2.3.1 两条直线的交点坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.1直线的交点坐标 00 前情回顾 （，不同时为） 斜率不存在过点 且垂直于轴的直线 任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离 1 两条直线的交点坐标 目录 2 判断两条直线的位置关系 3 直线的交点系方程 几何角度 代数角度 ？ ？ 00 问题引入 今天，我们一起来探讨上面的问题？ 点 直线 点在直线上 直线1上与2的交点是 目录 1 两条直线的交点坐标 01 新知探究 点在直线上 探究1： 点(4,1)在直线上吗？你是怎么判断的？ 点(0,3)和点(4,1)在直线上吗？ 点的坐标满足直线方程 思考： 点(4,1)在直线上，也在直线上， 那么点(4,1)与这两条直线与何关系？画出图象并观察? 点(4,1)是直线与 直线的交点坐标。 思考：如果任给两个直线方程，你能求出它们的交点坐标吗？怎么求？ 01 新知探究 探究 已知两条直线，：相交， 它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系？ 分析:直线，的图象如图所示， 点既在直线上，也在直线上; 满足直线l1的方程x＋y－5＝0， 也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即为方程组的解 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 01 新知1——两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点坐标: 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 练一练 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： ， 解：解方程组得 所以，与的交点是.(如图) 练一练 例2 求下列直线的交点： (1)，； (2)， (3)，. 解：(1) 与交点坐标为(2)与的交点是 (3)这个方程组无解，所以与无公共点，. 练一练 例3 已知三条直线，， 相交于一点，求的值. 解：解方程组 所以两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线上， 将代入，得，解得. 练一练 例4 直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2,1)，求m＋n的值？ 解：∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 练一练 例5 两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上,求k的值？ 解：因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上， 所以设交点为(0，b)， 目录 2 判断两条直线的位置关系 02 新知探究 探究2 直线，直线 方程组一定有且只有一个解吗？什么时候无解，什么时候有多个解？ x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 l1 l2 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 无数组解， 且每一组解都满足方程 02 新知2－判断两条直线的位置关系 2.方程组的解与直线的位置关系: 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 直线位置关系 直线斜率 解方程 直线方程系数关系或斜率关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 解的个数与交点的个数的对应，判断两条 直线平行或相交；求相交直线交点坐标. 练一练 例1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)，； (2) (3)，. 解：(1)解方程组所以两条直线的交点坐标为 (2)解方程组 ，得，矛盾， 这个方程组无解，所以与无公共点， (3)解方程组 得 和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，与重合. 练一练 例2 在下列直线中，与直线相交的直线为( ). . . . . 解： 。 C 练一练 例3 若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限， 求k的取值范围. ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 总结 直线的位置关系 (1)判断两直线位置关系的关键是看两直线的方程组的解的情况. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 目录 3 直线的交点系方程 03 新知探究 探究3 当λ变化时，直线方程 表示什么图形，有何特点？ 当λ=0时,方程为3x+4y-2=0 x y 当λ=1时,方程为5x+5y=0 当λ=－1时,方程为x+3y-4=0 O 该直线过定点： 注：此直线系方程少一条直线l2 几何意义: 此方程表示经过直线=0与直线=0 交点 的直线束(但不包括直线=0 ). 03 新知3——直线的交点系方程 3.直线的交点（定点）系方程： 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注： 其中是待定系数， 当时，表示直线， 此方程无法表示直线 x y O 注：此直线系方程少一条直线l2 练一练 例1 直线经过原点, 且经过直线与直 的交点, 求直线的方程？ 解：由已知可设直线方程为 因为直线经过原点，代入得 即 所以，直线方程为即 练一练 例2 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程？ 解：∵设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 练一练 例3 求斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0 交点的直线方程？ 解：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 课堂小结 1.两条直线的交点坐标: 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 课堂小结 2.方程组的解与直线的位置关系: 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3.直线的交点（定点）系方程： 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注：此直线系方程少一条直线l2 本课结束 课后要记得巩固哦! 所以消去b，可得k＝±6. ∴ 解得 即－<k<－. 解：联立两直线的方程 解得 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0， 即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. ∴k＝＝－2，解得λ＝5. $$