期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数图像与几何结合 1．如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图1，在平行四边形中，，点E是的中点．点P从点A出发，沿A→D→C→B以的速度运动到终点 B． 设点P运动的时间为， 的面积为， 图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是（     ） A． B．， C． D． 的面积为 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是的中点，N是的中点，动点P以1单位/秒的速度沿的折线路径匀速移动，设P点的移动时间为t，的面积是S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．如图1，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的的高度y（）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是 ． 5．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 千米． 6．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 类型二、函数中的规律 1．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一个单位为的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 4．如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    5．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是 ． 6．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 类型三、三角形中的角平分线 1．如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 4．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    5．如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 6．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 类型四、三角形中的折叠 1．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 4．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 5．如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 6．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 类型五、一次函数中的行程问题 1．A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 2．小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（　　） A．小明的速度是 B．妈妈的速度是 C．线段的函数表达式为 D．点A的坐标为 3．小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m． 4．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 5．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后匀速行驶至乙地．货车的路程、小轿车的路程与时间的对应关系如图．    (1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？ (2)写出与的函数表达式． (3)当时，求与的函数表达式 (4)货车出发多长时间时与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？ 6．已知A、B两地相距，甲开汽车从A地到B地出差，甲出发1小时后，乙开货车装满货物从B地驶往A地，图中两条线段分别表示甲乙两车与B地的距离与行驶时间的变量关系；请根据以上信息结合图象回答以下问题： (1)甲的平均行驶速度为_____，乙的平均行驶速度为_____； (2)甲出发几小时后甲乙两人相遇？ (3)甲出发几小时后甲乙两人相距？ (4)甲刚刚到达B地，接到公司紧急通知，要求他立即返回A地，若甲返回时的行驶速度不变，再过几小时甲将在途中追上乙？ 类型六、一次函数中的恒过定点 1．已知直线的解析式为，则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 2．不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 3．无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 4．不论为何值时，直线的图象恒过定点 ． 5．已知关于的一次函数且，其图象交轴于点，交轴于点．为坐标系的原点） (1)若，求这时m的值； (2)对于的任意值，该函数图象必过一定点，请求出定点的坐标； (3)是否存在m的值，使的面积为8？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 6．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． (1)特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； (2)一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； (3)类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 类型七、一次函数中的解决应用 1．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 2．甘肃天水的麻辣烫因其独特风味和文化背景在网络上引发广泛讨论．五一假期，美食爱好者小曲自驾车到离家的天水旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据： 行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 … 油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油8L C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油 3．花生油的沸点温度远高于水的沸点温度，小丽想用刻度不超过的温度计推算出花生油沸点的温度．在老师的指导下，她在锅中倒入一些花生油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温．经老师介绍，在花生油达到沸点前，锅中油温y（单位：）是加热时间t（单位：s）的一次函数，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 当加热时，油沸腾了．请推算沸点的温度为 ． 4．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 5．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，得到下表： 组号 数据 （1） （2） （3） （4） （5） t(min) 0 2 4 6 8 … h(cm) 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、解析式）验证，均发现小明记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_____组(填组号)数据是错误的． (2)求)与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 6．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 类型八、一次函数中的新定义 1．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是 ． 5．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”． (1)已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________： (2)是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________． 6．思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 类型九、动点求t问题 1．已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 2．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 3．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 4．在平面直角坐标系中，点为原点，点是轴负半轴上一点，将点向右平移个单位得到点． (1)如图，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，当点运动到点时，同时停止运动，设点运动时间为秒． 用含的式子表示两点的坐标． 是否存在使的面积为？若存在，求出，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (2)如图，点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 6．如图，点和满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，的对应点分别为点，，连接，，．    (1)求点 A， B的坐标； (2)若轴上存在点，使面积等于四边形的面积，求点的坐标； (3)点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，过点作的垂线，交于点，当点到达点时，整个运动过程随之结束．时间为秒，若线段将四边形的面积分成两部分，请直接写出的值 类型十、三角形中的八字形 1．解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 2．如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题； (1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系； (2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数． 3．探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 4． (1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由） 5．【原题重现】 课本第154页例2：如图1，AC、BD相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论． (1)【解法再探】 课本利用“三角形内角和是180°”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如下思路框图： 完成框图填空：①______，②______，③______； (2)【变式拓展】 小慧同学把图1中线段AC与BD相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，AC、BD相交于点O，∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P，，，求∠P的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题： 小明看到图2中有两个与∠P相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于∠P的两个关系式为：①______；②______； 小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③）联立、转化、整理可得结论：______； (3)【发现生成】 小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，AC、BD相交于点O，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答： (4)若把（3）中的“”都改为“”，则______．（用含，的式子表示） 6．已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由．    (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个； (3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数；    (4)如果图中和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） (5)①在图中，平分的外角，平分的外角，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可）    ②在图4中，的平分线所在直线与的外角的平分线相交于点，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可）    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数图像与几何结合 1．如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象，三角形的面积，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键． 将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动， ∴． ∵， ∴， ∴A选项的结论正确，故该选项不符合题意； B选项的结论正确，故该B选项不符合题意； 由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处， ∴， 由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处， ∴， 由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处， ∴． ∴C选项不正确，故该选项符合题意；； ∵图①中各角均为直角， ∴， ∴D选项的结论正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图1，在平行四边形中，，点E是的中点．点P从点A出发，沿A→D→C→B以的速度运动到终点 B． 设点P运动的时间为， 的面积为， 图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是（     ） A． B．， C． D． 的面积为 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、数形结合，根据题意理解每段函数图象的含义是解题的关键. 由函数图象可知，点运动秒后到达点，此时的面积为， 运动秒后到达点， 点、点重合， 此时的面积为，运动秒后到达点，此时的面积为，分别对各选项进行判断. 【详解】A.因为运动速度不变，所以从点到点与从点到点所用时间相同， 即， 解得故A正确； B.因为点运动秒后到达点， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 因为点运动秒后到达点， 所以， 则， 故B正确； C.因为点运动到点时的面积为，为中点，所以故C错误； D.过点作于点， 因为， 所以， 则 所以平行四边形的面积： 故D正确； 故选：C. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是的中点，N是的中点，动点P以1单位/秒的速度沿的折线路径匀速移动，设P点的移动时间为t，的面积是S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，得出，，根据勾股定理求出，根据中点定义和中位线性质得出，，，分三种情况：当P在上时，当P 在上时，当P 在 上时，分析得出S与t的函数关系，逐项进行判断即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 根据勾股定理得：， ∵ M、N分别是、的中点， ∴，，， 当P在上时，t的取值范围为，的面积逐渐变大，即S值变大； 当P 在上时，t的取值范围为，的面积不变，且此时面积值为，此时； 当P 在 上时，t的取值范围为，的面积变小，S值变小； 综上分析可知：符合条件的S与t的函数图象为B选项中的图象． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象和性质，勾股定理，中位线性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．如图1，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的的高度y（）和注水时间x（s）之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据图象，分两个部分：漫过实心圆柱体铁块需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，实心圆柱体铁块的高度为， 水漫过实心圆柱体铁块需注满，“几何体”上面的空圆柱形容器需， 设匀速注水的水流速度为，则： ， 解得， 即匀速注水的水流速度为 故选：20． 5．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 千米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用；设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，由题意，得 ， 解得：， 、两地之间的距离为：千米． 故答案为：． 6．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知当时，点P在上运动，当，点P在上运动，据此可判断①；则，，根据当点P运动到直线与交点处时，y的值为0，得到，据此可判断②；则当P点运动到F点时，y对应的值为，据此可判断③；分当时，当时， 当时，三种情况求出x的值即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动，当，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 故答案为：①③． 类型二、函数中的规律 1．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 2．如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……， 可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， ∵2024为偶数， ∴的坐标为， 故选：C． 3．如图，在一个单位为的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由图可得，当为的倍数时，点在第一象限，且横坐标为，据此即可求解，根据图形找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，当为的倍数时，点在第一象限，且横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 4．如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数，经过第2027次运动后，动点的横坐标为2027， 纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， 经过第2027次运动后，动点的纵坐标为：余3， 故纵坐标为四个数中第3个，即为2， 经过第2017次运动后，动点的坐标是：， 故答案为：． 5．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，得到动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环， ， 第2024次运动到点，即：． 故答案为：． 6．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半， 当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数， 因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为． 故答案为：． 类型三、三角形中的角平分线 1．如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出∠，，，根据平角得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，， ∴，故②正确； ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， 由得：，即， ∴， ∴，故③正确； 由得： ， ∴，故④错误； ∵，， ∴， 又∵是的外角， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的答案有3个， 故选：C． 2．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点, ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 3．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：，． 4．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    【答案】/90度 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    5．如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 【答案】(1)，6 (2) (3)．理由见解析 (4)4.5或6或12 【分析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，一元一次方程，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； 故答案为：，； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ，解得， 故答案为：； （3）解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， 又∵和时和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 6．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)125；70 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． （3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则． 【详解】（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：125；70； （2）解：，理由如下： ∵的角平分线与的角平分线相交于点，，， ∴在中， ， 又， ； （3）解：如图所示，连接， 设，， ∴，，， ∴ ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 类型四、三角形中的折叠 1．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合平角的定义，列式计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，折叠的意义，平角的定义，熟练掌握折叠的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 4．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，的大小为或． 故答案为：或． 5．如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 6．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到. 【详解】（1）解：， 理由：∵沿直线折叠，且， ∴A点落在上，如图（1）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 类型五、一次函数中的行程问题 1．A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，得到两车相遇前后的函数表达式，结合两车的速度求解即可． 【详解】解：由题意，甲车全程用时，乙车全程用时； 两车相遇前的函数表达式为， 两车相遇后的函数表达式为， 当时，由得，即乙车行驶2小时后两车相遇， 当时，甲车到达B地，此时两车之间的距离为； 此后，乙车继续前行，两车之间的距离缓慢变大， 当时，乙车到达A地，此时两车之间的距离， 综上，选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 2．小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（　　） A．小明的速度是 B．妈妈的速度是 C．线段的函数表达式为 D．点A的坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键． 根据“速度=路程÷时间”计算小明的速度即可判定A；当时，两人相遇，根据“两相遇时人人一共走过的路程是”计算妈妈的速度，即可判定B；根据“路程=速度×时间”求出线段的函数表达式，写出自变量的取值范围即可判定C；根据“时间=路程÷速度”计算妈妈到家所用的时间，再根据“路程=速度×时间”计算小明此时离家的距离，从而求出点A的坐标，即可判定D． 【详解】解：A、小明的速度是，故此选项不符合题意； B、妈妈的速度是，故此选项不符合题意； C、妈妈到家所用的时间是，当时，妈妈已经到家，之后两人之间的距离就是小明离家的距离，∴线段的函数表达式为，故此选项符合题意； D、妈妈到家所用的时间是，当时，两人之间的距离，即小明离家的距离是，∴点A的坐标为，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． 待定系数法求小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为．小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为．当时，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， ∴． 设小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将和代入得， 解得， ∴． 当时，， 解得， ∴， ∴两人相遇时，他们到甲地的距离是， 故答案为：． 4．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出段，段，段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距列出方程求出即可． 【详解】解：由图可知，甲从到所用时间为， 甲车的速度为， 乙出发时甲所走的路程为：， 甲出发时，甲、乙两车相距； 线段对应的函数表达式为：， 设乙车刚出发时的速度为，则装满货后的速度为， 根据题意可知：， 解得：， 段对应的函数解析式为， 根据题意得：， 解得， ， 甲出发时，甲、乙两车相距； 坐标为， 坐标为， 设对应的函数解析式为， 则， 解得， 对应的函数解析式为， 由题意得：， 解得， 此时， 综上所述：当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为或或． 故答案为：或或． 5．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后匀速行驶至乙地．货车的路程、小轿车的路程与时间的对应关系如图．    (1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？ (2)写出与的函数表达式． (3)当时，求与的函数表达式 (4)货车出发多长时间时与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？ 【答案】(1)甲、乙两地相距，小轿车中途停留了 (2) (3) (4)货车出发小时与小轿车首次相遇，相遇时与甲地的距离是 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读取图形中的有效信息，求出函数解析式是解题关键． （1）观察图象，直接得到结果； （2）先求出货车行驶的速度，再写出函数的解析式； （3）先求出小车行驶的速度，再写出函数的解析式； （4）先求出小车休整时行驶的路程，根据正比例函数求行驶同样的路程，货车需要的时间，结合休整时间即可求解． 【详解】（1）解：观察图象可得，甲、乙两地相距，小轿车中途停留了， （2）解：货车的速度为：， ∴； （3）解：小汽车的速度为：， ∴当时，； （4）解：小车小时行驶的路程为：， 当时，有， 解得：， ∵， ∴时，小车在休整，此时货车与小轿车首次相遇， 答：货车出发小时与小轿车首次相遇，相遇时与甲地的距离是． 6．已知A、B两地相距，甲开汽车从A地到B地出差，甲出发1小时后，乙开货车装满货物从B地驶往A地，图中两条线段分别表示甲乙两车与B地的距离与行驶时间的变量关系；请根据以上信息结合图象回答以下问题： (1)甲的平均行驶速度为_____，乙的平均行驶速度为_____； (2)甲出发几小时后甲乙两人相遇？ (3)甲出发几小时后甲乙两人相距？ (4)甲刚刚到达B地，接到公司紧急通知，要求他立即返回A地，若甲返回时的行驶速度不变，再过几小时甲将在途中追上乙？ 【答案】(1) (2)甲出发小时后甲乙两人相遇 (3)甲出发或时，两人相距 (4)再过2小时甲将在途中追上乙 【分析】本题考查的是一次函数的应用，读懂函数图象，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据函数图象，根据“速度=路程÷时间”解答； （2）设甲出发t小时后甲乙两人相遇，根据甲乙两人相遇时总路程为240千米，列方程即可求解； （3）利用待定系数法求出甲乙两人的S关于t的关系式，再列方程解答即可； （4）甲到达B地时，乙行驶了2小时，此时乙和B地的距离为80千米，设再过x小时甲将在途中追上乙，根据追及问题列方程解答即可； 【详解】（1）解：由图象得，甲从地到地共用了3小时， 初始时甲距离B地240平米， ∴甲的平均行驶速度为：； 乙从地到地用了：（小时）， ∴乙的平均行驶速度为：， 故答案为：； （2）解：设甲出发t小时后甲乙两人相遇， 则， 解得：， 故甲出发小时后甲乙两人相遇； （3）解：设甲的与的关系式为， 根据题意得， 解得， ； 设乙的与的关系式为， 根据题意得， 解得， ∴， ∵甲乙两人相距， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，甲出发或时，两人相距； （4）解：甲到达地时，乙行驶了2小时， 此时乙与地的距离为：(千米)， 设再过小时甲将在途中追上乙， 根据题意得：， 解得， 答：再过2小时甲将在途中追上乙． 类型六、一次函数中的恒过定点 1．已知直线的解析式为，则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，得到，即可得到打答案，此题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线过定点， 故选：B 2．不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了恒过定点，把问题转化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解列式计算即可，熟练掌握方程有无数解的条件是解题额关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于m的方程有无数的解， ∴， 解得， ∴直线恒过定点． 故选：C． 3．无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．将一次函数解析式化简为，从而可得当时，的取值与值无关，进而求解． 【详解】解：，令，则，此时 直线（为常数，）所过的定点坐标为． 故答案为：． 4．不论为何值时，直线的图象恒过定点 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了一次函数以及二元一次方程组，解题的关键是掌握以上知识点． 将直线化为，即可求解； 【详解】解：直线可化为， 由，得， 所以定点为． 故答案为：． 5．已知关于的一次函数且，其图象交轴于点，交轴于点．为坐标系的原点） (1)若，求这时m的值； (2)对于的任意值，该函数图象必过一定点，请求出定点的坐标； (3)是否存在m的值，使的面积为8？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或4 (2) (3)存在，或或 【分析】（1），即可求解； （2），即可求解； （3），即可求解． 本题考查了一次函数的性质，涉及过定点的直线，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标，以简化计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：或4； （2）解：依题意，， 当时，， 故定点坐标为； （3）解：存在，理由： ，， ， 解得：或或． 6．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． (1)特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； (2)一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； (3)类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，1；②1； (3)是，． 【分析】（1），，则； （2）①点、的坐标分别为：，、，即可求解； ②由①知，，，，则； （3）求出，，即可求解． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． 【详解】（1）解：直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：、， 则，， 则； （2）解：①将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则点、的坐标分别为：，、， 当时，即，则， 则，，则； 当，时，同理可得：， 故答案为：，1； ②由①知，，，， 则； （3）解：由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，，则， 由直线的表达式知，点，，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 类型七、一次函数中的解决应用 1．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把代入即可． 【详解】解：由表格可知，油温与时间的函数关系是一次函数，油温用y表示，时间用x表示，设油温与时间的函数关系是， 则， 解得 ∴， 当时，． 当时，． 当时，． 故选：C． 2．甘肃天水的麻辣烫因其独特风味和文化背景在网络上引发广泛讨论．五一假期，美食爱好者小曲自驾车到离家的天水旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据： 行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 … 油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油8L C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达．通过表格给出的信息理解题意，可得此题答案． 【详解】解：∵当时， ∴该车的油箱容量为， 故选项A正确，不符合题意； 由表格可得该车每行驶耗油， 故选项B正确，不符合题意； 由题意可得油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 故选项C不正确，符合题意； ∵， ∴当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 3．花生油的沸点温度远高于水的沸点温度，小丽想用刻度不超过的温度计推算出花生油沸点的温度．在老师的指导下，她在锅中倒入一些花生油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温．经老师介绍，在花生油达到沸点前，锅中油温y（单位：）是加热时间t（单位：s）的一次函数，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 当加热时，油沸腾了．请推算沸点的温度为 ． 【答案】330 【分析】本题主要考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 用待定系数法求函数解析式；把代入解析式求出的值即可． 【详解】解：设这个一次函数关系式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴关于的函数解析式为； 当时，， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 故答案为：330． 4．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式的知识，仔细审题得出函数关系式是至关重要的一步，难度一般． 根据题意首先可以得出只要通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，由此可列出一次函数关系式． 【详解】解：由题意得，通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，且为整数， 故可得函数关系式为：且为整数， 故答案为：． 5．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，得到下表： 组号 数据 （1） （2） （3） （4） （5） t(min) 0 2 4 6 8 … h(cm) 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、解析式）验证，均发现小明记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_____组(填组号)数据是错误的． (2)求)与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1)（4） (2)，当水位为时，对应时间是 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 是错误的值， 故答案为：（4）； （2）解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 6．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 类型八、一次函数中的新定义 1．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键． 由题意：当时，直线上有“零点”，所以直线与线段有交点，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断． 【详解】解：由题意得：直线与线段有交点，其中， 当直线经过时，， 当直线经过时，， ∴m的取值范围为：， 故选：B． 2．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 3．定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据题意，当以及当时，理想点Q的坐标不同，应分别进行分析计算，关键在于理解理想点的定义，确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意，可设点P坐标为， ①当时，点Q的纵坐标为，则， 解得：，即， ②当时，点Q的纵坐标为，则， 解得： ∴ x的取值范围是：， ∵当时，， ∴k的取值范围是：， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的平移，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的平移法则“左减右加，上加下减”是解答本题的关键． 将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，根据题意得到k的取值范围即可． 【详解】解：∵，，是等腰直角三角形， ∴， 直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：， ∴函数过点， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，． ∵点Q是等腰直角的“和雅点”， ∴或． 故答案为：或 5．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”． (1)已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________： (2)是直线上的两个动点． ①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________． 【答案】(1) (2)①点的横坐标为或；② 【分析】（1）当直线经过点，直线经过点，可得，值，即可得到直线，直线，联立即可求解第一种情况，当直线经过点，直线经过点时，同理可得第二种情况． （2）①将点代入，求出，即可得出，在按照（1）的步骤分情况谈论，当直线经过点，直线经过点时，或当直线经过点，直线经过点时，分别结合点纵坐标为，即可得出点的横坐标． ②设线段的双线关联点”为，由①得消元可得点在直线上运动，同理得点在直线上运动，在时，令慢慢变大，找到其一个交点和三个交点时的值，观察图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：，， ∴直线，直线， 联立得：， 解得：， 若直线经过点，直线经过点， 则代入得：，， ∴直线，直线， 联立得：， 解得：， 综上可得点是线段的“双线关联点”， 故答案为； （2）①解：将点代入， 得，， 则， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得，， 解得：，， 求得直线，直线， 联立得：， 解得：， ∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为， 故， 解得：， ∴点的横坐标：． 因此；当直线经过点，直线经过点时， 同上可求，，， 联立得， 解得：， ∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为， 故， 解得：， ∴点的横坐标：， 综上所述，点的横坐标为或； ②解：设线段的“双线关联点”为， 则由上可得， 由①得：， 消去可得：， ∴则点在直线上运动， 同理可求点在直线上运动， ∵线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上， ∴正方形与直线，直线恰好有两个交点， 当且很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着增大，当点落在直线上，此时个交点，不符合题意，如图： 则代入， 即， 解得：， 当继续增大，此时，则直线与正方形有个交点，符合题意，如图： 当继续增大，直至点落在直线， 则代入， 即： 解得， 此时有个交点，不符合题意，如图： 当时，此时有个交点，不符合题意，如图： ∴综上所述：当满足个交点时，． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，正方形的性质，坐标与图形，分情况讨论问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 【答案】（）； ； （）点在上，；（）见解析． 【分析】（）根据定义求解值即可； 设，根据定义可得方程，求出的值即可求点的坐标； 设，根据定义可得，当且仅当，即时，有最小值，此时， （）当点在上时，设，由定义可得方程，从而求出； （）设矩形边上任意一点为，分别求出点在矩形各边上时，的取值范围，从而确定的值与到原点的距离等于的点的个数的关系即可； 本题考查了坐标与图形，一次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 当且仅当，即时，有最小值， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当点在上时，设， ∴， 解得， ∴； ∵，, ∴， ∴点不能在点右侧， 综上所述：； （3）∵，，，， ，，， 设矩形边上任意一点为， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个． 当时，到原点的距离等于的点有个． 类型九、动点求t问题 1．已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴， 综上，当为直角三角形时，或或． 2．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)不变，2 (3)①②或4或9 【分析】（1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质和平行线的性质，得到，，进行求解即可； （3）①先求出，在用平角的定义求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不变，； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：； ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，三角形的内角和定理等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 4．在平面直角坐标系中，点为原点，点是轴负半轴上一点，将点向右平移个单位得到点． (1)如图，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，当点运动到点时，同时停止运动，设点运动时间为秒． 用含的式子表示两点的坐标． 是否存在使的面积为？若存在，求出，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (2)如图，点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 【答案】(1)，；，，； (2)存在，． 【分析】（）由平移的性质得出轴，根据点坐标可求出答案；求出和，根据三角形的面积公式可得出答案； （）过点作轴，由平行线的性质及角平分线的性质可得出，，利用三角形外角性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵将点向右平移个单位得到点， 轴， ∵点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； （2）解：存在． 如图，过点作轴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 【答案】(1)， (2)12或 (3)见解析 【分析】（1）根据，可得，，即可得出点、的坐标； （2）根据，得，从而得出绝对值方程即可得出答案； （3）分当点在线段上时，或点在线段的延长线上时，根据外角进行角之间的变换即可得出三个角之间的数量关系． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）存在，使得， ， ， ， 解得（舍）或， 存在，的值为12或； （3）当点在线段上时，如图， ，， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的性质、三角形外角的性质等知识，运用外角进行角之间的转换是解题的关键． 6．如图，点和满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，的对应点分别为点，，连接，，．    (1)求点 A， B的坐标； (2)若轴上存在点，使面积等于四边形的面积，求点的坐标； (3)点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，过点作的垂线，交于点，当点到达点时，整个运动过程随之结束．时间为秒，若线段将四边形的面积分成两部分，请直接写出的值 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形面积、非负数的非负性、平移性质．由点的坐标正确表示相应图形的面积是解决此题的关键． （1）由平方和绝对值的非负性可得点A，B的坐标； （2）由平移可得到点的坐标，进而可表示出面积与四边形的面积； （3）根据题意分别表示出两部分图形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由平移性质得：， 设点， ， 令， 解得：或， ∴或； （3）解：如图所示：      ， ①若， 解得：； ②若， 解得：， 故或，使得将四边形的面积分成的两部分． 类型十、三角形中的八字形 1．解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； . 【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论； （3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论； ②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论； （4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，，， ， ； （2）．理由如下： 在中，， 在中，， ， ； （3）①，， 、分别平分和， ， ． 故答案为． ②连结． ∵， ． 故答案为； （4）由（1）知，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键． 2．如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题； (1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系； (2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义， （1）根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）的结论列出算式，把、代入计算即可； 掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：∵，，， ∴； （2）由（1）可知，，， ∴， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论； (3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得 结论； （4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中， ， 在中， ， ∵， ∴ 故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： （3） 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， （4）如图4，延长、交于点， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 4． (1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) (3)；理由见解析 (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解； （3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解； （4)同法即可解决问题． 【详解】（1）证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°， 在COD中，∠C+∠D+∠COD=180° ∠AOB=∠COD ∠A+∠B=∠C+∠D （2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD ∠1=∠2，∠3=∠4 由(1)的结论得 2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC ∠P=(∠ABC+∠ADC) ∵∠ABC=35°，∠ADC=15° ∠P=25° （3）解：如图3 ∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE ∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3 ∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3) ∠P+∠1=∠ABC+∠4 2∠P=∠ABC+∠ADC ∠ABC=35°，∠ADC=29° ∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32° （4）解:同法可得，∠P= 故答案为：∠P= 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常见题型． 5．【原题重现】 课本第154页例2：如图1，AC、BD相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组同学对此题展开了探究讨论． (1)【解法再探】 课本利用“三角形内角和是180°”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，如下思路框图： 完成框图填空：①______，②______，③______； (2)【变式拓展】 小慧同学把图1中线段AC与BD相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，AC、BD相交于点O，∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P，，，求∠P的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小明完成以下问题： 小明看到图2中有两个与∠P相关的“8字形”，请你根据（1）的结论写出关于∠P的两个关系式为：①______；②______； 小明进一步思考：设，，由，得，③，由①、③（或②、③）联立、转化、整理可得结论：______； (3)【发现生成】 小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，AC、BD相交于点O，，，，，求的度数（用含，的式子表示）．请你写出解答： (4)若把（3）中的“”都改为“”，则______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)①三角形的外角的性质，②，③ (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质可得：从而可得答案； （2）先证明 同理可得 从而可得答案； （3）由题意同理可得，， 从而可得答案； （4）由题意同理可得，，而，， 从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，∵是的外角， （三角形的外角的性质） 故答案为：①三角形的外角的性质，②，③ （2）由（1）可得：①②； 设，，而，， ∠BAC、∠BDC的角平分线交于点P， 同理由（1）得： 即 整理得： （3）设，， ，，而，， 由（1）同理可得： 同理： 整理得： （4）设，， ，，而，， 由（1）同理可得： 同理： 整理得： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，角的平分线，角的三等分线的含义，规律的探究，熟练的运用已有的结论进行推导是解本题的关键． 6．已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由．    (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个； (3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数；    (4)如果图中和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） (5)①在图中，平分的外角，平分的外角，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可）    ②在图4中，的平分线所在直线与的外角的平分线相交于点，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可）    【答案】(1) (2) (3)的度数为 (4) (5) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等的知识即可求解； （2）根据材料提示的“字形”的定义即可求解； （3）根据材料提示的“字形”中角度的数量关系可得，由此即可求解； （4）如图所述，作，的角平分线交于点，根据（3）的结论，四边形内角和等于，由此即可求解； （5）如图所示，是的角平分线，延长交的角平分线于点，根据角平分线的性质可得，在中，根据直角三角形两锐角互余的知识即可求解． 【详解】（1）解：在中，，在中，， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题意得，与，与，与，与均能组成“字形”， ∴有个， 故答案为：． （3）解：如图所示，，平分，平分，    ∵与是“字形”， ∴， ∴或， ∵平分，平分， ∴，， ， ∵与是“字形”， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （4）解：如图所示，作，的角平分线交于点，    ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴，即， 同理，平分，平分， ∴， 由（3）的结论可知，， 在四边形中，， ∴， ∴． （5）解：如图所示，是的角平分线，延长交的角平分线于点，    ∵平分，平分，， ∴， ∴， 根据题意可知，点在一条直线上， ∴是直角三角形， 由（3）可知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和，角平分线的综合知识，掌握三角形的“字形”中角的数量关系，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识的综合运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$