第二十五章 概率初步（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第25章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列事件是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若是实数，则 【答案】D 【分析】必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行分析即可得答案． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上，这一事件可能发生也可能不发生，是随机事件，故不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中十环，这一事件可能发生也可能不发生，是随机事件，故不符合题意； C、打开电视频道，正在播放足球赛，这一事件可能发生也可能不发生，是随机事件，故不符合题意； D、若是实数，则，这一事件是必然事件，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．在一个不透明的袋子中装有2个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有9种等可能的情况，其中两次都摸到红色的小球的情况数有4种， ∴两次都摸到红色的小球的概率是． 故选：C． 3． 下列说法中，正确的是（    ） A．不可能事件在一次实验中也可能发生 B．可能性很小的事件在一次实验中一定发生 C．可能性很大的事件在一次实验中是必然发生 D．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 【答案】D 【分析】根据不可能事件在一次实验中不可能发生，可能性很小或很大的事件在一次实验中都有可能发生，进行判断即可作答． 【详解】A.不可能事件在一次实验中不可能发生，原说法错误，不符合题意； B.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生，原说法错误，不符合题意； C.可能性很大的事件在一次实验中有可能发生，原说法错误，不符合题意； D.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件的有关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 4．绕口令：四是四，十是十，十四是十四，四十是四十，共有16个汉字，任选一个汉字，这个字是“四”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据频率的概念即可得出结论． 【详解】解：∵这句含有16个汉字的绕口令中，“四”出现了6次， ∴出现的频率为 ． 故选C． 【点睛】本题考查的是频数与频率，熟知频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）是解答此题的关键． 5．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案． 【详解】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之和为0的情况有两种， 即两次记录的数字之和为0的概率是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解． 6．甲，乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制的统计图如图所示，则最符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，向上的一面是1点 B．从装有2个白球和1个红球的袋子中任取一个球，取到红球 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．抛一枚硬币，出现正面朝上 【答案】B 【分析】根据图像判断此概率趋近于，因此选择概率为的即可． 【详解】A．掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项不符合题意； B．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：，故此选项符合题意． C．任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； D．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题考查图标的数据分析，解题关键是看懂图像，概率接近于． 7．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：C． 8．有一枚质地均匀的正四面体骰子，它四个面上分别有数字1、2、3、4，如图2，正五边形的顶点A处有一个点M．点M按以下规则跳动，每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，点M就沿正五边形的边按逆时针方向连续跳几个边长，随机掷两次正四面体骰子后，点M位于点C处的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出两次掷的数字之和为2或7时，点M位于点C处，根据概率的公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：两次掷的数字之和为7或2时，点M位于点C处，列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 由表格可知：共有16种等可能的结果，其中两次掷的数字之和为2或7的结果由3种，故所求概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率，解题的关键是判断出两次掷的数字之和为7或2时，点M位于点C处． 9．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别．某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】直接利用概率公式计算得出答案． 【详解】解：∵不透明的布袋中有2个红球和3个白球，∴从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了概率公式，正确应用公式计算是解题的关键． 12．投掷三次硬币，前两次均正面朝上，则第三次正面朝上的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据概率的计算方法求解即可． 【详解】解：∵投掷硬币有正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能， ∴第三次正面朝上的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的计算，解题的关键是掌握概率的计算方法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 13．新疆地区气候干燥，是我国三大棉花产地之一，盛产高品质长绒棉．在某品种长绒棉种子发芽率实验中，研究所工作人员选取条件基本相同的试验田，同时播种并核定发芽率，得到如下数据： 测试棉花 种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000 10000 发芽粒数 98 192 478 953 1902 4758 9507    则该品种长绒棉种子的发芽率约是 （结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】根据表格中实验次数较多的发芽率得出结果即可． 【详解】∵根据表格中的数据可知，大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.95左右， ∴该品种长绒棉种子的发芽率约是0.95． 故答案为：0.95． 【点睛】本题主要考查了用频率来估计概率，掌握当重复实验的次数越多时，频率越接近概率是解题的关键． 14．一个不透明的布袋中，装有红、白两种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，为估计袋中白色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色放回，再次搅匀…100次试验发现摸到红球20次，则估计白色小球的数目是 个． 【答案】32 【分析】先根据摸到红球的频率是20%，求出红、白两种小球共8÷20%＝40（个），从而推出白色小球的数目． 【详解】解：∵100次试验发现摸到红球20次， ∴摸到红球的频率是20%， ∴红、白两种小球共8÷20%＝40（个）， ∴白色小球的数目 40﹣8＝32（个）， 故答案为32． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据题目中给出频率可知道概率，从而可求出黄色小球的数目是解题关键． 15．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为 ． 【答案】 【分析】利用P（A）=，进行计算概率. 【详解】从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4=16，故出他们”心有灵犀”的概率为． 故答案是：. 【点睛】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式． 16．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由题意得，，则，再画树状图求概率即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 画树状图如下， 共有16种等可能的结果，满足的结果有６种， ∴方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为， 故答案为：． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列． (1)从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数； (2)铁块丢入水中后，浮在水面； (3)投掷一枚硬币，落地后反面朝上． 【答案】(1) (2) (3)，可能性从小到大排列为（2）（1）（3） 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键在于掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据共有9个数，是4的倍数的有4和8，再根据概率公式求解，即可得出其上的数字是4的倍数的可能性； （2）铁块丢入水中后，不可能浮在水面，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据硬币只有两个面，结合概率公式即可得出落地后反面朝上的可能性；最后进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：数字中有和两个数为4的倍数， 从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为； （2）解：铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为； （3）解：投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为． ， 可能性从小到大排列为（2）（1）（3）． 18．（8分）吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． (1)“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】(1)不可能 (2)系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位， ∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 19．（8分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是______ (2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算公式和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接根据概率公式进行计算即可． （2）先根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：恰好抽中“论语”的概率是：． 故答案为：． （2）解：根据题意画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有6种， 小明和小红都没有抽到“三字经”的概率为：． 20．（8分）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）． 【分析】（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可； （3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）抽取的总数为：（件）， ∴XXL的百分比：， XL的百分比：； ∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%． （2）根据题意， S号的数量：（件）， L号的数量：（件）， XL号数量：（件）， 补全条形图如图所示． （3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则， 根据概率的意义，有， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21．（8分）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 【答案】(1)400；108° (2)见解析 (3) 【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数； （2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可； （3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率． 【详解】（1）解：样本容量是：； C所占的百分比为：； ∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°． 故答案为：400，108 （2）解：D的数量为：， B的数量为：； 补全条形图如下： （3）解：由题意，树状图如下： ∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能． 所以． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题． 22．（10分）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 【答案】(1)； (2)乙； (3)． 【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键． （）根据平均数的计算方法即可求解； （）根据方差的计算即可求解； （）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则； （2）解：甲班平均分：， 则， 乙班平均分：， 则， 丙班平均分：， 则， ∵ ∴乙整体发挥稳定性最好， 故答案为：乙； （3）列表如下．              第二名 第一名 由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种， ∴（选择同一套图书）． 23．（10分）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数： ①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位； ②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位； ③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位． (1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率； (2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数； (3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值． 【答案】(1)； (2)B点表示的数为-21； (3)x的值为4或6． 【分析】（1）利用概率公式计算即可； （2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可； （3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4， 故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ， 则P(奇数)=， ∴P(B点移动到4)=； （2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位， 当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位， ∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30， 当b=0时，3a-30=0， ∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次， ∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21； （3）解：刚开始AB的距离等于15， 均为偶数时，AB距离缩短3， 均为奇数时，AB距离缩短3， 均为一奇一偶时，AB距离也缩短3， 当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4； 当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6； ∴x的值为4或6． 【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（12分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键． （1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解； （2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 25．（14分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示． （1）求第一班车从入口处到达塔林的时间． （2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）． （3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是多少？ 【答案】（1）10；（2）7；（3）. 【分析】（1）根据题意设y=kx+b，运用待定系数法求解并把y=1500代入即可得出答案； （2）由题意设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可; （3）根据题意求出小聪等车时间不超过3分钟的时间长度，代入概率计算公式，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b， 得，解得， ∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y=150x-3000（20≤x≤38）； 把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30， 30-20=10（分）， ∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟. （2）设小聪坐上了第n班车，则30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5， ∴小聪坐上了第5班车， 即等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分）， 步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分）， 20-（8+5）=7（分）， ∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟． (3)由题意设小聪到达时间为y， 当y在8：37至8：40，或8：47至8：57时，共计6分钟，小聪等车时间不超过3分钟， 又小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车， 故有其概率为：. 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列事件是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若是实数，则 2．在一个不透明的袋子中装有2个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（　　） A． B． C． D． 3． 下列说法中，正确的是（    ） A．不可能事件在一次实验中也可能发生 B．可能性很小的事件在一次实验中一定发生 C．可能性很大的事件在一次实验中是必然发生 D．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 4．绕口令：四是四，十是十，十四是十四，四十是四十，共有16个汉字，任选一个汉字，这个字是“四”的概率是（    ） A． B． C． D． 5．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（ ） A． B． C． D． 6．甲，乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制的统计图如图所示，则最符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，向上的一面是1点 B．从装有2个白球和1个红球的袋子中任取一个球，取到红球 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．抛一枚硬币，出现正面朝上 7．2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 8．有一枚质地均匀的正四面体骰子，它四个面上分别有数字1、2、3、4，如图2，正五边形的顶点A处有一个点M．点M按以下规则跳动，每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，点M就沿正五边形的边按逆时针方向连续跳几个边长，随机掷两次正四面体骰子后，点M位于点C处的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 10．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别．某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是 ． 12．投掷三次硬币，前两次均正面朝上，则第三次正面朝上的概率为 ． 13．新疆地区气候干燥，是我国三大棉花产地之一，盛产高品质长绒棉．在某品种长绒棉种子发芽率实验中，研究所工作人员选取条件基本相同的试验田，同时播种并核定发芽率，得到如下数据： 测试棉花 种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000 10000 发芽粒数 98 192 478 953 1902 4758 9507    则该品种长绒棉种子的发芽率约是 （结果精确到0.01）． 14．一个不透明的布袋中，装有红、白两种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，为估计袋中白色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色放回，再次搅匀…100次试验发现摸到红球20次，则估计白色小球的数目是 个． 15．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为 ． 16．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列． (1)从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数； (2)铁块丢入水中后，浮在水面； (3)投掷一枚硬币，落地后反面朝上． 18．（8分）吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． (1)“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 19．（8分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是______ (2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明． 20．（8分）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 21．（8分）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 22．（10分）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 23．（10分）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数： ①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位； ②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位； ③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位． (1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率； (2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数； (3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值． 24．（12分）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 25．（14分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示． （1）求第一班车从入口处到达塔林的时间． （2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）． （3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过3分钟的概率是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$