精品解析：辽宁省沈阳市第一二〇中学2024-2025学年高一上学期第一次质量监测数学试题

沈阳市第120中学2024—2025学年度上学期 高一年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：魏亚坤 校对人：程跃 一､单选题（本大题共8小题共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象不关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若、且，则、至少有一个大于 B. ， C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 10. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为，无最小值 11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则函数__________. 13. ，，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 14. 设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ； （2） ； （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）试判断函数在上的单调性，并给予证明； （3）试判断函数在的最大值和最小值. 16. 设命题:实数x满足，其中a>0. 命题q:实数x满足 （1）若，且均为真命题，求实数x的取值范围; （2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． （1）求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 18. 已知关于的x不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3）恒成立，求a的取值范围． 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2024—2025学年度上学期 高一年级第一次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：魏亚坤 校对人：程跃 一､单选题（本大题共8小题共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，再根据集合交并补即可得到答案. 【详解】，所以或， 又 所以 故选：A 2. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 3. 若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 4. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 5. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】令，解得或.对两个根进行分类讨论，即，，三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个整数，即可得到答案； 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解， 所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故选：D 6. 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值等进行判断． 【详解】的定义域为，结合函数图像可知，则； 由图像可知，即，得； 由得，即，由图像可知，由则. 故选：C． 7. 已知函数则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题． 8. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象不关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以的图象不是关于原点对称，故A正确； 对于B：由取整函数的定义知，，所以， 函数的值域为，故B正确： 对于C：由取整函数的定义知，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D错误. 故选：D. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若、且，则、至少有一个大于 B. ， C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由反证法即可判断A，举出反例即可判断BC，由一元二次方程根的情况即可判断D. 【详解】假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确； 因为时，，故B错误； 因为，但是，则不一定能推出， 且，但是，所以不一定能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 关于方程有一正一负根， 所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确； 故选：AD 10. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出函数，再对选项逐个判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，设，满足， 此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确； C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误； D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确. 故选：BD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则函数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用配凑法直接求解析式即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. ，，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求的最小值，再求解二次不等式可得结果. 【详解】因为，，且，所以 又，当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值为. 所以有，解得， 故答案为：. 14. 设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ； （2） ； （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过赋值可得，进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和可判断③，由可判断④. 【详解】当时， 令时， ， 因为，所以， 所以，所以①正确； 由①知，，所以有， 任意的且， 因为，则，所以，， 所以，所以在R 上是递减函数，②正确； 因为，在R 上是递减函数，所以当时，，③正确； 因为， 所以，由，与矛盾，④错误. 故答案为：①②③. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）试判断函数在上的单调性，并给予证明； （3）试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域概念求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明； （3）利用函数的单调性和最值关系求解. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 所以 16. 设命题:实数x满足，其中a>0. 命题q:实数x满足 （1）若，且均为真命题，求实数x的取值范围; （2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，根据命题为真列出不等式组求解； （2）根据所给命题间的关系转化为q是p的充分不必要条件，列不等式组求解. 【小问1详解】 由≥0，得≤0，解得.即. 由得， 若，则， 若p∧q为真，则p，q同时为真， 即，解得， ∴实数x的取值范围. 【小问2详解】 由（1）知， 若¬p是¬q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， 又此时. 则有，即 解得. 17. 杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完． （1）求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1） （2）9；9.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式. （2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以： 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元． 当时， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元． 综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元. 18. 已知关于的x不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3）恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 时，解集为； 当时，解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，为方程的两根，由代入法可得所求值； （2）讨论，，，又分，，时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集； （3）由题意可得在恒成立，可得在恒成立，利用换元法求分式型函数最值，结合对勾函数的单调性可得在时取最小值，此时取最大值，可得的范围． 【小问1详解】 不等式化简为的解集为， 可得，为方程的两根， 可得，即； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，，可得解集为； ③若，，可得解集为； 【小问3详解】 恒成立， 等价为在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 令，则， 令，，由对勾函数可知 所以当时取最小值， 此时取得最大值，代入得 ． 即的取值范围是． 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1） （2），理由如下： ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当，即同号时等号成立. 此时，满足； （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可； （2）由题知，进而结合判断即可； （3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可. 【小问1详解】 解： ，，，则， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令，，构造， 所以，即，因此，， 所以， 取等号时，即，结合，解得，， 即，. 所以时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $