期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角板中的度数 1．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点D在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中，．若，则等于 ． 5．如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 6．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 类型二、三边关系化简绝对值 1．已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 2．已知的三边长x，y，z，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若a，b，c是的三边，则化简的结果等于(   ) A． B． C． D． 4．已知的三边长分别是a、b、c，化简 ． 5．已知a，b，c为三角形的三边长，化简： ． 6．设的三边为a、b、c，化简 ． 类型三、中线平分面积 1．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．在中，为的中线，，，则 ． 5．如图，是的中线，E是的中点，连接，若，则 ． 6．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ． 类型四、正比例函数的定义与性质 1．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．已知是关于的正比例函数，且当时，，则此函数的解析式为 ． 4．已知与成正比例，且当时，，那么当时， ． 5．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)试判断点是否在该函数的图像上． 6．已知一次函数． (1)若y是x的正比例函数，求k的值； (2)若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 类型五、一次函数的平移 1．若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 3．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 4．将正比例函数的图象向下平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为 ． 5．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 6．点为一次函数图像上两点． (1)若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． (2)比较p、q的大小，并说明理由． 类型六、一次函数的解析式 1．如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．一次函数的图像过一、三象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为 ． 4．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像相交于点 P，点 P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是 ． 5．已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 6．如果与成正比例，且时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)求当时，求的值； (3)求当时，求的取值范围． 类型七、一次函数与二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 4．如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线：相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B． (1)点P的坐标为 ． (2)求的面积． (3)点M在直线上，轴，交直线于点N，若，求点M的坐标． 6．如图，直线的函数表达式为，且直线与轴交于点．直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． (1)求的解析式； (2)利用函数图象写出关于的二元一次方程组的解． 类型八、高线与角平分线之间的计算 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．如图，，且分别是的高线，中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 4．如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为 ． 5．如图，在中，，，是边上的高，是内角的平分线，求的度数． 6．如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 类型九、一次函数的交点与面积问题 1．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 2．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 3．如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，与x轴交于点C，与的图像交于点D，且点D的坐标为.    （1）求k和b的值； （2）若，则x的取值范围是__________. （3）求四边形的面积. 4．已知函数 与 的图象相交于点，如图． (1)求出两个函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 5．如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 类型十、一次函数的交点与不等式问题 1．如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象l1分别与x轴，y轴交于A（15，0），B两点，正比例函数y=x的图象l2与l1交于点C（m，3）． （1）求m的值及l1所对应的一次函数表达式； （2）根据图象，请直接写出在第一象限内，当一次函数y=kx+b的值大于正比例函数y=x的值时，自变量x的取值范围． 2．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点． (1)求，的值； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求四边形的面积． 3．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象的交点为． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出：当时，的取值范围． (3)一次函数的图象上有一动点，连接，当的面积为5时，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求和的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 6．观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角板中的度数 1．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴． 故选：C 2．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点D在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，先由得出，再结合三角形的外角性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 解：依题意，∵ ∴ 则 故选：B 3．一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 【详解】解： 在和中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 4．一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中，．若，则等于 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：根据题意可得，， ，， ， ， 故答案为：． 5．如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】/117度 【分析】本题考查了平行线性质求角度，三角形外角性质，邻补角的计算，对顶角相等等知识，根据对顶角相等可求出的度数，根据三角形外角性质求出的度数，再利用邻补角求出的度数，最后利用两直线平行同位角相等求出结果即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 类型二、三边关系化简绝对值 1．已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ． 故选：B． 2．已知的三边长x，y，z，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系确定和的符号，然后去掉绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵的三边长x，y，z， ∴，， ∴． 故选：C． 3．若a，b，c是的三边，则化简的结果等于(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，整式的加减计算，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边推出，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．已知的三边长分别是a、b、c，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．已知a，b，c为三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，解题的关键是熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据三角形三边关系得到，，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：，，是一个三角形的三条边长， ∴，，， ， 故答案为：． 6．设的三边为a、b、c，化简 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型三、中线平分面积 1．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分可得图中各个三角形面积之间的关系， 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∵点E为中点， ∴，， ∴， ∵点F为中点， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ． 故选：C． 3．如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，同理，则． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 4．在中，为的中线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由即可得到． 【详解】解：∵在中，为的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，是的中线，E是的中点，连接，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，先根据三角形的中线求出，同理求出答案即可． 【详解】∵是的中线，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故答案为：1． 6．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 ． 【答案】1 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 同理可证， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、正比例函数的定义与性质 1．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如的函数，其中是常数，且，叫作正比例函数）是解题关键．根据正比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：函数是正比例函数， 且， 解得：， 故选：C． 2．已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴正比例函数图象的经过第一、三象限， 故选：． 3．已知是关于的正比例函数，且当时，，则此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数，待定系数法求正比例函数的解析式，设正比例函数的解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴此函数的解析式为， 故答案为：． 4．已知与成正比例，且当时，，那么当时， ． 【答案】3 【分析】根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当时，代入求出的值，最后把代入计算即可．本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据正比例函数的定义列出函数解析式． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， 则与之间的函数关系式是， 当时，． 故答案为：3． 5．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)试判断点是否在该函数的图像上． 【答案】(1)与的函数解析式为 (2)点不在函数的图像上，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，正比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先设与的函数表达式为：，把代入求出，然后把结果变成的形式即可； （2）令，求出对应的值，再与点的值对比，即可判断． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把代入得：， 解得：， ，即， 与的函数解析式为：； （2）解：点不在函数的图像上，理由如下： 令，则， ， 点不在该函数的图像上． 6．已知一次函数． (1)若y是x的正比例函数，求k的值； (2)若该函数图像过点，求一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及正比例函数的定义； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据待定系数法求解． 【详解】（1）由题意得：且， 解得：； （2）由题意得：且， 解得：， 次函数的解析式为． 类型五、一次函数的平移 1．若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点的坐标代入一次函数解析式计算即可得解．本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 的图象与直线 平行， ∴， ∵一次函数过点 ∴ 解得， ∴一次函数解析式为． 故选：D． 2．一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，根据平移不改变的值可设，然后将点代入即可得出直线的函数解析式．解题的关键是掌握：求一次函数平移后的解析式时要注意平移时的值不变． 【详解】解：设平移后的函数表达式是， ∵它经过点， ∴， 解得：， ∴平移后的函数解析式为． 故选：C． 3．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 4．将正比例函数的图象向下平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的平移规律：“上加下减”是解题的关键．根据一次函数平移规律即可确定． 【详解】解：根据平移的性质，得， 故答案为：． 5．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 6．点为一次函数图像上两点． (1)若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． (2)比较p、q的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键． （1）①根据题意得到，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【详解】（1）解：， ∴一次函数为， ①， ， ； ②将此函数图象沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为； 故答案为：①；②； （2）解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点为一次函数图象上两点，且， ∴． 类型六、一次函数的解析式 1．如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【详解】解：∵B点在正比例函数的图象上，横坐标为1， ∴， ∴， 设一次函数解析式为：， ∵一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点， ∴可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为， 故选：A． 2．