平面向量专项小题训练-2025届高三数学二轮复习

新教材2025年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 平面向量 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（新高考北京卷）已知向量，，则“”是“或”的（    ）条件． A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2023秋·烟台统考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.已知为的重心，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7．在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 8.（2023年·全国卷）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．（2024年·河南三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 10．（2024年·山西三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 11.（2023秋·镇江月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．（2024年·江西二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 13．（2024年·长沙三模）在，已知，.则 . 14．（新高考天津卷）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 平面向量 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量 ,a b满足 1, 2 2a a b   ，且  2b a b  ，则 b （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 2．（2024·河南·三模）已知向量 (1, 3)a   ，向量b 在a 上的投影向量为 1 2 a ，则a b （ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（2024·河北衡水·三模）已知 21,ee 是单位向量， 1 2 1 2 e e   ，则 1 22e e 与 2e 的夹角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． 2π 3 4．（新高考北京卷）已知向量a，b ，则“    · 0a b a b   ”是“a b 或a b  ”的（ ）条件． A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2023秋·烟台统考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半 径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形 中，已知 2AB  ， P 为弧 AC 上的点且 45PBC  ，则BP CP 的值为（ ） A．4 2 B．4 2 C． 4 2 2 D． 4 2 2 6.已知G 为 ABC 的重心， 2π 3 A  ， 2AB AC   ，则   21 1 3 3 A CG AB ABA AC   的最小值为（ ） A. 1 8 B. 4 9 C. 1 9 D. 2 3 7．在 ABC 中， 3 2 60 3AB AC BAC AB AF BE EC AE CF    , , ， ， , , 交于点D，则 CD （ ） A． 3 3 B． 3 2 C． 3 3 4 D． 3 8.（2023年·全国卷）已知 O的半径为 1，直线 PA与 O相切于点 A，直线 PB与 O交于 B，C两点，D 为 BC的中点，若 2PO  ，则PA PD 的最大值为（ ） A． 1 2 2 B． 1 2 2 2  C．1 2 D．2 2 2 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．（2024年·河南三模）已知平面向量    , 2 , , 3,4a m m m b   R ，则下列说法正确的有（ ） A． ,a b 一定可以作为一个基底 B． a 一定有最小值 C．一定存在一个实数m使得 a b a b   D． ,a b 的夹角的取值范围是 0,π 10．（2024年·山西三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一 端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成 熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口 ABCDEF，它的边长为 1，点 P 是△DEF 内部（包括边界）的动 点，则（ ） A． 1 2 DE AF AD  B． 3 4 AC BD  C．若 P为 EF的中点，则CP在 EC 上的投影向量为 3EC D． FE FP 的最大值为 7 11.（2023秋·镇江月考）如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， AD CD ， 4AD ， 2BC  ， 2 3CD  ， E 为线段CD 的中点，F 为线段 AB 上一动点（包括端点），EF CD BA   ，则下列 说法正确的是（ ） A. 4AB  B. 若F 为线段 AB 的中点，则 1   C. 3 2    D. FC FD 的最小值为 6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分． 12．（2024年·江西二模）在 ABC 中，已知 3DC BD ， P 为线段 AD的中点，若BP BA BC   ，则 1 1     ． 13．（2024年·长沙三模）在 ABC ，已知 2 2 3 3AB AC AB AC BC   ， B C   .则sin C  . 14．（新高考天津卷）在边长为 1 的正方形 ABCD中，点E 为线段CD的三等分点， 1 , 2 CE DE BE BA BC    ，则   ；若F 为线段BE 上的动点，G 为 AF 中点，则 AF DG 的 最小值为 ． 新教材2025年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 平面向量 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 2．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由向量，可得， 因向量在上的投影向量为， 由题意，，解得. 3．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 4．（新高考北京卷）已知向量，，则“”是“或”的（    ）条件． A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 5.（2023秋·烟台统考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系， 因为，,所以，即， 且所以， 所以， 故选:C. 6.（2023秋·湖北联考）已知为的重心，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 因为G为三角形ABC的重心，所以， 因为，， 所以， 所以， 又 ，当且仅当=时取等号； 故选：D. 7．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：， 又， 故直线的方程：，可得， 所以， 故选：C. 8.（2023·全国卷）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误； 对B：， 故有最小值，故B正确； 对C：若，则有 即，即，即， 解得，即当时，，故C正确； 对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向， 故的夹角不可能为，故D错误. 故选：BC. 10．（2024年·山西三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 11.（2023秋·镇江月考）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的最小值为6 【答案】AC 【解析】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，， 所以，故选项A正确； 建立如图所示平面直角坐标系，则，，，， 选项B，因为为线段的中点，则，，， 所以，由，得到，所以，故选项B错误； 设，则，， 选项C，由，得到，解得，故选项C正确； 选项D，，，所以， 令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．（2024·江西·二模）在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 【答案】 【解析】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 故答案为：． 13．（2024·湖南长沙·三模）在，已知，.则 . 【答案】 【解析】设，，， 由得，所以. 又，因此，. 由，得； 于是， 所以， ∴，即. ∵，∴，∴， ∴或，∴或. 又∵，∴，，，则. 故答案为： 14．（新高考天津卷）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$