精品解析：福建省宁德市古田县第一中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷

古田一中2024—2025学年高三上第二次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 三、本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最小值为__________. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 14. 用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则__（请用列举法表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合，． （1）当时，求实数的范围； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 16. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若方程有三个不等实根，求实数的取值范围； （2）若，且对，总有，使得，求实数的取值范围． 19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围； （2）若在上的截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古田一中2024—2025学年高三上第二次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数， 又， ， 又是增函数， 则，故充分性成立； 是增函数，， ， 又是增函数， ，故必要性成立. 即“”是“”的充要条件. 故选：. 3. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 4. 已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】是偶函数，故，即， 是奇函数，故，即， 联立，解得， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 6. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 7. 已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性求值，根据复合函数导数法则求导，然后根据导函数的对称行和周期性即可求解. 【详解】为偶函数， ， ， 为奇函数， ， ，即， ， ，即函数的周期为4， ， ， ， ， ，即， 由得， ， . 故选：. 8. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式计算一一判定即可. 【详解】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 11. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D. 【详解】对于A，函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故1是的极小值点，故A正确： 对于B，因为， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，易知的单调性一致，而， 故至多有2个零点，故C错误； 对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误. 故选：AB. 三、本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】##2.25 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与曲线相切于点，写出切线方程，将切点代入两个方程，求出，再设与曲线相切于点，对函数求导，利用切线斜率求出切点，再将其代入，即可求得值. 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得， 因为与曲线相切，所以消去，解得. 设与曲线相切于点，由，得， 即，， 因在曲线上，故， 即，解得. 故答案为： 14. 用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则__（请用列举法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【详解】根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合，． （1）当时，求实数的范围； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，5是集合B的元素，代入可得答案； （2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题可得，则； 【小问2详解】 由题可得是的真子集， 当，则； 当，，则（等号不同时成立），解得 综上，. 16. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【小问1详解】 因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可. 【小问1详解】 函数是偶函数， 故， 即，，故. 【小问2详解】 ，故， 若函数与的图象有且只有一个交点， 即在上只有一个解，故， 即，即， 设 故只有一个解，即， 当时，，则，不符合，故舍去； 当时，函数的对称轴为， 故在单调递减，且，故方程在无解； 当时，函数的对称轴为，且，， 故方程 在上有唯一解，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 18. 已知函数． （1）若方程有三个不等实根，求实数的取值范围； （2）若，且对，总有，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）; 【解析】 【分析】（1）利用一元二次函数与对数函数的性质分析的图像，再将问题转化为的图像与的图像有三个交点，从而结合图像得解； （2）先将问题转化为的值域是的值域的子集，再分别求得与的值域，从而可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，开口向上，对称轴为， 则，， 当时，在上单调递增，且的图像由的图像向下平移两个单位而得， 又因为方程有三个不等实根，所以的图像与的图像有三个交点， 作出与的图像如下： 所以，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以当时，， 因为，则， 若时，当时，，在上为递减函数； 当时，，在上为递增函数； 因为对，总有，使得， 所以，故，故，即； 若，恒成立，不符合题意， 若时，当时，，在上为递增函数； 当时，，在上为递减函数； 因为对，总有，使得， 所以，故，故，故； 综上所述：，所以实数的取值范围为． 19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围； （2）若在上的截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由和消去得， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）由题意转化为无解，判断可得，则，即可求出的取值范围； （2）（i）依题意可得方程在上有两个解，可化为函数在上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调性，求出在上存在两个零点时的取值范围；（ii）由（i）可得和，消去，即可得到，结合的范围即可证明. 【小问1详解】 当时，， 因为在上的截点个数为， 关于的方程无实数解，即无实数解， 易知，所以，解得， 即的取值范围是. 【小问2详解】 （i）当时，， 因为在上的截点为与， 所以关于的方程在上有两个解，， 即在上有两个解，， 不妨设， 令 因为时，，所以在上至多一个解， 若，则，就是的解， 从而，这与题设矛盾. 因此，， 由得，所以， 由得，所以， 当时，方程在上有两个解. （ii）略 【点睛】关键点点睛：令去掉绝对值号，根据一次函数及二次函数的图象与性质，分析函数零点，求出参数的取值范围是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $