精品解析：吉林省四平市第一高级中学等校2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年度上学期第一次月考 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共19题，共150分，共4页 考试时间120分钟.考试结束后只交答题卡 第Ⅰ卷 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 判断下面结论正确的个数是（ ） ①函数的单调递减区间是； ②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数； ③函数是R上的增函数； ④已知，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 下列关于集合运算的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 5. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则： 等级原始分占比赋分区间 A 3% [91,100] B+ 79% [81,90] B 16% [71,80] C+ 24% [61,70] C 24% [51,60] D+ 16% [41,50] D 7% [31,40] E 3% [21,30] 转换对应赋分T的公式： 其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数） 若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，多选和错选不得分，共18分） 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 10. 函数（，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的最大值为______ 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，______． 14. 设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 16. （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 18. 阅读材料： 差分和差商 古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题： （1）计算一次函数的差商. （2）请通过计算差商研究函数的增减性. 19. 已知函数． （1）问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） （2）当时，解关于x的不等式； （3）当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期第一次月考 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共19题，共150分，共4页 考试时间120分钟.考试结束后只交答题卡 第Ⅰ卷 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的表示方法判断即可. 【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集． 选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程． 故选：C 2. 判断下面结论正确的个数是（ ） ①函数的单调递减区间是； ②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数； ③函数是R上的增函数； ④已知，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可 【详解】对于①，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以①错误， 对于②，由可得，所以与同号，所以函数在D上是增函数，所以②正确， 对于③，当和时，，所以不是R上的增函数，所以③错误， 对于④，因为，所以，所以④正确， 故选：B 3. 下列关于集合运算的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用交并集、补集的知识及关系，即可得出结论. 【详解】A：由并集及交集，补集知识可知，故A正确； B：由交集的分配律可得，故B正确； C：由交集与并集知识可得，故C正确； D：由交集与并集知识可得，故D错误. 故选：D. 4. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 5. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 6. 映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则： 等级原始分占比赋分区间 A 3% [91,100] B+ 79% [81,90] B 16% [71,80] C+ 24% [61,70] C 24% [51,60] D+ 16% [41,50] D 7% [31,40] E 3% [21,30] 转换对应赋分T的公式： 其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数） 若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋分公式，分别代入数据等级A赋分区间[91,100]及原始分区间[81,87]的端点即可得出结果. 【详解】等级A赋分区间[91,100]，原始分区间为[81,87]， 据赋分公式，得，解得． 故选：C． 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 二、多选题（每题6分，多选和错选不得分，共18分） 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. B. 函数与不是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据元素与集合之间的关系分析判断即可；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据抽象函数的定义域分析判断；对于D：利用配凑法结合对勾函数值域分析求解. 【详解】对于选项A：因为为自然数集，所以，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数与的对应关系不同， 所以函数与不是同一函数，故B正确； 对于选项C：若的定义域为， 对于函数，可得，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于选项D：因为， 由对勾函数可知的值域为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 函数（，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论，即可根据函数的单调性以及对勾函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， 当时，，，其图象与选项A对应， 当时，，在区间上，为对勾函数，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项B对应， 当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第四象限先增后减，无对应选项， 当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，图象与选项D对应， 故选：ABD． 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以A正确； B中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； C中，若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】变形后运用基本不等式求解即可． 【详解】． 因为，所以，， 当且仅当，即 时，等号成立． 所以． 故答案为：． 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据奇函数的定义求解时的解析式，再根据奇函数，进而求解出的解析式即可 【详解】假设，则根据为奇函数， 得：，又的定义域为，，综上可得：. 故答案为： 14. 设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，解得或，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性计算得到答案. 【详解】函数的图象的开口向上，且存在，使得成立 所以，解得或． ①当时，若存在，使得成立，则， 此时函数的图象的对称轴为直线，且 故函数在上单调递增．又，所以不成立． ②当时，若存在，使得成立，则 此时函数需满足，解得． 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为 【点睛】本题考查了函数的取值范围，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 【答案】（1）或. （2）或. （3），或. 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【小问1详解】 借助数轴可得 ∴或. 【小问2详解】 ∵， ∴＝或. 或. 【小问3详解】 ， 或. 16. （1）是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． （2）若是的充分条件，求m的取值范围 （3）若=，求m的取值范围 【答案】（1）不存在，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【小问1详解】 若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； 【小问3详解】 若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称； (ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） (i)， ∵为奇函数，∴为奇函数， ∴函数的图象关于点对称. (ii). 【解析】 【分析】(1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出； (2)(i)验证为奇函数即可； (ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ∵为奇函数， ∴，得， 则令，得. 【小问2详解】 (i)略 (ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 由对，总，使得成立知， ①当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 18. 阅读材料： 差分和差商 古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题： （1）计算一次函数的差商. （2）请通过计算差商研究函数的增减性. 【答案】（1） （2）函数在和递减，在递增 【解析】 【分析】（1）由材料根据差商定义式求解即可； （2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性. 【小问1详解】 一次函数的定义域内任取，且， 差商为， 一次函数的差商处处为； 【小问2详解】 函数的定义域为，设， 计算在的差商为， 当时，， 从而，故函数在递减； 当，， 从而，故函数在递减； 当时，则， 从而，故函数在递增； 综上所述，函数在和递减，在递增. 19. 已知函数． （1）问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） （2）当时，解关于x的不等式； （3）当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及一元二次方程根的关系即可求解； （2）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则，结合分类讨论即可求解； （3）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则即可求解. 【小问1详解】 方程等价于． 若选①，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. 若选②，原问题等价于,解得． 所以实数a的取值范围为. 若选③，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 当时，等价于． ①当，即时，； ②当，即或时， 当时，； 当时，． ③，即时， 当时，或； 当时，或． 当时，． 综上，当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 等价于． 因为解集中整数解恰有2023个，则． 因为，所以． 则2023个整数解为0，，，． 即． 即． 又，所以，解得． 又，所以． 所以，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $