13.3 等腰三角形（3个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

13.3等腰三角形 课程标准 学习目标 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理； ②探索并掌握等腰三角形的判定定理； ③探索等边三角形的性质定理； ④探索等边三角形的判定定理。 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 知识点01 等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 2.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 考点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 【即学即练1】 （24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）（1）已知等腰三角形的一边等于为6，一边长等于7，求它的周长． （2）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长． 知识点02 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 考点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 【即学即练2】 （24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在△ABC中，，，若，，求的度数． 【即学即练3】 （24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 知识点03 等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 考点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练4】 （23-24八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 题型01 等腰三角形 【典例1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求此等腰三角形的周长． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A．7 B．9 C．12 D．10或12 【变式2】（浙江省金华市横店镇横店第一初级中学两校区联考2024-2025学年八年级上学期数学月考卷）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为_______． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）用一条长为的细绳围一个等腰三角形． (1)如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则这个等腰三角形的底边长为__________； (2)能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由； (3)能围成有一条边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由． 题型02 等腰三角形的性质——等边对等角 【典例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）△ABC和△CDE都是等边三角形，连接． (1)如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． (2)将图②中的△CDE绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，，则_______°． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，，点D，E，F在△ABC的边上，，，则的面积是_______． 【变式3】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边上，且．求证：． 题型03 等腰三角形的性质——“三线合一” 【典例1】（22-23八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在△ABC中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：． 【变式1】（21-22八年级上·天津·期中）如图，在△ABC中，，、分别是△ABC的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，，，是中线，，则是_______度．    【变式3】（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在△ABC中，，点是的中点，点在上，求证：． 题型04 找（画）等腰三角形 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有_______个． 【变式3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在△ABC中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 题型05 等腰三角形的判定——“等角对等边” 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，是△ABC的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________（把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 【变式2】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：△ABC为等腰三角形． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求△A MN的周长． 题型06 等腰三角形的性质与判定 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点是△ABC内的点，，，，将△AOB绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为_______． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，，平分，则与△ABC______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在△ABC中，平分，，．求证：为△ABC的完美分割线； 【概念应用】 （3）在△ABC中，，是△ABC的完美分割线，直接写出的度数． 题型07 等边三角形的性质与判定 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边△ABC的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为______． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边△ABC和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．则＝_______° 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，△ABC为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边△ADE，连接． (1)如图，当点在线段的中点时，_______，_______； (2)如图，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若等腰△ABC中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（2024八年级上·湖南·专题练习）在△ABC中，，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 4．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知△ABC中，．，在平面内找一点，使得△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，则这样的P点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把△ABC沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，D、E分别是△ABC的边、上的点，若，，则（    ） A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值 C．当为定值时，为定值 D．无法确定 9．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知△ABC中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正△ABC和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①；②∥；③；④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是△ABC的角平分线，，，则的长为_______． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形的周长，其中一边长为，求其它两边长分别是_______． 13．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则______度． 14．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，为△ABC的中线，，则_______°． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是_______三角形． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为______． 17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若，，的长为______． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在△ABC中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为时，能够在某一时刻使与△CQP全等． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为_______． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为______． 21．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 22．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：△ABC是等腰三角形． 23．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在△ABC中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2) △ABC各角的度数． 24．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，相交于点，．求证：． 25．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，垂足为，且，，点，在，上． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 26．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边△ABC中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 27．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，平分，点E为中点，求证：． 28．（22-23七年级下·江西吉安·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证△ADC≌△EDB，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出△ADC≌△EDB的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 29．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在△ABC中，，点是直线上一点（不与、点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______； (2)如图2，当点在线段上时，如果，请你求出的度数．（写出求解过程）； (3)探索发现，设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：________． ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：__________． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在△ABC中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作△ADE，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，△ABC面积为6，则四边形周长的最小值是______． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3等腰三角形 课程标准 学习目标 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理； ②探索并掌握等腰三角形的判定定理； ③探索等边三角形的性质定理； ④探索等边三角形的判定定理。 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 知识点01 等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 2.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 考点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 【即学即练1】 （24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）（1）已知等腰三角形的一边等于为6，一边长等于7，求它的周长． （2）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长． 【答案】（1）19或20；（2）22 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． （1）分别从若底边长为6，腰长为7与若底边长为7，腰长为6，去分析求解即可求得答案； （2）题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若底边长为6，腰长为7，则它的周长为：； 若底边长为7，腰长为6，则它的周长为：； 故它的周长为19或20． （2）分两种情况： 当腰为4时，，不能构成三角形； 当腰为9时，，，能构成三角形，周长是：． 故它的周长为22． 知识点02 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 考点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 【即学即练2】 （24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在△ABC中，，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，的度数，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【即学即练3】 （24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形“三线合一” C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴， 即找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直， 其这样操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：B． 知识点03 等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 考点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练4】 （23-24八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，余角的性质，确定角之间的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质和余角的性质可证，根据角平分线的定义和外角性质可证，根据等角对等边可证． 【详解】解：．理由如下： ∵（已知）， ∴（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， （直角三角形的两个锐角互余）， ∴（同角的余角相等）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵，，（三角形的外角性质） ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 题型01 等腰三角形 【典例1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求此等腰三角形的周长． 【答案】10或11． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及解二元一次方程组．先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得：， 所以等腰三角形的两边长为3和4． 若腰长为3，底边长为4，，则三角形的周长为10； 若腰长为4，底边长为3，，则三角形的周长为11． 所以，这个等腰三角形的周长为10或11． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A．7 B．9 C．12 D．10或12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义．根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形的三边关系，分别讨论求解． 【详解】解：当为腰时，三边为，，，，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形， 当为腰时，三边为，，，，符合三角形的三边关系， 周长为：． 故选：C． 【变式2】（浙江省金华市横店镇横店第一初级中学两校区联考2024-2025学年八年级上学期数学月考卷）已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为_______． 【答案】7或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分腰长为，底边长为两种情况，计算求解，然后根据三角形三边关系判断作答即可． 【详解】解：当腰长为时，底边长为， 4、4、7满足三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为， 、、满足三角形三边关系； 综上所述，它的底边长为7或4， 故答案为：7或4． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）用一条长为的细绳围一个等腰三角形． (1)如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则这个等腰三角形的底边长为__________； (2)能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由； (3)能围成有一条边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10；(2)不能，理由见详解；(3)能围成一个边长为边长的等腰三角形，则该等腰三角形的三边长为、、或、、 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键； （1）设底边长为，则腰长为，然后列方程进行求解即可； （2）设腰长为，则底边长为，然后列方程进行求解，最后根据三角形三边关系进行判断即可； （3）由题意可分边长为为该等腰三角形的腰长和底边长进行依次求解即可． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题意得： ， 解得：， ∴这个等腰三角形的底边长为； 故答案为10； （2）解：设腰长为，则底边长为，由题意得： ， 解得：， ∵， ∴该三边长不能构成三角形， 故不能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形； （3）解：由题意可得：当边长为该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的底边长为，符合三角形三边关系； 当边长为该等腰三角形的底边长时，则该等腰三角形的腰长为，符合三角形三边关系； 综上所述：能围成一个边长为边长的等腰三角形，则该等腰三角形的三边长为、、或、、． 题型02 等腰三角形的性质——等边对等角 【典例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）△ABC和△CDE都是等边三角形，连接． (1)如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． (2)将图②中的△CDE绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 【答案】(1)，；(2)见解析 【分析】（1）根据△CDE是等边三角形及邻补角即可求解，再证明，根据对应角相等结合三角形内角和定理即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵△CDE是等边三角形， ∴， ∵点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴， ∵△ABC为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，邻补角的意义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有，， ∴； 故答案为． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，，点D，E，F在△ABC的边上，，，则的面积是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【变式3】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 题型03 等腰三角形的性质——“三线合一” 【典例1】（22-23八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在△ABC中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，三线合一得到，平角结合三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵，平分 ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（21-22八年级上·天津·期中）如图，在△ABC中，，、分别是△ABC的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵，是△ABC的中线，且， ∴， ∴， ∵是△ABC的角平分线， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，，，是中线，，则是_______度．    