拓展3-4 圆锥曲线与方程高频题型专攻-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

拓展3-4 圆锥曲线与方程高频题型专攻 一、圆锥曲线的定义 七、求圆锥曲线的轨迹方程 二、求圆锥曲线的标准方程 八、直线与圆锥曲线的位置关系 三、焦点三角形 九、弦长问题 四、线段和差的最值问题 十、三角形与四边形的面积问题 五、求离心率 十一、中点弦问题 六、求离心率的取值范围 十二、定点定值问题 一、圆锥曲线的定义 【例1】已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【例2】已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【变式1-1】已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1-2】（多选）已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（    ） A．8 B． C．24 D． 【变式1-3】设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 二、求圆锥曲线的标准方程 【例3】已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 【例4】已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是 . 【变式2-1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 【变式2-2】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【变式2-3】已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 三、焦点三角形 【例5】（多选）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【例6】双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【变式3-1】设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为 . 【变式3-2】椭圆上有两点分别为椭圆的左､右焦点，是以为中心的正三角形，则的周长为 ． 【变式3-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 四、线段和差的最值问题 【例7】已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【例8】已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【变式4-1】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-2】已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为 ． 【变式4-3】已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 五、求离心率 【例9】已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例10】已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 【变式5-1】以椭圆的右焦点为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于两点，椭圆的左焦点为 ，直线与圆相切，则椭圆的离心率为 . 【变式5-2】已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 六、求离心率的取值范围 【例11】已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【变式6-1】已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 【变式6-3】已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 七、求圆锥曲线的轨迹方程 【例13】已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例14】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【变式7-1】已知△ABC的顶点，，满足：．记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程； 【变式7-2】已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【变式7-3】已知方程表示一个圆． 求： (1)圆半径最大时t的值； (2)圆心的轨迹方程． 八、直线与圆锥曲线的位置关系 【例15】若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【例16】过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【变式8-1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式8-2】已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【变式8-3】已知直线与双曲线，若直线与双曲线左支交于两点，求实数的取值范围. 九、弦长问题 【例17】过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例18】已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【变式9-1】已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为，则椭圆的方程为 ． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【变式9-3】若椭圆与直线交于两点，且，求的值. 十、三角形与四边形的面积问题 【例19】已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【例20】已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式10-1】椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【变式10-2】已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 十一、中点弦问题 【例21】已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【例22】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【变式11-1】已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【变式11-2】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【变式11-3】若直线平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围． 十二、定点定值问题 【例23】已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【例24】已知直线经过椭圆的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足，求证：直线过定点，并求该定点的坐标. 【变式12-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 【变式12-2】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 【变式12-3】已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-4 圆锥曲线与方程高频题型专攻 一、圆锥曲线的定义 七、求圆锥曲线的轨迹方程 二、求圆锥曲线的标准方程 八、直线与圆锥曲线的位置关系 三、焦点三角形 九、弦长问题 四、线段和差的最值问题 十、三角形与四边形的面积问题 五、求离心率 十一、中点弦问题 六、求离心率的取值范围 十二、定点定值问题 一、圆锥曲线的定义 【例1】已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 【例2】已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 【变式1-1】已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为在抛物线上，故， 整理得到：即， 解得或（舍），故焦点坐标为， 故所求距离为， 故选：D. 【变式1-2】（多选）已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（    ） A．8 B． C．24 D． 【答案】AD 【详解】因抛物线的准线为， 则点到直线的距离为：，解得，或. 故选：AD. 【变式1-3】设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 【答案】3 【详解】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点， 所以， 又，， 所以. 故答案为：. 二、求圆锥曲线的标准方程 【例3】已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，显然不为双曲线； 当时，可化为， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得， 若双曲线的焦点在轴， 则满足解得. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【例4】已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是 . 【答案】 【详解】因为抛物线C:经过点，所以，解得， 所以抛物线方程为，故抛物线的焦点在轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 【变式2-1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，又，所以. 设双曲线方程为：，把点带入，得： . 所求双曲线的标准方程为：. （2）因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且. 所以抛物线的标准方程为：. 【变式2-2】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 【变式2-3】已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 【答案】 【详解】由已知，，，，① ∵，则，∴， 则，∴，代入①式， 解得，， ∴双曲线的方程为． 三、焦点三角形 【例5】（多选）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【答案】BCD 【详解】BC选项，因为， 由椭圆定义得，， 故的周长为，BC正确； A选项，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，故不存在点P，使得，A错误； D选项，设，则，，， 故， 因为，所以，，D正确.    故选：BCD 【例6】双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【答案】3 【详解】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设， 由，有， 则， 解得，. 故答案为：3 【变式3-1】设双曲线C:（）的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且. 若的面积为，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】 方法一：不妨设在双曲线左支上，，则， ∵， ∴①，且②， 又∵离心率为，∴③； 解①②③得，则. ∴双曲线方程为. 方法二:， 又∵离心率为， ∴ ， ∴，则双曲线方程为. 故答案为：. 【变式3-2】椭圆上有两点分别为椭圆的左､右焦点，是以为中心的正三角形，则的周长为 ． 【答案】 【详解】设边与轴交于点，且是以为中心的正三角形， 则，且为的重心， 由重心定理可得，，则， 在Rt中，，则， 所以，由椭圆的定义可得， ，即 化简可得，则． 所以的周长为． 故答案为：18-6. 【变式3-3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】 【详解】由椭圆：，得， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以，所以， 则， 所以， 所以点在椭圆的上下顶点处， 所以. 故答案为：. 四、线段和差的最值问题 【例7】已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 【例8】已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【答案】 1 【详解】如图，由题可知，圆C的圆心坐标为（，2），半径为1，设椭圆E的左焦点为. 椭圆中，，，则，当F1、P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为. 故答案为：，1 【变式4-1】已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外， 抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接， 则，于是， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故选：C 【变式4-2】已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为 ． 【答案】 【详解】由椭圆标准方程可知， 又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以 所以 易知，当且仅当三点共线时等号成立； 又，所以； 即的范围为. 故答案为： 【变式4-3】已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】如图所示：      由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 五、求离心率 【例9】已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，不妨设直线经过椭圆的右焦点，因垂直于轴，由图形对称性知，椭圆经过点， 代入椭圆方程可得，，整理得，， 把代入整理得，， 两边同除以，即得，，解得或， 因，故得，. 故选：C. 【例10】已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 【变式5-1】以椭圆的右焦点为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于两点，椭圆的左焦点为 ，直线与圆相切，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆半长轴、半短轴，半焦距分别为， 易知是直角三角形，且， 所以， 由椭圆的定义知， 则离心率. 故答案为： 【变式5-2】已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 【变式5-3】已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据题意点在上， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 六、求离心率的取值范围 【例11】已知椭圆上存在点，使得，其中，是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以离心率的范围， 故选：D . 【例12】已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在中， 又因为, 所以在中，, 即 所以， 又因为为通径，即，， 所以，且， 所以， 即， 即， 解得， 又因为双曲线离心率， 所以该双曲线的离心率取值范围为：. 故答案为：.    【变式6-1】已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即， 设，则， 所以， 因为C的长轴长大于，所以，， 所以，解得，所以：. 故选：B. 【变式6-2】已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 【答案】B 【详解】法一：设直线方程， 与联立得， 设两交点坐标为， 则， 解得，即， 离心率; 法二：易知渐近线方程为,由题意得，离心率， 故选:B. 【变式6-3】已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题，， 设，由中点坐标公式得， 代入中，得，整理得， 又，得，得． 故答案为：. 七、求圆锥曲线的轨迹方程 【例13】已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 由题意可知，即， 将点代入，得， 即． 故选：D． 【例14】设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 【变式7-1】已知△ABC的顶点，，满足：．记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程； 【答案】 【详解】 设，用坐标表示 ，即可整理出的轨迹方程； 设，则，整理得， 故的轨迹方程为； 【变式7-2】已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式7-3】已知方程表示一个圆． 求： (1)圆半径最大时t的值； (2)圆心的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在圆的方程中，有， 所以， 所以，即． 而， 当时，r取得最大值． （2）设圆心坐标为，则， 由①得：，代入②消去t得：． 由，则，即轨迹为抛物线的一段， 圆心的轨迹方程为． 八、直线与圆锥曲线的位置关系 【例15】若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【详解】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 【例16】过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 【变式8-1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 【变式8-2】已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 【变式8-3】已知直线与双曲线，若直线与双曲线左支交于两点，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为直线与双曲线左支交于两点，所以两点横坐标皆小于， 把代入得：， 所以有两个小于的零点， 因为，所以， 所以，解得， 则实数的范围为. 九、弦长问题 【例17】过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为； 故可设， 与双曲线联立可得， ， 由弦长公式知， 则或. 故存在四条直线满足条件. 故选：D 【例18】已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 【变式9-1】已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】 依题意，设，， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 又，是这个方程的两个实根， 所以 ，即， 由弦长公式得 ， 所以当时，取到最大值，即，解得． 所以椭圆C的方程为． 故答案为：. 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    【变式9-3】若椭圆与直线交于两点，且，求的值. 【答案】 【详解】设，，由， 解得，， 故， ，即， 所以. 十、三角形与四边形的面积问题 【例19】已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 【例20】已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    【变式10-1】椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； （2）由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 【变式10-2】已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】由题知焦点，准线为，直线的方程为：， 联立，可得， 所以或（舍），， ， 所以． 故答案为：. 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以，整理得， 所以的标准方程为. （2）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则，，， 故， 因为是AB中点，所以即， 同理可得， 所以到两渐近线的距离分别为，. 到两渐近线的距离分别为，， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接OP， 则四边形面积为， 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围为. 十一、中点弦问题 【例21】已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 【例22】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得： 所以抛物线为：， 又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即. （2）由（1）设直线的方程为， 由消去x得：，有，解得， 设，则，于是线段的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得，符合题意， 所以直线的方程为. 【变式11-1】已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【答案】/0.25 【详解】由题意知椭圆的离心率为， 故，， 设，由题意知l的斜率存在，则， 设线段AB的中点为， 则直线l的斜率为，直线的斜率， 由，两式相减得， 即得，即， 故， 故答案为： 【变式11-2】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为， ，解得， 双曲线的方程为； （2）线段的中点为， , 点都在双曲线上， ，即， ． 直线的方程为，即． 联立，消去得，该方程有解， 故直线的方程为. 【变式11-3】若直线平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围． 【答案】． 【详解】设双曲线的斜率为1的弦所在直线为， 弦的两个端点为，，其中点坐标为． ， 则，． ． 直线平分双曲线的弦该弦的中点在直线上． ∴． 由可得，． ∴a的取值范围是．    十二、定点定值问题 【例23】已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． （2）如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 【例24】已知直线经过椭圆的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足，求证：直线过定点，并求该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意得， 将代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为，     所以，因此，         解得或（舍去），，         即椭圆方程为. （2）当直线m的斜率为0时，直线的方程为，此时；     当直线m的斜率不为0时，可设直线m的方程为， 代入椭圆方程，得到，     由，得到或，因此A，B点不在直线l上， 设点，， 则，，     则，         因为，所以， 所以直线的方程为， 令，得到，     所以， 综上，直线过定点.    【变式12-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，1 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）如图： 由题意得，， 当直线MN的斜率为零时，则 当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为， 点，联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ， 综上，，为定值. 【变式12-2】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即， 又因为，设，可得，所以， 则， 所以， 将代入上式，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得或， 且， 过点与垂直，所以，因为，所以， 设直线的方程为， 联立方程组，可得的，解得， 因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得 所以， 所以. 【变式12-3】已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意，可设， 由题意得，解得， 所以的方程为. （2）易知的斜率不为0， 设    由得， 则. 所以 ，得， 故，即， ，故直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$