曲线的定义得出且，化简运算即可判断A；对于B选项，在中，由条件可求出，，并结合双曲线的定义，从而可求出离心率，即可判断B；对于C选项，先求出的周长为，设的内切圆为，再根据三角形的等面积法得出，从而可判断C；对于D选项，根据条件可设，结合离心率得出，再利用两点坐标求斜率的公式，化简计算求出的值，从而可判断D. 【详解】解：对于A，如图所示，直线的倾斜角为，且轴， 则且，所以，故A正确； 对于B，在中，，直线的倾斜角为， 则，， 所以，得，故B正确； 对于C，的周长为：， 设的内切圆为，根据三角形的等面积法可知， ，解得：， 所以是与有关的式子，故C错误； 对于D，由于A，关于原点对称，可设， 根据，得， 所以当斜率存在时，， 因为A，在双曲线上，所以，即，得：， 所以，故D正确. 故选：ABD. 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及直角三角形的性质可得答案. 【详解】因为直线l过且方向向量为，所以倾斜角为，即，如图， 连接，由定义可得,， 因为，所以， 取AB中点Q，则，且， 中，由，可得， 所以， 中，由勾股定理可得，即离心率. 故答案为：    34．（22-23高二下·广东揭阳·期中）现有双曲线，，为双曲线的左、右顶点，，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据条件，设，由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程,并判断出动点的轨迹为圆.结合题意，当点位于最高点时，的面积最大，可求出；当点位于左端时，的面积最小，可求出，进一步计算即可. 【详解】设 依题意得，, 即 两边平方化简得 则点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 当点位于最高点时，的面积最大，最大面积为 解得 当点位于最左端时，的面积最小，最小面积为， 解得 故双曲线的离心率 故答案为： 35．（2022·广东韶关·一模）双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率 ；若点在双曲线右支上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当直线轴时，表达出P，Q两点坐标，从而利用斜率之比求出，求出离心率；（2）设出直线，联立方程，得到两根之和，两根之积，表达出，由渐近线方程求出，进而求出的取值范围. 【详解】当轴时，， 所以，从而，所以； 由题意知，.设直线的方程为， 联立，整理得： 又 故 所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故. 故答案为：， 双曲线的弦长问题 36．（23-24高二上·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先设出双曲线的方程，代入已知点，求待定系数可得； （2）设出直线的的点斜式，与双曲线方程联立，转化为方程组有两解的问题解决； （3）结合（2）的结论，先根据中点坐标求出斜率的值，再判断是否符合（2）中的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 37．（21-22高二上·广东广州·期中）已知双曲线过点，焦距为，． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1). (2)存在，直线为或. 【分析】（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程； （2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程. 【详解】（1）由题设，，又在双曲线上， ∴，可得， ∴双曲线C的方程为. （2）由（1）知：， 直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意； 设直线为，， 联立双曲线方程可得：， 由题设， ∴，，则. 要使△构成以为顶角的等腰三角形，则， ∴的中点坐标为， ∴，可得或， 当时，，不合题意，所以，直线l：， ∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形. 38．（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得，整理得M的轨迹方程； （2）直线方程为代入得由弦长公式求. 【详解】（1）设，由已知得， 整理得，即动点M的轨迹方程为； （2）由已知条件得直线方程为， 由与消y得 ，∴直线与双曲线有两个交点， 设，则 所以. 故线段的长. 双曲线的定值、定点问题 39．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    40．（22-23高二上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切. (1)求动圆圆心M的轨迹方程E； (2)是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，过定点 【分析】（1）由题意得，则动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，可得，即可得出结果； （2）设直线为，代入，并整理得，设，由题知，即，结合韦达定理求得，代入直线方程即可得出答案. 【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径， 设动圆的半径为，   动圆与圆内切，与圆外切，， ，且， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ， 动圆圆心的轨迹方程E为：. （2）设直线为， 把代入，并整理得， ，即， 设，则， ，所以 ， 所以， ，，， ， ，即，解得或， 当时，直线为，过，不合题意，舍去； 当时，直线为，过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 41．（2021·江苏徐州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且. （1）求C的方程； （2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点的坐标求c,再根据双曲线定义求a,即可求解； （2）设直线l方程为，直接求出的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化简即可求解. 【详解】（1）设，，其中. 因为，所以， 解得或，又，故. 所以，即. 所以. 所以C的方程为. （2）设，，则. 设直线l方程为，与双曲线C方程联立， 消去y得，. 由，得. ，. 所以. 所以 . 所以为定值. 【点睛】关键点点睛：设直线l方程为，联立直线与双曲线方程，消元，由韦达定理可得，，计算斜率化简是解题关键，属于中档题. 抛物线的弦长问题 42．（23-24高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A 43．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 【答案】AD 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 44．（21-22高二上·广东江门·期中）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)抛物线的准线过双曲线的左顶点，斜率为1的直线过双曲线的右顶点且交抛物线于两点，求. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）设双曲线的方程为，再由求解； （2）易得双曲线的左、右顶点分别为和，从而得到抛物线方程和直线方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）解：椭圆的焦点为， 设双曲线的方程为，即， 依题得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左、右顶点分别为和， 所以， 抛物线的方程为， 直线的方程为，且过抛物线的焦点， 联立消去得：， 设， 则 抛物线的定值、定点问题 45．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知抛物线：的准线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线交抛物线于A､B两点，求的值.（其中点为坐标原点，，分别为直线OA､OB的斜率） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得即可求出； （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出. 【详解】（1）因为准线过点，则，解得， 所以抛物线的标准方程为； （2）显然直线斜率不为0，则可设方程为，设， 联立方程，得， 则，， 则. 46．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案； （2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点. 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为, 则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得， 所以. 所以，即，所以； 所以方程为， 故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以. 所以的方程为， 整理得， 所以，即， 所以直线恒过定点. 47．（2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值； （2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标． 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即， 因为的面积为4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，． 当直线l斜率为0时，不适合题意； 当直线l斜率不为0时，设直线，设，， 由，得， 则，，， 因为直线PA，PB的斜率之和为， 所以，即， 所以，所以 ，整理得， 所以直线， 令，解之得，所以直线l过定点． 圆锥曲线的综合问题 48．（23-24高二上·广东中山·期中）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.当点运动时，设点的轨迹为E. (1)求点的轨迹方程； (2)已知过点的直线分别交E于和，且两直线的斜率之积为1，设的中点分别为，探究轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，和 【分析】（1）结合椭圆的定义求解即可； （2）设直线（），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及中点坐标公式可得点坐标，同理可得点坐标，进而得直线方程，从而得恒过定点，再由求解即可. 【详解】（1）解：由已知可知 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆， 所以， 则E的方程； （2）解：存在轴上存在定点和使得，理由如下： 设直线（）， 联立， 可得，， 则， 所以，， 所以 ， 设，同理可得 ， 所以 所以直线 整理得    所以恒过定点， 设点到直线的距离分别是 所以， 所以和. 【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线类的题目，联立直线方程和曲线方程，结合韦达定理求解即可. 49．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和顶点坐标求解出的值，根据求解出的值，则的标准方程可求； （2）联立直线与椭圆方程得到对应坐标的韦达定理形式，根据得到斜率之间的关系，结合解不等式即可. 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以， 又因为焦点在轴上且为顶点，所以， 所以，所以的标准方程为； （2）设，的中点为， 联立，得， 所以， 且，即， 又因为的中点坐标为，即为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 50．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C上任意一点，利用该点与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值，列式求得，结合c的值，即可求得的值，即得答案. （2）设直线l方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，进而求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意知椭圆C：焦距为6，即， 设椭圆C上任意一点（异于长轴端点），则， 长轴的两顶点坐标为，由题意得， 即，则， 即，结合，解得， 故曲线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率不为0，，设直线l方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 则，， 故 ， 当且仅当，即时取等号， 故S的最大值为. 51．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程； （2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为； （2）①当直线斜率为0时，； ②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，， ，则，, 故，， ； 综上所述：. 52．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴时，，，设，利用三角形面积公式求解； （2）设出直线，然后与双曲线的方程联立，再结合根与系数的关系，从而可求解. 【详解】（1）当轴时，不失一般性，不妨设 ， 由题得，则，则双曲线的方程为， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线，，，， 联立双曲线方程，得， 于是，得， 由于直线，令，则， 由于， 那么，于是 ， 令，则，那么， 从而. 故的取值范围为.    【点睛】关键点睛：（2）问中合理设出直线的方程并与双曲线联立，然后结合根与系数关系并利用换元法求出的取值范围. 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