精品解析：浙江省温州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期10月月考考试数学试卷

温州市第五十一中学2024学年第一学期高一10月月考考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 命题否定是 A. B. C. D. 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C D. 或 5. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于x方程的两个根为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 A. B. C D. 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 不等式的解集是 11. 若，，且，下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 满足的集合M有________个． 13. 已知集合，则___________． 14. 已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 命题任意，成立；命题存在，成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知集合，，全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某货轮匀速行驶在相距300海里甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 18. 已知函数. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温州市第五十一中学2024学年第一学期高一10月月考考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合，，求得，再根据全集求解. 【详解】因为集合，， 所以， 又全集， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 命题的否定是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是特称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此的否定为 考点：全称命题和特称命题 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A:取则，故A错， 对于B:若，则，故B错误， 对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确， 对于D:若，则，，故D错误. 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 分析】解二次不等式即可得解. 【详解】解不等式可得或，故原不等式的解集为或. 故选：D. 5. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件. 【详解】由，可得对，，又因为，所以， 若，则成立，即，成立； 反之，若，成立，则，不能推出. 所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若关于x的方程的两个根为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得一元二次方程的两个根，然后结合基本不等式求得正确答案. 【详解】因为的两根为，不妨设， 所以. 当且仅当时等号成立. 故选：C. 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由中不等式变形得，且，解得：，即；由中不等式解得：，即，所以分两种情况考虑：当时，，即；当时，则有或，即，综上，则实数的取值范围为，故选C． 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及其应用． 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，同奇偶，则，由列出满足条件的所有可能情况即可. 【详解】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以 可能的取值为 共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B. 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可. 【详解】因为，． 当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或． 所以m的值为或或． 故选：ABD． 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 不等式的解集是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于不等式的解集是， 所以，B选项正确， 且，即，则， 所以，A选项正确， ，C选项错误， 不等式，即， 即，无解，D选项错误. 故选：AB 11. 若，，且，下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值；选项B，可使用“1”的代换，从而构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解；选项C，首先先将扩大，然后再让式子乘以两个分式分母组成的和，构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解，选项D，可直接求解出该式子的最小值，从而完成判断求解. 【详解】选项A，因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项B，因为，， 当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确； 选项C，， 当且仅当，即时等号成立， 故该选项正确； 选项D，，当且仅当， 即时等号成立，故该选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 满足的集合M有________个． 【答案】7 【解析】 【分析】由，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，根据集合中元素的个数分类讨论，即可求解. 【详解】可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：，，； 含有四个元素：，，； 含有五个元素：． 故满足题意的集合M共有7个． 故答案为：7. 13. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】计算，，再计算交集得到答案. 【详解】， . 故. 故答案为： 14. 已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 命题任意，成立；命题存在，成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由此可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再由当命题为假命题且命题为真命题时，可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即，成立， 则，解得， 因此，若命题为真命题，则实数取值范围是. 【小问2详解】 解：若命题为真命题，即，使得， 则其判别式，解得或， 因为命题为假命题且命题为真命题，则，可得或， 因此，当命题为假命题且命题为真命题，则实数的取值范围是. 16. 已知集合，，全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）代入，得到集合A，根据集合运算的概念求解即可； （2）由已知可得，，对与分别求解. 【小问1详解】 当时，集合，， ∴， 又，∴或， ∴ 【小问2详解】 若，则， 当，即时，，满足题意； 当，即时，应满足，解得； 综上知，实数的取值范围是或. 17. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 【答案】（1）；（2）故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【解析】 【分析】（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，可得从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得：，利用基本不等式即可得解． 【详解】由题意，每小时的燃料费用为， 当时，，解得 从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本： ， ． 故所求的函数为． （2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号． 故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知函数. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次不等式解法可得出原不等式的解集； （2）由参变量分离法可得出，利用基本不等式求出当时，的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：对于不等式，， 当时，即当时，原不等式的解集为； 当时，即当时，原不等式的解集为； 当时，即当或时， 方程的两根分别为，， 此时，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为或. 【小问2详解】 解：当时，， 由可得，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$