3.2.2 奇偶性2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册）

第 3 章 函数的概念及其表示 3.2.2 奇偶性 人教A版2019必修第一册 判断函数奇偶性 3 偶函数定义 1 奇函数定义 2 目录 教学目标 1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养； 2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养； 3、学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养； 4. 在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决函数性质的总个问题，提升数学运算的核心素养。 情景导入 01 情景导入         故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！ 偶函数 02 概念讲解 探究1：在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=|x| … … -1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 两个函数图象关于y轴对称 -x x (x.f(x)) (-x,f(-x)) 概念讲解 思考：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)= x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 … 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 对于函数f(x)=x2， 有f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) …… f(-x)=f(x) 概念讲解 偶函数 一般地，设函数的定义域为D，如果对于，都有且，那么，函数就叫做偶函数。 定义 常见的偶函数有 等等 ∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x) 图像关于y轴对称 图象特征 符号语言 概念辨析 （1）函数f(x)=x2, x∈[-2,2] （2）函数g(x)=x2, x∈[-1,2] 判断下面两个函数是否为偶函数？ 解：可以作出两个函数的图象 （1） （2） 由函数图象可以得到（1）是偶函数，（2）不是偶函数 注意：∀x∈D，都有-x∈D即定义域关于原点对称 奇函数 03 概念讲解 探究2：在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x和g(x)=的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 两个函数图象都关于原点成中心对称图形。 概念讲解 思考：你能用符号语言精确地描述“函数图象关于原点对称”这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)= x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x)= … - - -1 1 … 对于函数f(x)=x， 有f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) …… f(-x)=-f(x) 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也互为相反数. 概念讲解 奇函数 一般地，设函数的定义域为D，如果对于，都有且，那么，函数就叫做奇函数。 定义 ∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=-f(x) 图像关于原点对称 图象特征 符号语言 常见的奇函数有等等 概念辨析 1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t= . 解：因为f(x)为奇函数，所以定义域要关于原点对称 ∴2t-3=-t ∴ t=1 1 注意：∀x∈D，都有-x∈D即定义域关于原点对称 概念讲解 根据奇偶性，函数分为四类： 1.奇函数 2.偶函数 3.既奇又偶 （f(x)=0，定义域关于原点对称） 4.非奇非偶 （如图） x y 函数奇偶性的判断 04 概念讲解 例1.判断下列函数的奇偶性. (1)定义域为R， ∴此函数是偶函数； (2定义域为R， ∴此函数是奇函数； (3)定义域为 ， ∴此函数是奇函数 (4)定义域为 ， ∴此函数是偶函数. 判断函数奇偶性，首先要看定义域. 概念讲解 归纳小结：判定函数奇偶性基本方法: （1）定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. ①是偶函数； ②是奇函数； ③是非奇非偶函数； ④ 既是奇函数，又是偶函数. （2）图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称. 概念讲解 练习：（1）判断函数的奇偶性. （2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？ 解：(1)对于函数，其定义域是R .由于对定义域内的任意x，都有 所以，函数f(x)是奇函数. 概念讲解 (2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图 达标检测 达标检测 概念讲解 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是______． 解：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}． 课堂小结 05 课堂小结 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3 C．f(x)＝eq \r(x) D．f(x)＝x2，x∈(－1,1] 【解析】　对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B. 【答案】　B 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 【解析】　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3).故选B. 【答案】　B $$