21.2.3因式分解 课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

解一元二次方程 12.2.3因式分解法 复习巩固 1、我们学习过哪些解一元二次方程的方法呢？ 3、请分别说出配方法和公式法解一元二次方程的过程 2、请写出一元二次方程的一般形式 配方法、因式分解法 利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; （3）变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为 两个一元一次方程; （5）求解：解一元一次方程; （6）定解：写出原方程的解. 用公式法解一元二次方程的一般步骤 1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、若b2-4ac≥0代入求根公式: (a≠0, b2-4ac≥0)否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=? x＝ 请分别用配方法和公式法解下列一元二次方程 配方法 公式法 的实数根 即 问题引入 1、观察这个方程，你能发现什么？ 2、如果我们提取公因式 解下列一元二次方程 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一 次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这 种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而 右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” 归纳总结 分解因式法解一元二次方程的步骤是: 2.将方程左边因式分解; 3.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次 方程. 4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 1.化方程为一般形式; 一元二次方程的巧解 解方程:x2-3x+2=0. 考查角度1　运用十字相乘法解一元二次方程 例1　 解:原方程可化为(x-1)(x-2)=0， ∴x-1=0或x-2=0,因此x1=1,x2=2. 【解题归纳】一个一元二次方程化为一般形式后,若常数项化为两数之积,且这两数的和正好等于一次项系数,则这个一元二次方程可以用十字相乘法来解. 1.解方程x2+2x-3=0. 解：因式分解,得(x+3)(x-1)=0， 于是有x+3=0 或 x-1=0， ∴x1=1，x2= - 3.　 考查角度2　配方法与因式分解法的综合应用 解方程:x2-4x+1=0. 〔解析〕 利用配方法将前两项配方成完全平方式,然后 再利用平方差公式分解因式. 例2　 解:方程可化为x2-4x+4-4+1=0， 即(x-2)2-3=0。 (x-2+ )(x-2- )=0， ∴x-2+ =0 或x-2- =0， ∴x1=2- ,x2=2+ . 2.解方程:(1)x2-8x+7=0; 解：方程可化为x2-8x+16-16+7=0， 即(x-4)2-9=0， (x-4+3)(x-4-3)=0， 即(x-1)(x-7)=0， ∴x-1=0或x-7=0， ∴x1=1,x2=7。 (2)x2-2x-8=0。 解：方程可化为x2-2x+1-1-8=0， 即(x-1)2-9=0， (x-1+3)(x-1-3)=0， 即(x+2)(x-4)=0， ∴x+2=0或x-4=0， ∴x1=-2,x2=4。 一元二次方程解法的应用 已知2x2+3xy-2y2=0 (xy≠0),求 的值. 考查角度1 一元二次方程与分式方程、分式的综合应用 〔解析〕 求代数式 的值,只需解关于x的一元二次方程,得到x与y的关系式,将x的值(用含y的代数式表示)代入计算,分两种情况讨论,即可得出结论. 例3　 解:由2x2+3xy-2y2=0,得(2x-y)(x+2y)=0, ∴x+2y=0或2x-y=0,即x=-2y或x= y. 当x=-2y时， ∴ 值为 或-3. 3.已知关于x的一元二次方程x2+(k-2)x+2=0的一个根与方程 =3的根相同. (1)求k的值； 解: (1)解方程 =3，　 x+1=3(x-1)， 解得x=2。 经检验,x=2是原方程的根， 将x=2代入方程x2+(k-2)x+2=0,解得k=-1.　 解： (2)由(1)知k=-1,把k=-1代入方程x2+(k-2)x+2=0， 得x2-3x+2=0， 解得x1=1,x2=2. 所以该方程的另一个根是x=1.　 (2)求方程x2+(k-2)x+2=0的另一根. 考查角度2 解含绝对值的一元二次方程 解方程:x2+|x+1|-1=0. 〔解析〕将x+1的取值分为两种情况,去掉绝对值转化为一般一元二次方程求解,然后根据x的范围舍去不合题意的解. 例4　 解:(1)当x+1≥0,即x≥-1时， x2+x+1-1=0， 解得x1=0,x2=-1. x2+x=0， 【解题归纳】解含绝对值的一元二次方程时,需转化 为一般一元二次方程,但要注意检验求得的根是否都符合要求. (2)当x+1<0,即x<-1时 x2-(x+1)-1=0， x2-x-2=0， 解得x1=-1,x2=2。 ∵x<-1,∴x1=-1,x2=2都舍去。 综上所述,原方程的解是 x1=0,x2=-1. 　4.解方程:x2-2|x-2|-4=0. 解:(1)当x-2≥0,即x≥2时,x2-2(x-2)-4=0,x2-2x=0， 解得x1=0,x2=2.∵x≥2,∴x1=0舍去. (2)当x-2<0,即x<2时,x2+2(x-2)-4=0,x2+2x-8=0， 解得x1=-4,x2=2. ∵x<2,∴x2=2舍去. 综上所述,原方程的解是 x1=2,x2=-4. $$