精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度秋季学期随堂练习（一） 八年级数学学科 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列选项中，比-低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可. 【详解】A：-3＜-2，选项正确； B：-1＞-2，选项错误； C：0＞-2，选项错误； D：1＞-2，选项错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键, 2. 小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据轴对称图形的概念对选项依次进行判定，即可得出结论． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，重点培养学生对图形的观察能力的空间想象能力，掌握轴对称图形的定义并准确理解其含义是进行判断的关键． 3. 2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据126万亿元用科学记数法表示为元． 故选：D． 4. 下列调查适合抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 审核书稿中的错别字 C. 调查一批LED节能灯管的使用寿命 D. 对七（1）班同学的视力情况进行调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】A．对搭乘高铁的乘客进行安全检查非常重要，适合全面调查； B．审核书稿中的错别字非常重要，适合全面调查； C．调查一批LED节能灯管的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； D．对七（1）班同学的视力情况进行调查工作量比较小，适合全面调查； 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，以AC长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝36°，∠C＝40°，则∠BAD的度数是（　　） A. 70° B. 44° C. 34° D. 24° 【答案】C 【解析】 【分析】由AC＝CD，∠C＝40°得到∠ADC＝70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AC＝CD，∠C＝40°， ∴∠ADC＝70°， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝34°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，能够根据题意得出∠ADC＝70°是解题的关键. 6. 等腰三角形的两边长为和，那么它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及应用，注意分类讨论思想的运用，分两种情况讨论：当腰长为和当腰长为，解答出即可． 【详解】解：根据题意，当腰长为时，满足三角形的三边关系，则周长， 当腰长为时，满足三角形的三边关系，则周长， 综上所述：等腰三角形的周长是或， 故选：C． 7. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 8. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是， 所以多边形的边数是12． 故选：D． 9. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键；根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质可求得答案． 【详解】解：设如下图所示， ∵纸条的两条对边互相平行， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∴， 故选：C． 10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解． 【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y， 表示若2人坐一辆车，则9人需要步行， 表示三人坐一辆车，则有两辆空车， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 11. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得． 【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1， ∴m-1＜0，即m＜1， 故选：B． 【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点G，延长到点F，使，连接，则垂直平分，因此，所以，再证明，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；假设成立，则，所以，得，则垂直平分，可推导出是等边三角形，以及，这与题中所给条件不符，可判断②错误；由得，而，所以，可判断③正确；由得，因为，所以，可判断④正确． 【详解】解：如图，设交于点G，延长到点F，使，连接， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； 假设成立，则， ， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 显然，与题中所给条件不符， 故②错误； ， ， 故③正确； ， ， 故④正确， 综上所述：①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 若，则的补角是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互补两角的关系，相加等于的两个角互补，根据互补两角的关系求解即可得出答案． 【详解】， 的补角是， 故答案为：． 14. 点关于轴对称点的坐标在第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的特征，各个象限内点的坐标的特点，根据相关知识求解即可． 【详解】点关于轴对称，横坐标相反，纵坐标相等， 点关于轴对称点的坐标为， 故该坐标在第一象限， 故答案为：一． 15. 一个六边形共有______条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线条数的计算方法是解题的关键．从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条，那么总共可以做条，即可得解． 【详解】解：从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条， 一个六边形总共可以做条， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 17. 某种商品进价为400元，标价为500元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，这种商品最多可以按______折销售． 【答案】八五 【解析】 【分析】设商品打x折出售，然后根据利润（售价进价）进价列出不等式求解即可． 【详解】解：设商品打x折出售， 由题意得，， 解得， ∴这种商品最多可以按八五折出售， 故答案为：八五． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 18. 如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D，根据垂直平分线的性质、勾股定理、三线合一和点的坐标即可求出AO、AB、OB、AD的长，然后利用三角形外角的性质和等角对等边可得AC=AO，从而求出BC，根据勾股定理即可求出OC，再利用三角形外角的性质和等角对等边可得PB=PC，从而得出结论． 【详解】解：延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D ∵点坐标是，是的垂直平分线上一点 ∴AO=AB ，OB=2OD=4， ∠OAB =2∠OAD，AD=5 根据勾股定理可得AB= AO= ∵PO⊥x轴 ∴AD∥PO ∴∠OAD=∠AOP ∴∠OAB =2∠AOP ∵∠OAB=∠AOP＋∠ACO ∴∠AOP=∠ACO ∴AC=AO= ∴BC=AB＋AC= 根据勾股定理可得OC= ∵ ∴∠OPB=2∠AOP=2∠ACO ∵∠OPB=∠ACO＋∠ABP ∴∠ACO=∠ABP ∴PB=PC ∴PO＋PC=OC=10 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边和三线合一是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组；并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：； 解集在数轴上表示如下所示： 【解析】 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为： 21. 已知：如图，在中，，． （1）求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的角度？ 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出； （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义进行计算得出答案． 【小问1详解】 解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点P，即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图—尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握尺规作图作角平分线解题关键． 22. 国家航天局消息：北京时间2021年10月14日，神舟十三号成功发射，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； （3）该校共有1200人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 【答案】（1）50 （2） （3）1104 【解析】 【分析】（1）利用不关注，关注，比较关注的人数和除以三类人数所占比例进行计算即可； （2）用减法求出非常关注的人数，从而补全条形统计图，用“关注”人数所占的比例进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：此次调查中接受调查的人数为：(人)； 故答案为：； 【小问2详解】 非常关注的人数为：(人)； 补全条形图如下： “关注”对应扇形的圆心角为：； 故答案为：； 【小问3详解】 (人)． 答：该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数为1104人． 【点睛】本题考查扇形图和条形的综合应用．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 23. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）平分交于，于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，，，D是上的一点，且. （1）求证： （2）若，，求的度数. 【答案】（1） 证明∵， ∴. ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，利用边角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形内角和公式及等腰三角形性质求出，结合得到，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵， ， ， ； 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线性质，等腰等腰三角形性质，解题的关键是根据平行线得到全等的条件． 25. 综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． （1）小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： （2）动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可； （2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案； 根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴ 答：阴影部分的面积为； 【小问2详解】 设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ∴ 答：每个小长方形的面积为． 26. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】 （1）证明：∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋季学期随堂练习（一） 八年级数学学科 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列选项中，比-低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 下列调查适合抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 审核书稿中的错别字 C. 调查一批LED节能灯管的使用寿命 D. 对七（1）班同学的视力情况进行调查 5. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，以AC长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝36°，∠C＝40°，则∠BAD的度数是（　　） A. 70° B. 44° C. 34° D. 24° 6. 等腰三角形的两边长为和，那么它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 8. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( ) A. 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B. 三人坐一辆车，则2人需要步行 C. 三人坐一辆车，则有两辆空车 D. 三人坐一辆车，则还缺两辆车 11. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 若，则的补角是__________． 14. 点关于轴对称点的坐标在第__________象限． 15. 一个六边形共有______条对角线． 16. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 17. 某种商品进价为400元，标价为500元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，这种商品最多可以按______折销售． 18. 如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 解不等式组；并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 21. 已知：如图，在中，，． （1）求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的角度？ 22. 国家航天局消息：北京时间2021年10月14日，神舟十三号成功发射，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； （3）该校共有1200人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 23. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）平分交于，于点，求的度数． 24. 如图，，，D是上的一点，且. （1）求证： （2）若，，求的度数. 25. 综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． （1）小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： （2）动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 26. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $