第二十五章 概率初步（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第25章 概率初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．实心铁球投入水中会沉入水底 B．数学老师颜值很高 C．将油滴入水中，油会浮在水面上 D．早上的太阳从西方升起 【答案】B 【分析】结合题意，根据随机事件的性质分析，即可得到答案． 【详解】实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件； 数学老师颜值很高，是随机事件； 将油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件； 早上的太阳从西方升起，是不可能事件； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握随机事件的性质，从而完成求解． 2．在一个不透明的盒子里装有个黄色、个蓝色和个红色的小球，它们除颜色外其他都完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个球，摸出的小球为红色的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率. 【详解】解：∵盒子中一共有3+2+4=9 个球，红色的球有4个 ∴摸出的小球为红色的概率为 故选D 【点睛】此题主要考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=. 3．掷一枚质地均匀的硬币20次，下列说法正确的是（　　） A．每2次必有1次正面向上 B．必有10次正面向上 C．不可能有20次正面向上 D．可能有10次正面向上 【答案】D 【分析】根据事件发生可能性的大小逐项判断即得答案. 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币20次，每2次必有1次正面向上，说法错误； B、掷一枚质地均匀的硬币20次，必有10次正面向上，说法错误； C、掷一枚质地均匀的硬币20次，不可能有20次正面向上，说法错误； D、掷一枚质地均匀的硬币20次，可能有10次正面向上，说法正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，正确理解题意是关键. 4．现有四根长3 cm、4 cm、7 cm、9 cm的木棒，任取其中的三根，首尾相连后，能组成三角形的概率为（ ） A． B． C．． D． 【答案】D 【详解】试题分析：任意取三根共有4种情况，能组成三角形的有3cm、7cm、9cm和4cm、7cm、9cm两种情况，然后根据概率的计算法则进行计算. 考点：概率的计算. 5．下列说法错误的是（   ） A．任意两奇数之和是一个偶数，是必然事件 B．若一组数据0，，x，1，2的最大值与最小值的差为4，则x的值一定是 C．若一组数据9，9，x，9的方差为0，则 x的值为 9 D．调查某省中学生心理健康现状采用抽样调查 【答案】B 【分析】此题主要考查了必然事件，极差，方差的意义，抽样调查及普查，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点．根据必然事件，极差，方差的意义，抽样调查及普查，分别判断即可． 【详解】解：A．任意两奇数之和是一个偶数，是必然事件，故选项正确，不符合题意； B．∵一组数据0，，x，1，2的最大值与最小值的差为4， ∴当最大时，则，解得：， 当最小时，则，解得：， 故选项错误，符合题意； C．若一组数据9，9，x，9的方差为0，则 x的值为 9， 故选项正确，不符合题意； D．调查某省中学生心理健康现状采用抽样调查，故选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为． 故选：C． 7．如图所示的正方形中，四边形是正方形，为，为，小鸟任意落下， 落在阴影中的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】求出阴影部分的面积和总面积,阴影部分和总面积的比便是小鸟落在阴影部分的概率:（2×2＋3×3）÷（2＋3）2＝13÷25＝,故本题选择D. 8．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解． 【详解】解：， 由①得，x≤a， 由②得，x＞， 可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解； 解分式方程得， x=， 当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解， 当a取-1时，分式方程x=2是增根． 综上，a取-3时，符合题意，P=． 故选A． 【点睛】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键． 9．背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数的四个结论．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（    ） 该函数的顶点位于第二象限 当时，随的增大而增大 与坐标轴有2个交点 若点，，在该函数图像上，则 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式及二次函数的性质，利用二次函数确定正确的结论，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：，且 ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴该函数的顶点位于第一象限，当时，随的增大而增大，与坐标轴有3个交点， ∵点，，在该函数图像上， ∴， ∴四张卡片中有张卡片是正确的， ∴随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是， 故选：D 10．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设， ， ∴， 解得：，， ∴M部分面积与整个圆面积的比：， ∴等于， 故选A． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在围棋盒中有4颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是，则n的值 ． 【答案】6 【分析】由题意根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可列方程求解. 【详解】解：∵围棋盒中有4颗黑色棋子和n颗白色棋子， ∴棋子的总个数为4+n， ∵从中随机摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率为， ∴ 解得，n＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数的比值是解题的关键. 12．“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答． 【详解】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 因为a是实数， 所以|a|≥0． 故答案为：必然事件． 【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 13．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中有5个白球，个黑球，若随机从袋子里摸出一个球，记录下颜色后再放回袋子中并摇匀，下面一定次数内摸出白球的次数见下表： 摸球次数 20 50 100 200 摸出白球的次数 6 13 26 50 则可以推测的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：摸出白球的概率为：， ∴， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为： 14．有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为 ． 【答案】 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中， 平行四边形，圆是中心对称图形， ∴从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 15．在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ． 【答案】． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有6种等可能的结果，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，能组成分式的有4个， ∴能组成分式的概率是 故答案为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，可证为等边三角形，先求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：连接、交于点，设半径为1， ∵，， ∴为等边三角形， ∵为弦，为半径， ∴垂直平分， 在中，，， ，， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，几何概率，根据图形作出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）有20张写有数字的卡片（除数字外其他均相同），正面的数字分别是1，2，3，...,19，20，将卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机摸出1张，摸出的卡片上的数字恰为质数的概率是多少？这个数值表示什么意义？ 【答案】，这个数值表示的意义是如果摸很多次，那么平均每5次就有2次摸出质数． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，概率的意义，质数的定义，先根据质数的定义得出质数的数量，再根据概率公式计算出摸出的卡片上的数字恰为质数的概率，再根据概率的意义回答即可． 【详解】解：在1，2，3，...，19，20这20个数中，有2，3，5，7，11，13，17，19，一共有8个质数， ∴摸出的卡片上的数字恰为质数的概率是， 这个数值表示的意义是如果摸很多次，那么平均每5次就有2次摸出质数． 18．（8分）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案； （2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案． 【详解】（1）∵c＝2b﹣1， ∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0． ∵==≥0, ∴方程一定有两个实数根． （2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 画树状图如下： 由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种， ∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=． 【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键． 20．（8分）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的 张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为，按表格要求确定奖项． 