解三角形专项小题训练 -2025届高三数学二轮复习

新教材2025年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 解三角形 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·九江三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·信阳模拟）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 5．在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（    ） A． B． C．2 D． 6．在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 7.（2023秋·湖北联考）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b＝2ccosB，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8．（2024年·合肥二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．（2023秋·茂名三模）在中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（    ） A．若，则必有两解 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若，且该三角形有两解，则的范围是 10．（2024年·宿迁三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 11．（2024年·贵州二模）已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．若，则的外接圆的半径为2 D．若，则的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．（2024年·四川模拟）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ． 13．在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 14．（2024年·陕西模拟）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 解三角形 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．（2024·九江三模）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知2 2 cosc a b A  ，则B （ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 2．（2024·信阳模拟）设 ABC 的内角A ， B ，C的对边分别为a，b ，c，已知 9, 8, 5a b c   ，则 ABC 的外接圆的面积为（ ） A． 225 π 11 B． 125 π 11 C． 123 π 6 D． 113 π 6 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2sin 2 2 A c b c   ，则△ABC 是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D． 30A  的三角形 4．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，     sin sin sin sinc A C a b A B    ，若 ABC 的面积为 3 4 ，周长为3b ，则 AC 边上的高为（ ） A． 3 3 B． 3 2 C． 3 D．2 3 5．在 ABC 中， 1 3 tan , tan 4 5 A B  ．若 ABC 的最长边的长为 17 ．则最短边的长为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 6．在同一平面上有相距 14 公里的 ,A B两座炮台，A 在 B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北 方向发射炮 弹， B 则向东偏北 方向发射炮弹，其中 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北 2  方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M ，则 B 炮台与弹着点M 的距离为（ ） A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里 7.（2023秋·湖北联考）已知△ABC三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a+b＝2ccosB，则 2 b c a b        的最小值为（ ） A. 2 2 B. 3 C. 2 3 D. 4 8．（2024年·合肥二模）记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 1 1 1 2, 1 tan tan tan tan c A B A B     ．则 ABC 面积的最大值为（ ） A．1 2 B．1 3 C．2 2 D．2 3 2 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．（2023秋·茂名三模）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .以下结论中正确的有（ ） A．若 40, 20, 25a b B   ，则 ABC 必有两解 B．若sin2 sin2A B ，则 ABC 一定为等腰三角形 C．若 cos cosa B b A c  ，则 ABC 一定为直角三角形 D．若 π , 2 3 B a  ，且该三角形有两解，则b 的范围是  3, 10．（2024年·宿迁三模）在 ABC 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ．若 22 3 cos sin 2 A C c b C   ， 且边 AC 上的中线BD长为 3，则（ ） A． π 3 B  B．b 的取值范围为[2,2 3) C． ABC 面积的最大值为2 3 D． ABC 周长的最大值为3 6 11．（2024年·贵州二模）已知锐角 ABC 的三个内角A ， B ，C的对边分别是a，b ，c，且 ABC 的 面积为  2 2 2 3 4 a c b  .则下列说法正确的是（ ） A． π 3 B  B．A 的取值范围为 π π , 6 2       C．若 3b  ，则 ABC 的外接圆的半径为 2 D．若 3a  ，则 ABC 的面积的取值范围为 3 3 3 3 , 8 2        三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分． 12．（2024年·四川模拟）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos cos 1 cos cos a B b A b a B b A c     ， 则 A  ． 13．在 ABC 中， 60 , 2, 6BAC AB BC     ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，则 AD  ． 14．（2024年·陕西模拟）在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，若 2b  ， 2 2 cos cos cos a c C B C   ，则2a c 的最大值为 . 新教材2025年高考数学复习 二轮专项小题训练 ( 解三角形 ) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·九江三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理， 因为， 展开化简， 又. 故选:B. 2．（2024·信阳模拟）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以， 所以， 设的外接圆半径为， 则，则的外接圆的面积． 故选：A． 3．（2023秋·商丘段考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 再由余弦定理可知，所以，即， 所以△ABC是直角三角形. 故选：A 4．（2024年.模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B 5．（2024年·广东韶关·二模）在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为， 又，故为锐角，为钝角，故， 因为在上单调递增，，故，所以， 又，，解得，同理可得， 由正弦定理得，即，解得. 故选：A 6．（2024年·临沂模拟）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【解析】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 7.（2023秋·湖北联考）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b＝2ccosB，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】由余弦定理得，， ∴，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：B． 8．（2024年·合肥二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，可得， 即， 整理可得， 即， 在三角形中，， 即，,可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．（2023秋·茂名三模）在中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（    ） A．若，则必有两解 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若，且该三角形有两解，则的范围是 【答案】AC 【解析】对于A，若，则， 又，所以必有两解，故A正确； 对于B，若，则或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理得：， 即，而，故， 所以一定为直角三角形，故C正确； 对于D，若，且该三角形有两解，所以， 即，也即，故D错误. 综上所述，只有AC正确， 10．（2024年·宿迁三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】AB 【解析】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得 ，因为，, 可得，化简得，又， .故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确； 对于C，由B，可得，故C错误； 对于D，由前面选项，可得，且，， ，即，令，由，得，解得， 所以三角形周长， 则，令，解得，又，所以在 上单调递减，所以，故D错误. 故选：AB. 11．（2024年·贵州二模）已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．若，则的外接圆的半径为2 D．若，则的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对A：由题意可得，由余弦定理可得， 即有，即， 由，故，即，故A正确； 对B：则，，解得，故B正确； 对C：由正弦定理可得，即，故C错误； 对D：若，则， 由正弦定理可得，即， 即 ， 由，则，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．（2024年·四川凉山二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【解析】在中，由及正弦定理得：， 而， 则， 整理得，即， 又，因此，而，所以. 故答案为： 13．（2023年·全国卷）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 14．（2024年·陕西模拟）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】中，，， 所以，所以， 根据正弦定理，， 即， 因为，所以， 由为三角形内角可知，， 根据正弦定理，， 所以 ， 其中，， 当时取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 9 学科网（北京）股份有限公司 $$