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一次函数图象平行的问题、求一次函数的解析式，根据两直线平行，设一次函数解析式为，然后把代入求出，即可得到一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴设一次函数解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为：． 故选：D． 3．一次函数的图像过一、三象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画出图形，根据求出与坐标轴的交点，然后将，代入求解即可． 【详解】∵一次函数的图像过一、三象限，且与轴的夹角为， ∴, ∵， ∴， 把，代入得， 解得， ∴． 故答案为：． 4．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像相交于点 P，点 P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，先根据点 P到x轴的距离是2，求出点P的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：∵点 P 到x 轴的距离为2， ∴点 P 的纵坐标为2． ∵点P在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ 点P 的坐标为， 设正比例函数解析式为，则， 解得， ∴正比例函数解析式为 ． 故答案为：． 5．已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，两点代入可得出和的值，进而可得出函数解析式； （2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 将，代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 该一次函数图像与轴交于点， 当时，， 该一次函数图像与轴交于点， 此函数图像与轴、轴围成的三角形的面积为． 6．如果与成正比例，且时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)求当时，求的值； (3)求当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把，代入，求出值即可得答案； （2）把代入（1）中所求关系式，求出值即可； （3）时，，解不等式即可得答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设与之间的函数关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）∵， ∴当时，． （3）当时，， 解得：． 类型七、一次函数与二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图像法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键；根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】解：方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 方程组的解为， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴将代入， 得：， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为， 故选：C． 3．若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 4．如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与交于点， 则关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线：相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B． (1)点P的坐标为 ． (2)求的面积． (3)点M在直线上，轴，交直线于点N，若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）联立直线与得，解方程组即可； （2）先求，，得出，再求出三角形的面积即可； （3）设，则，得出，根据，得出，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：联立直线与得： ， 解得， ∴； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入 ， 解得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为：或. 【点睛】本题考查一次函数交点坐标，解方程组，求三角形面积，两点间距离，掌握一次函数交点坐标，解方程组，两点间距离，利用两点距离构造方程是解题关键． 6．如图，直线的函数表达式为，且直线与轴交于点．直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． (1)求的解析式； (2)利用函数图象写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）及待定系数法，掌握待定系数法和函数与方程组的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ； 设直线的函数表达式为， 由题意得：，解得：， ； （2）由图可知，关于的二元一次方程组的解为． 类型八、高线与角平分线之间的计算 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2．如图，，且分别是的高线，中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，根据性质证明即可． 【详解】是的高线 ， A选项说法正确，但不符合题意； 是的角平分线 B选项说法正确，但不符合题意； 是的中线 的高相同，设为 C选项说法正确，但不符合题意； 根据已知条件并不能证明 所以D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 4．如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】分别求出，，利用角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出即可．本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，，是边上的高，是内角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于求出，然后根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差再求解即可． 本题主要考查了三角形内角和，三角形的角平分线，三角形的高线，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，是解题的关键． 【详解】∵在中，，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴． ∴在中， ， ∴． 6．如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型九、一次函数的交点与面积问题 1．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解； （2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解； （3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得：， ∴， 把和代入一次函数，得： ，解得， ， ∴ 一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数表达式是 ， 令，则， ∴点． （3）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，，解得： ，       ∴点， ∴，   ∵， ∴的面积． （4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键． 2．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点把点代入可求出的值，令可求出点的坐标； （2）已知点，点的坐标，可知的底边长，高，由三角形的面积公式即可求解； （3）已知的面积为，的面积是的面积的，可求出的面积为，动点在直线上运动，设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴， 当，， ∴点的坐标为． （2）解：如图所示，过点作轴于，且，， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图所示，直线，即，动点在直线上运动，设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，点， 当时，点， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质和特点，掌握一次函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 3．如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，与x轴交于点C，与的图像交于点D，且点D的坐标为.    （1）求k和b的值； （2）若，则x的取值范围是__________. （3）求四边形的面积. 【答案】（1）和的值分别为和4；（2）；（3）. 【分析】（1）根据点D在函数y＝x＋2的图象上，即可求出n的值；再利用待定系数法求出k，b的值； （2）根据图象，直接判断即可； （3）用三角形OBC的面积减去三角形ABD的面积即可． 【详解】（1）函数的图像过点D，且点D的坐标为，则有. 所以点D的坐标为. 所以有 解得所以和的值分别为和4. （2）由图象可知，函数y＝kx＋b大于函数y＝x＋2时，图象在直线x＝的左侧， ∴x＜， 故答案为：x＜. （3）已知函数的图像与y轴交于点A， 则点A坐标为.所以. 函数的图像与轴交于点C，令， 则..所以点C坐标为. ∴. 则四边形的面积等于. 【点睛】本题主要考查一次函数的交点，解决此题时，明确二元一次方程组与一次函数的关系是解决此类问题的关键．第（3）小题中，求不规则图形的面积时，可以利用整体减去部分的方法进行计算． 4．已知函数 与 的图象相交于点，如图． (1)求出两个函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)一个函数的解析式为；另一个函数的解析式为 (2) 【分析】主要考查的知识点为一次函数的图象和性质，函数解析式的求法与三角形面积的计算， （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，再求三角形面积即可． 【详解】（1）解∶将点代入， 得：， 解得， ∴一个函数的解析式为； 将点代入， 得， 解得： ∴另一个函数的解析式为 （2）令中的， 得， 解得， 即直线与x轴交于点， 即阴影部分的面积为 ． 5．如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积： （1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标； （2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：把，代入得，， ∴点B的坐标为 在中，令， 解得：， 点坐标为； 把，代入得，， 点的坐标为； ， ，， 的面积为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或； (3)或2或1 【分析】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再求出m的值即可． （2）由（1）得一次函数：，先求出的面积，进而求出的面积，最后求出符合条件的点M的坐标； （3）根据题意，当或时，，，不能围成三角形，一次函数的图象过点，进而即可求得三种k的值． 【详解】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：． （2）由（1）得：一次函数：， ∵点M在直线， 把代入，得， ∴C点坐标为， ∴， ∵A点坐标， ∴， 把代入，得， ∴B点坐标为， ∴， ∴， 解得：边上的高为：， 当时，，当时， ∴点M的坐标为或； （3）当或时，，，不能围成三角形，即或， 当过点时，将点A坐标代入并解得：； 故当的表达式为：或或． 故或2或1． 类型十、一次函数的交点与不等式问题 1．如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象l1分别与x轴，y轴交于A（15，0），B两点，正比例函数y=x的图象l2与l1交于点C（m，3）． （1）求m的值及l1所对应的一次函数表达式； （2）根据图象，请直接写出在第一象限内，当一次函数y=kx+b的值大于正比例函数y=x的值时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）m=6，l1的解析式为y=-x+5；（2）自变量x的取值范围是0＜x＜6． 【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l1的解析式； （2）根据函数图象，结合C点的坐标即可求得． 【详解】解：（1）把C（m，3）代入正比例函数y=x，可得3=m， 解得m=6， ∴C（6，3）， ∵一次函数y=kx+b的图象l1分别过A（15，0），C（6，3）， ∴ 解得， ∴l1的解析式为y=-x+5； （2）由图象可知：第一象限内，一次函数y=kx+b的值大于正比例函数y=x的值时，自变量x的取值范围是0＜x＜6． 故答案为（1）m=6，l1的解析式为y=-x+5；（2）自变量x的取值范围是0＜x＜6． 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式． 2．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点． (1)求，的值； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）连接，利用分割法求面积即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点在的图象上， ∴， ∴； ∴， ∵，在直线上， ∴， ∴； （2）由图象，得：当，直线在直线的上方， ∴时，； 故答案为：； （3）∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 连接，    则：四边形的面积． 3．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象的交点为． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出：当时，的取值范围． (3)一次函数的图象上有一动点，连接，当的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象和坐标的交点问题． （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合即可求解； （3）设点P，求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得； ∵点与在直线上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点， ∴当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为． （3）解：设点P， 对于一次函数， 令，则， ∴， ∵，， ， 解得， 当时，， 当时，， 所以点的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求和的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． （1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）先求出直线与直线的交点坐标为，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， ， 将代入，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为， （3）解：联立， 解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， 根据函数图象可知，当时，直线在直线的下方，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 6．观察图象填空： (1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组解的关系，一次函数和不等式的关系，解题的关键是数形结合，注意直线与直线的交点，直线与坐标轴的交点． （1）根据函数图象求出不等式的解集即可； （2）根据函数图象得出两条直线的交点坐标即可；根据交点坐标得出的解即可；根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）①令，求出，把代入求出即可得出点A的坐标为；把代入求出，即可得出点C的坐标为，进而根据函数图象求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵根据函数图象可知，在点P下方的部分的函数值小于2， ∴不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：观察图象，两条直线的交点坐标为； 方程的解是交点坐标的横坐标的值，因此方程的解为； ∵在交点的右侧，函数的图象在的上方， ∴不等式的解集为． 故答案为：；；． （3）解：令， 解得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为； ∴根据函数图象可知，在点A的右侧函数的图象在的上面，在点C的左侧函数的图象在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$