精品解析：江西省抚州市东乡区实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

东乡实验中学2024年秋季10月考试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 3. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 4. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 6. 直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个公共点，则或. 故选：D. 7. 代数式的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】易知表示点到点与点的距离之和，画出图形，数形结合即可得解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接， 则， 即当点为与轴交点时，代数式取得最小值13. 故选：D. 8. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 二、多选题（共18分） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 过点的直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，点在轴上，则的最小值是5 【答案】ABCD 【解析】 【分析】先确定直线的斜率，再求倾斜角，可判断A选项；根据直线方程求出直线经过的定点，判断B选项；利用平行线间的距离公式求两直线的距离，判断C选项；利用两点之间线段最短，判断D选项. 【详解】对A：因为，而，所以直线的倾斜角不是，故结论A不正确； 对B：由. 由， 所以直线恒过定点，故结论B不正确； 对C：直线即与直线的距离为：，故结论C不正确； 对D：如图： ，故结论D不正确. 故选：ABCD 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线过点， 圆，即①， 圆心为，半径为， 由于，所以在圆内.， 所以，此时，所以A选项正确. 若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误. 设，则，此时三角形是等腰直角三角形， 到直线的距离为，即， 解得或，所以C选项正确. 对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，， 所以的垂直平分线为，则②， 圆的方程为， 整理得③， 直线是圆和圆的交线， 由①-③并整理得， 将代入上式得，④， 由②④解得， 所以直线即直线的斜率为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 14. 圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为_________. 【答案】28 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，构造直角三角形求出四边形的对角线长度，则四边形面积为对角线乘积的一半，结合基本不等式即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示： 设， 则，且， 则四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最大值为28. 故答案为：28. 四、解答题（共77分） 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出点P关于的对称点即可求出反射光线所在的直线方程. （2）分切线斜率是否存在进行讨论即可. 【小问1详解】 设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. 【小问2详解】 圆C：即圆C：的圆心为，半径为， 过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意； 设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切， 则，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，满足题意的切线方程为或. 16. 已知点，圆：． （1）求圆过点的最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可； （2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到，.再由转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可. 【小问1详解】 过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线， 圆的圆心，则， 所以过点的最短弦所在的直线方程为，即． 【小问2详解】 消去得， 化简后为． 因为圆与直线交于，两点， 所以， 即，解得． 设，，则，． 因为，所以，即． 由得． 从而，解得． 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【小问1详解】 解：设的中点为， 的中点为，且 ，即 点在圆上 即 化简得： 所以的轨迹方程为： 【小问2详解】 解：设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为 设直线的方程为： 联立直线与圆的方程： 得： 解得： ， 由得： 即 化简得： 将韦达定理代入得： 解得：，符合题意 此时直线的方程为： 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为 在直线的方程中，当时，，即直线过圆心 所以 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法 ①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程． ②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键． ③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法． 18. 已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． （1）求公共弦AB的长度； （2）求圆E的方程； （3）过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值17，最小值 【解析】 【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可； （2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程； （3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值． 【小问1详解】 圆，所以圆的圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 公共弦； 【小问2详解】 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，，即，到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； 【小问3详解】 当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，四边形的面积； 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：， 则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设， 当或1时，正好是轴及垂直轴， 面积， 当时，最大且，或1时，最小， 四边形面积的最大值17，最小值． 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东乡实验中学2024年秋季10月考试题 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 3. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 6. 直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 7. 代数式的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 二、多选题（共18分） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 过点的直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，点在轴上，则的最小值是5 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 11. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 13. 已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为___________． 14. 圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为_________. 四、解答题（共77分） 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 16. 已知点，圆：． （1）求圆过点的最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 18. 已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． （1）求公共弦AB的长度； （2）求圆E的方程； （3）过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $