精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

实验中学高一年级第一次学情检测 数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或. C. D. 或. 6. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C D. 不等式解集是 7. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（ ） A 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 采用哪种方案无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 10. 设，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的取值范围是______. 13. 已知，将化为分数指数幂形式，则__________. 14. 设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 （1）若，分别求的值.； （2）若，用列举法表示集合 16 已知集合，，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 18. 已知命题；命题. （1）若p为真命题，求实数a的最小值； （2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 19. 已知不等式的解集为 （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学高一年级第一次学情检测 数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】当时，；而当时，或， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或. C. D. 或. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，通分变形转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，即， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 7. 已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 8. 由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（ ） A 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 采用哪种方案无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】设两次购买猪肉的价格分别为，，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案. 【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，， 第一种方案，均价为， 第二种方案，均价为， 其中，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以采用第二种方案划算. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为， 因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9； 因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即. 如图： 所以：，，，故AC正确； 因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确； 因为，故D错误. 故选：ABC 10. 设，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式分别判断各选项. 【详解】A选项：由，，则，当且仅当时等号成立，A选项正确； B选项： ，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由，则，当且仅当，即，时等号成立，C选项正确； D选项：，即，，当且仅当时等号成立，D选项错误； 故选：ABC. 11. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集. 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】运用不等式性质变形计算即可. 【详解】，则,则. 故答案为：. 13. 已知，将化为分数指数幂形式，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 （1）若，分别求的值.； （2）若，用列举法表示集合. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【小问1详解】 由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 16. 已知集合，，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析得出，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）分析得出，分和两种情况结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 集合，， 若，则， 有，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 集合，， 若，则， 当，即时，，符合题意； 当时，有，解得， 所以实数的取值范围为. 小问3详解】 集合，，若， 当，即时，，符合题意； 当时，有或，解得， 所以实数的取值范围. 17. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】（1）长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【小问1详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； 【小问2详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 18. 已知命题；命题. （1）若p为真命题，求实数a最小值； （2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值， （2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论. 【小问1详解】 因为为真命题，所以的解集为， 所以，解得， 所以实数a的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，所以当为真命题时，， 由（1）可知为真命题时，， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题，为真命题时，，所以， 综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为. 19. 已知不等式的解集为 （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 【答案】（1）15； （2）； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式的解集为，且不等式的解集为，然后利用根与系数的关系可得，，从而可求得的值； （2）结合（1）可得恒成立，可得，再由不等式有且仅有9个整数解，得，从而可求得的取值范围； （3）当时，结合（1）得，然后分，和三种情况求解，当时，由（1）的方法可得，再由恒成立，可得，从而可求得不等式的解集，再分和求解即可 【小问1详解】 因为，不等式的解集为， 所以不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得，， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以不等式，可化为， 由（1）知等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 若，则由（1）可知可化为， 即， 当时，，即不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，即不等式的解集为， 若，则不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得， 所以不等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为， 解得或，即不等式的解集为， 当时，，得， 所以所求不等式无解， 当时，，得， 所以所求不等式为，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，考查由不等式的解集确定参数，解题的关键是合理分类讨论，根据一元二次不等式的解法求解，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$