第十二章 全等三角形 小专题 角平分线中的尺规作图问题2024-2025学年人教版 数学 八年级上册

数学（人教版）| 八年级（上） 同步练习 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 【小专题——角平分线中的尺规作图问题】 1．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（　　） ①AD平分∠BAC ②AD是△ABC的中线 ③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 4．在下列各题中，属于尺规作图的是（　　） A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线 C．利用三角板画45°的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 6．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等． （不要求写作法，但要保留作图痕迹） 7．如图为一副三角尺，其中∠α＝60°，∠β＝45°，作∠ABC＝120°，∠DEF＝15°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 8．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 9．如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①∠C的角平分线CE； ②BC边上的中线AF． 10．已知：线段a，b，∠α，∠β． 求作： （1）线段AB＝a+b； （2）∠MON＝∠α+∠β．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 11．尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图画一个出来，并说明你的理由． 12．如图，两条公路相交于点O，在交角侧有A、B两个村庄，现在要建一加油站P，使得加油站P到两条公路的距离和到A、B两个村庄的距离相等，请画出加油站P的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． 13． 如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一个定点． （1）尺规作图：在射线DM上方求作∠DEF，使得∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（①　 　）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝②　 　（等式的性质），即AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴③　 　（全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（④　 　）． 14．综合与实践 学习了平行线后，某校七年级数学活动小组甲、乙两同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法． 【动手操作】 甲同学用的是尺规作图的方法（P是直线a外一点，过点P作c∥a．）具体作图步骤如图1所示． 乙同学用的是折纸的方法（P是直线a外一点，直线a与正方形的相邻两边分别相交于A，B，过点P折出EF∥a）．具体折纸步骤如图2所示． 【探究发现】 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学作图中，c∥a的依据是 　 　； （2）写出乙同学每一步的具体做法及EF∥a的依据． 第一步，　 　； 第二步，　 　； 第三步，　 　． EF∥a的依据是 　 　． 答案 1．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（　　） ①AD平分∠BAC ②AD是△ABC的中线 ③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 4．在下列各题中，属于尺规作图的是（　　） A．用直尺画一工件边缘的垂线 B．用直尺和三角板画平行线 C．利用三角板画45°的角 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示，点P即为所求． 6．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等． （不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】解：如图，过O作∠AOB或∠BOC的平分线，与直线MN交于点P，点P即为所求作的点． 7．如图为一副三角尺，其中∠α＝60°，∠β＝45°，作∠ABC＝120°，∠DEF＝15°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，∠ABC，∠DEF即为所求； ． 8．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 【答案】解：如图，点P为所作． 29．如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①∠C的角平分线CE； ②BC边上的中线AF． 【答案】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 10．已知：线段a，b，∠α，∠β． 求作： （1）线段AB＝a+b； （2）∠MON＝∠α+∠β．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：（1）如图所示， 线段AB即为所求； （2）如图所示，∠MON＝∠α+∠β， ∠MON即为所求． 11．尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图画一个出来，并说明你的理由． 【答案】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 12．如图，两条公路相交于点O，在交角侧有A、B两个村庄，现在要建一加油站P，使得加油站P到两条公路的距离和到A、B两个村庄的距离相等，请画出加油站P的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． 【答案】解：如图，点P即为所求． 13． 如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一个定点． （1）尺规作图：在射线DM上方求作∠DEF，使得∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（①　两直线平行，同位角相等　）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝②　AF﹣AD　（等式的性质），即AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴③　∠BAC＝∠DFE　（全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（④　同位角相等，两直线平行　）． 【答案】（1）解：如图，∠DEF即为所求作的角； ． （2）证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（两直线平行，同位角相等）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝AF﹣AD（等式的性质）， ∴AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴∠BAC＝∠DFE（全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，同位角相等；②AF﹣AD；③∠BAC＝∠DFE；④同位角相等，两直线平行． 14．综合与实践 学习了平行线后，某校七年级数学活动小组甲、乙两同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法． 【动手操作】 甲同学用的是尺规作图的方法（P是直线a外一点，过点P作c∥a．）具体作图步骤如图1所示． 乙同学用的是折纸的方法（P是直线a外一点，直线a与正方形的相邻两边分别相交于A，B，过点P折出EF∥a）．具体折纸步骤如图2所示． 【探究发现】 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学作图中，c∥a的依据是 　同位角相等，两直线平行　； （2）写出乙同学每一步的具体做法及EF∥a的依据． 第一步，　沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD　； 第二步，　把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为EF　； 第三步，　把纸片展平，沿折痕画直线EF　． EF∥a的依据是 　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　． 【答案】解：（1）由图1作图可知，∠1＝∠2， ∴c∥a， ∴c∥a的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2）第一步，沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD； 第二步，把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为EF； 第三步，把纸片展平，沿折痕画直线EF． EF∥a的依据是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 故答案为：沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD；把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为EF；把纸片展平，沿折痕画直线EF；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$