【答案】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在△ABC中，，点是的中点，点在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明 是本题的关键．由等腰三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得结论． 【详解】证明： ，点 是 的中点， ， ， ， ∴， ． 题型04 找（画）等腰三角形 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴△ABC为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，△BDE为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【变式1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有_______个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，△ABC是等腰三角形． ∵， ∴，△ADE是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【变式3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在△ABC中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1) △ABC，△ABD，△BCD；(2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定． （1）由在△ABC中，，，可得图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：在△ABC中，，， 图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD； （2）设， ， ， ， ， ， ， ， 在△ABC中，， ， 解得：， ． 题型05 等腰三角形的判定——“等角对等边” 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，是△ABC的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________（把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，注意充分利用所学知识求解． 可根据全等三角形的性质和判定判断①②③是否正确； 【详解】解：①当时，且是△ABC的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形； ②当时， 过点作，， ∴， ∴， ∴， ∵是△ABC的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形； ③∵，是△ABC的边上的中线， ∴， ∴不能证明和全等，无法判定； 故答案为：①②． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据“”证明，得出，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：△ABC为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴△ABC为等腰三角形． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求△A MN的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为． 题型06 等腰三角形的性质与判定 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点是△ABC内的点，，，，将△AOB绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析；(2)；(3)当为或120°或时，为等腰三角形． 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，点E在延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为_______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等角对等边得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，得到，据此求出的长，即可求出，则可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，证明出△ABC为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出∠AEB=∠CAE+∠ACB=75°，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠DBC=180°-∠ABC=90°，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=75°， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，，平分，则与△ABC______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在△ABC中，平分，，．求证：为△ABC的完美分割线； 【概念应用】 （3）在△ABC中，，是△ABC的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先求出、、，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得出结论； （2）可计算得出，，，，再根据“完美分割线”的定义即可证明结论； （3）分为当是等腰三角形和是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与△ABC互为“类似三角形”． 故答案为：是． （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴为△ABC的完美分割线． （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或． 题型07 等边三角形的性质与判定 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边△ABC的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定，并利用中点构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形，得出，再证即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定；根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出、，的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 所以，， 所以，△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边△ABC和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．则＝_______° 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据已知条件证明，得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC和是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，△ABC为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边△ADE，连接． (1)如图，当点在线段的中点时，_______，_______； (2)如图，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】(1)3，；(2)见解析；(3)，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； （2）证明：和△ADE是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若等腰△ABC中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴， 当顶角为，即，则， 当底角为，即， ∴的度数为或， 故选：D． 2．（2024八年级上·湖南·专题练习）在△ABC中，，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在△ABC中，， 如果添加条件，可判定△ABC为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定△ABC为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定△ABC为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时△ABC就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，三角形的周长为：； 故选B． 4．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知△ABC中，．，在平面内找一点，使得△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，则这样的P点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质即可判断（1）、（3）和（4）正确；根据平行线的判定即可判断（5）正确；假设，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此即可判断（2）错误． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法（1）和（4）正确； 又∵，，， ∴，则说法（3）正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法（2）错误； ∵， ∴， ∴，则说法（5）正确； 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把△ABC沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，理解折叠就是得到全等的三角形是解题的关键． 由于折叠可得，即；再运用等腰三角形的性质可得，利用平行线的性质可得出，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵△ABC沿线段折叠，使点落在点处， ∴， ∴， ∵，， ， ∵， ， ． 故选：C． 8．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，D、E分别是△ABC的边、上的点，若，，则（    ） A．当为定值时，为定值 B．当为定值时，为定值 C．当为定值时，为定值 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据得到，根据得，利用三角形外角性质，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为定值时，为定值， 故选：B． 9．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知△ABC中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 10．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正△ABC和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①；②∥；③；④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①由于△ABC和是等边三角形，可知，从而证出△ACD≌△BCE，可推知； ③由△ACD≌△BCE得，加之，得到，所以；故③正确； ②根据②，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④利用等边三角形的性质，∥，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵等边△ABC和等边， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故①正确； ③∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴∥； 故②正确； ④∵， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴∥， ∴， ∴． 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的判断与性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质，解题关键是掌握以上判定与性质并灵活运用，本题涉及的知识点比较综合，善于发现图中的全等三角形是解题关键. 11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是△ABC的角平分线，，，则的长为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形的周长，其中一边长为，求其它两边长分别是_______． 【答案】和或和 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．已知的边可能是腰，也可能是底边，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当是腰时，底边为：， 等腰三角形的另两边是，， ，满足三角形的三边关系； 当底边是时，腰长为：， 等腰三角形的另两边是，， ，满足三角形的三边关系； 综上所述，该等腰三角形的其它两边长分别是和或和， 故答案为：和或和． 13．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，为△ABC的中线，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为△ABC的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵为△ABC的中线， ∴，， ∵， ∴，故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是_______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到，从而进行分析即可求解． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若，，的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质证为等边三角形，证，．又证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 【详解】解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即A、C、E三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在△ABC中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为时，能够在某一时刻使与△CQP全等． 【答案】2厘米/秒或厘米/秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解；根据等边对等角可得，设点P、Q的运动时间为t，然后表示出、，再根据全等三角形对应边相等，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：点D为的中点， 厘米， 设点P、Q的运动时间为t， 则厘米， 厘米， ， ， 当△BPD≌CQP时， ，， ， 解得：秒， 厘米， 故点Q的运动速度为：厘米/秒； 当时， ，厘米， 厘米， 厘米， 秒， 故点Q的运动速度为：厘米/秒， 综上，点Q的运动速度为2或厘米/秒， 故答案为：2或厘米/秒． 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为_______． 【答案】2 【分析】过点E作于点H，根据△ABC是等边三角形，，得到△ADE是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴△ADE是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， △为等边三角形， ， 即 的值最小为3； 故答案为：3 21．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 22．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．根据中点的定义可得到，再根据即可判定，从而可得到，根据等角对等边可得到，即△ABC是等腰三角形． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形． 23．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在△ABC中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2) △ABC各角的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，先由等腰三角形的性质得出，再由“”证明即可，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在△ABC和中， ， ∴． 25．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，垂足为，且，，点，在，上． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和等边三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，能将所给条件转化为两三角形全等的条件是解题的关键． （1）根据、及，可求出的度数，再由即可解决问题． （2）由等边三角形的性质得出，．再证明利用判定方法即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴平分． 又， ∴． 又， ∴是等边三角形． （2）∵是等边三角形， ∴，． 又， ∴， ∴，即． 又，且， ∴． 26．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边△ABC中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 27．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，平分，点E为中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点F ∵ ∴ ∵点E为中点 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴． 28．（22-23七年级下·江西吉安·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证△ADC≌△EDB，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出△ADC≌△EDB的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A；(2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是根据倍长中线构造出全等三角形． （1）证明即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，BM=AC，∠CAD=∠M，根据即可求解． 【详解】（1）解：在和中 ， ，故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ， ， ∵是△ABC中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在△ABC中，，点是直线上一点（不与、点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______； (2)如图2，当点在线段上时，如果，请你求出的度数．（写出求解过程）； (3)探索发现，设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：________． ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：__________． 【答案】(1)；(2)；(3)①② 【分析】（1）由条件可证得，可得，利用条件可求得，可求得； （2）同（1）可证得，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得； （3）①同（1）可证得，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得；②过程同①． 【详解】（1）解：， ， 在和中 ， ， ，， ， ，故答案为：； （2）， ， 在和中 ， ， ，， ， ； （3）①， ， 在和中 ， ， ，， ， ，故答案为：； ②如图， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，故答案为：． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，把后面的问题都转化为第（1）问中的问题是解题的关键，即利用三角形全等证得角相等． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在△ABC中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作△ADE，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，△ABC面积为6，则四边形周长的最小值是______． 【答案】(1)见解析；(2)① ② 或；(3) 【分析】（1）由， 可得， 即可证明； （2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故； ②， 分两种情况： 当时，，当时，； （2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， △ABC面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）证明：， 。即， 在和中， ， ∴； （2）①如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ，解得， ； ②由①知，，， 当时，如图： ， ， 当 时，如图： ， ∴当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， ∴四边形周长最小时，最小， 。 ∴当最小时，四边形周长最小时，此时， 面积为， ， ∴四边形最小周长为，故答案为：． 【点评】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明. 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