2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课件（第一课时）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第一课时） 授课人：李菲菲 情境导学 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度 是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 情境导学 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度 是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 解：设这个矩形的一条边长为 x ｍ， 则另一条边长为 其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． （12－x）ｍ． 由题意，得: 情境导学 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度 是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 整理得 ，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 追问( 1 ) ：与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点? 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 追问( 2 ) ：根据一元一次不等式的定义，能否给这不等式起个名字?并给出一般形式? 概念解析 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式: ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 (a≠0)， (其中a，b，c均为常数). 一元二次不等式的定义： 概念解析 其中一定是一元二次不等式的____(填序号） 下列关于x的不等式： ① ② ③ ④ ④ 一元二次不等式的解法 问题2 在初中，我们学习了从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 二次函数 类似地，对于 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ <0 < —1 问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个“二次”的关系. 一元二次不等式的解法 x y O y=x2-12x+20 我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图) P(x,y) 思考1: 设P(x,y)是图象上的一个动点 , 当P移动到x轴上方, x轴上和x轴下方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？ P(x,y) 纵坐标y>0 纵坐标y=0 P在x轴上方时: P在x轴上时: P在x轴下方时: 纵坐标y<0 P(x,y) 问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个“二次”的关系. 一元二次不等式的解法 思考2: 当P点纵坐标为0时,如何求P点横坐标? x y O y=x2-12x+20 我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图) 思考1: 设P(x,y)是图象上的一个动点 , 当P移动到x轴上方, x轴上和x轴下方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？ 纵坐标y>0 纵坐标y=0 P在x轴上方时: P在x轴上时: P在x轴下方时: 纵坐标y<0 解方程x2-12x+20=0得 x=2或10 2 10 方程x2-12x+20=0的根2和10就是二次函数y=x2-12x+20上纵坐标为0点的横坐标 P(x,0) 思考3: 一元二次方程x²-12x+20=0的实数根与二次函数y=x²-12x+20 有什么关系? 问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个“二次”的关系. 一元二次不等式的解法 x y O y=x2-12x+20 我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图) 2 10 P(x,0) 思考4: 一元二次方程x²-12x+20=0的实数根就是二次函数y=x²-12x+20图象上纵坐标为0的点的横坐标，这个结论可以推广到一般吗？ 注意：零点是实数不是点，是函数对应方程的根！ 练： 对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx十c=0的实数x叫做二次函数y=ax²+bx十c 的零点，二次函数y=x2-12x+20 的两个零点是2和10. 二次函数零点的定义： 问题2: 基于三个“一次”的思想方法．类似地，要解一元二次不等式，首先要了解这三个“二次”的关系. 一元二次不等式的解法 x y O y=x2-12x+20 我们在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象(右图) 思考5: 二次函数y=x²-12x十20的两个零点将x轴分成三段.每一段(不包括零点)对应的函数图象有什么特点?函数值y有什么特点? 2 10 当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即 x²-12x+20>0; 当2<x<10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0. 思考6: 从函数图象上能确定矩形的边长是多少米吗? 一元二次不等式x²-12x+20<0的解集是{x|2<x<l0}，所以矩形的边长x满足 2<x<10. 问题3: 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0) 和ax2+ bx+c<0 (a>0) 的解集吗?对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0 (a>0)、一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)与相应的函数y=ax²+bx+c(a>0)之间是否也具有类似的关系? 一元二次不等式的解法 -4ac ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 -4ac ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 一元二次不等式的解法 x y O x1=x2 y x O x1=x2= 没有实数根 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 x2 x y O 有两个不相的实根 x1, x2 (x1<x2) 当a大于零时，常用记忆口决：大于取两边，小于取中间 大于取上边 小于取下边 等于取零点 图形记忆 应用实例 例1：求不等式x²一5x+6>0 的解集. 【解析】对于方程x2－5x＋6=0，因为Δ>0， 故有两个不等的实数根，解得x1＝2，x2＝3 ． 画出二次函数y＝x2－5x＋6的大致图象， 结合图象得不等式x2－5x＋6＞0 的解集为： x2－5x＋6<0 的解集是什么？ x2－5x＋6≤0呢？ 思考 应用实例 例1：求不等式x²一5x+6>0 的解集. {x|2<x＜3} {x|2≤x ≤ 3} 另解：原不等式变形为(x-2)(x-3)>0 方程(x-2)(x-3)=0的两根为 x1=2，或x2=3 ∴不等式的解集为{x|x＜2，或x＞3} 使用因式分解 应用实例 例2：求不等式9x²-6x+1>0 的解集. 【解析】对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0， 画出二次函数y＝9x2－6x＋1的大致图象， 结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的 解集为 ． 所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ 应用实例 例3：求不等式一x²+2x-3>0 的解集. 因为∆<0所以方程x2－2x+3=0无实数根 追问(1) 如何求二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式的解集? 若a<0时,化二次项系数为正 【解析】不等式可化为x2－2x+3<0， 结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为:∅ 画出二次函数y=x2－2x+3的大致图象， 应用实例 追问(2) 请用框图表示形如ax²+bx+c>0 (a>0)的不等式的求解过程? 解一元二次不等式的流程图 （如果能因式分解，可以省略这一步） x 应用实例 变形 通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等式的右边为0) 求根 求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：(两根相同，)，(两根不同，)，(无实数根). 画图 画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中 求解 观察图象中位于轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集 解不含参一元二次不等式的步骤： 应用实例 例4： 变式 请求出bx2+cx+2 < 0 的解集 应用实例 例5：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系: y=-20x2+2200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 应用实例 例5：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系: y=-20x2+2200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 应用实例 例5：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系: y=-20x2+2200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 移项整理，得： 应用实例 例5：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系: y=-20x2+2200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 对于方程 ，，方程有两个实数根 画出二次函数的图象，结合图象得不等式 的解集为从而不等式的解集为. 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 移项整理，得： 应用实例 例5：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系: y=-20x2+2200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 对于方程 ，，方程有两个实数根 画出二次函数的图象，结合图象得不等式 的解集为从而不等式的解集为. 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 移项整理，得： 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益. 归纳小结 ❐（1）当a>0时，函数y=ax²+bx+c 与方程ax²+bx十c=0、不等式ax²+bx+c>0 之间有什么关系? ❐（2）请简单说明如何解一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0)? ❐（3）本节课有哪些数学思想方法？ 作业布置 1.必做题 教科书习题2.3第1，2，3，4题. 2.选做题 谢 谢 $$