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 (1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率； (2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 【答案】(1)，树状图见解析 (2)不一定，理由见解析 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）运用列表法活画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解； （2）根据抽取结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况， ∴甲同学获得一等奖的概率为： ； （2）解：不一定，当两张牌都是时，，不会有奖． 21．（8分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． (1)请你估计箱子里白色小球的个数； (2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1； (3)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)估计箱子里白色小球的个数为1 (2)取出的两个球的颜色不同的概率 (3)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为，证明见解析 【分析】（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率，得到摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可； （2）先画出树状图，得到所有的等可能性的结果数，然后找出符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （3）同（2）原理求出即可得到答案． 【详解】（1）解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右， 估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估计箱子里白色小球的个数为1； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图克重一共有12种等可能性的结果数，其中取出的两个球的颜色不同的结果数有6种， ∴取出的两个球的颜色不同的概率； （3）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，一共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， ∴取出的两个球的颜色不同的概率， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据频率估计概率，树状图法求解概率，熟练掌握树状图法求解概率是解题的关键． 22．（10分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 23．（10分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 24．（12分）如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 【答案】(1) (2)如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用及加权平均数，概率所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）分别算出一次抽奖和两次抽奖获奖平均金额与付出资金的比，比较即可求得答案． 【详解】（1）解：转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份． ∴ （2）解：如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖，理由如下： ∵转盘被等分成个扇形，所以每种结果出现的可能性相同，共有种等可能的结果．其中获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份，获得元奖励的占了份． ∴，，，，， ∴抽一次平均获得奖励元， ∴不再购买元获奖金额与付出资金比为，再购买元获奖金额与付出资金比为， ∵， ∴如果是我，我会选再购买元的商品参加两次次抽奖 25．（14分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元 【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字； （2）根据题意画树状图，即可解答； （3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答． 【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份）， 对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12． 故答案为：12； （2）树状图如下：     根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况， ∴小芳选择“”组合的概率为； （3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元， 平均利润为：（元），    ∵，因此应调低午餐单价；                                    ②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元． 【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 概率初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．实心铁球投入水中会沉入水底 B．数学老师颜值很高 C．将油滴入水中，油会浮在水面上 D．早上的太阳从西方升起 2．在一个不透明的盒子里装有个黄色、个蓝色和个红色的小球，它们除颜色外其他都完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个球，摸出的小球为红色的概率为（  ） A． B． C． D． 3．掷一枚质地均匀的硬币20次，下列说法正确的是（　　） A．每2次必有1次正面向上 B．必有10次正面向上 C．不可能有20次正面向上 D．可能有10次正面向上 4．现有四根长3 cm、4 cm、7 cm、9 cm的木棒，任取其中的三根，首尾相连后，能组成三角形的概率为（ ） A． B． C．． D． 5．下列说法错误的是（   ） A．任意两奇数之和是一个偶数，是必然事件 B．若一组数据0，，x，1，2的最大值与最小值的差为4，则x的值一定是 C．若一组数据9，9，x，9的方差为0，则 x的值为 9 D．调查某省中学生心理健康现状采用抽样调查 6．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的正方形中，四边形是正方形，为，为，小鸟任意落下， 落在阴影中的概率为（   ）． A． B． C． D． 8．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A． B． C． D． 9．背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数的四个结论．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（    ） 该函数的顶点位于第二象限 当时，随的增大而增大 与坐标轴有2个交点 若点，，在该函数图像上，则 A． B． C．1 D． 10．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．在围棋盒中有4颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是，则n的值 ． 12．“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 13．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中有5个白球，个黑球，若随机从袋子里摸出一个球，记录下颜色后再放回袋子中并摇匀，下面一定次数内摸出白球的次数见下表： 摸球次数 20 50 100 200 摸出白球的次数 6 13 26 50 则可以推测的值为 ． 14．有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为 ． 15．在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ． 16．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）有20张写有数字的卡片（除数字外其他均相同），正面的数字分别是1，2，3，...,19，20，将卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机摸出1张，摸出的卡片上的数字恰为质数的概率是多少？这个数值表示什么意义？ 18．（8分）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 20．（8分）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的 张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为，按表格要求确定奖项． 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 (1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率； (2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 21．（8分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． (1)请你估计箱子里白色小球的个数； (2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1； (3)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论． 22．（10分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 23．（10分）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 24．（12分）如图，节日期间，某商场为吸引顾客，开展购物抽奖活动：一可自由转动的圆盘被平均分成个扇形，每个扇形标有数字，顾客一次性购物每满元可免费转动圆盘一次，当圆盘自动停止时，指针所指区域数字，即为商场奖励给顾客的金额数．某顾客一次性购物元．请问： (1)他转动一次转盘获得元奖励的概率是多少？ (2)如果是你，是参加一次抽奖还是再购买元的商品参加两次次抽奖？做出你的选择并简单说明你的理由． 25．（14分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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