第08讲 比例线段、平行线分线段成比例及相似图形-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第08讲 比例线段、平行线分线段成比例及相似图形 课程标准 学习目标 比例的概念及性质 黄金分割点 平行线分线段成比例定理 相似图形的性质 1.理解比例的基本定义，掌握比例的基本性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题 2.掌握比例线段的概念及其性质，并能够灵活运用比例线段的性质解决问题 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 4.掌握平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理，并运用其解决简单的实际问题 5.理解相似图形的概念 知识点01 比例的概念及性质 定义:如果a:b=c:d或，则称a、b、c、d成比例,其中b.c称为 ，a.d称为 . (2)基本性质:如果，那么 . 【即学即练1】 已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 知识点02 比例性质的应用 (1)合比性质:如果，那么 (2)等比性质:如果，那么. 【即学即练1】 已知，那么 ． 知识点03 线段的比 一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A’B’的长分别为m,n,那么把它的的长度的比叫作这两条线段AB与A’B’的比，记作或AB：A’B’=m:n 【即学即练1】 在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 注意：求两条线段的比,就是求出这两条线段的同一长度单位的长度之比因此，在求线段的比时，一定要先将不同的长度单位化成相同的长度单位. 知识点04 成比例线段 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外 的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为比例线段. 、 【即学即练1】 已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 知识点05 黄金分割 一般地,如果点C将一条线段AB分成不相等的两部分,使 线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比,即,那么称线段 AB 被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比，其数值为,约等于0.618. 【即学即练1】 已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 知识点06 平行线分线段成比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上载得的 ,那么在另条直线上截得的线段也相等 (2)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 . 【即学即练1】 如图，若，，，，则长为 ． 知识点07 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的 截其他两边,所得的对应线段 . 【即学即练1】 如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 知识点08 相似三角形 (1)相似三角形的对应角 ,对应边成比例 (2)三个角对应相等,且三条边对应 的两个三角形叫作相似三角形. (3)如果ΔABC 和ΔA'B'C'相似,且点A’,B’,C’分别与点A,B,C对应,则记作,读作“ΔABC 相似于ΔA'B'C'". (4)相似三角形 的比叫作相似比. (5)一般地,若ΔABC与ΔA'B'C’的相似比为k,则ΔA'B'C’与ΔABC的相似比为. 【即学即练1】 如图，，若，，求的长． 知识点09 相似多边形 (1)对于两个边数相同的多边形,如果它们的对应角 、对应边 ,那么这两个多边形叫作相似多边形. (2)相似多边形的对应角相等,对应边 . 【即学即练1】 下列图形不是相似图形的是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 题型01 比例的基本性质 【典例1】已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则 ． 【变式2】已知，则的值为 ． 【变式3】若满足 且，则的值为 ． 题型02 比例性质的应用 【典例1】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则的值是（    ）． A． B．3 C．1 D．0 【变式2】已知，则 ． 题型03 成比例的线段 【典例1】下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例2】已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【变式1】在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为 千米． 【变式2】已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【变式3】已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 题型04 黄金分割 【典例1】如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【变式1】点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【变式3】已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ． 题型05 由平行判断成比例的线段 【典例1】如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为 ． 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例1】如图，直线，，，则的长是 ． 【变式1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式2】如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 题型07 相似图形 【典例1】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【变式1】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个圆 B．两个矩形 C．两个直角梯形 D．两个等腰三角形 【变式2】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 题型08 相似多边形的性质 【典例1】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 【变式2】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    一、单选题 1．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 3．若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 6．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为（   ） A． B． C． D． 8．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．、、、 C．，，， D．、，， 9．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，直线， 直线交，，于点A，B，C；直线交，，于点D，E，F．已知，则 ．       12．若四边形与四边形的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形的面积是 ． 13．如图，，如果，则 ． 14．若，且，则 ． 15．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 16．，，则的值为 ． 17．如果，那么 ． 18．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 19．如图，在等腰中，，点和点分别在和上，连接，将沿翻折，点的对应点刚好落在上，若，，，则的长为 ． 20．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 21．如图，已知，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E，F，，．求的长． 22．已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 23．已知，求值． 24．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长． 25．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．    26．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 27．先化简，再求值：，其中x为黄金分割比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 比例线段、平行线分线段成比例及相似图形 课程标准 学习目标 比例的概念及性质 黄金分割点 平行线分线段成比例定理 相似图形的性质 1.理解比例的基本定义，掌握比例的基本性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题 2.掌握比例线段的概念及其性质，并能够灵活运用比例线段的性质解决问题 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 4.掌握平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理，并运用其解决简单的实际问题 5.理解相似图形的概念 知识点01 比例的概念及性质 定义:如果a:b=c:d或，则称a、b、c、d成比例,其中b.c称为比例内项，a.d称为比例外项. (2)基本性质:如果，那么ad=bc. 【即学即练1】 已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解： ， ，即， 故选：D． 知识点02 比例性质的应用 (1)合比性质:如果，那么 (2)等比性质:如果，那么. 【即学即练1】 已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行恒等变换即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 知识点03 线段的比 一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A’B’的长分别为m,n,那么把它的的长度的比叫作这两条线段AB与A’B’的比，记作或AB：A’B’=m:n 【即学即练1】 在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺的应用；根据图上距离：实际距离=比例尺，建立方程即可求解． 【详解】解：设A，B两地的实际距离是，， 由题意得： 解得： 即A，B两地的实际距离是； 故选：C． 注意：求两条线段的比,就是求出这两条线段的同一长度单位的长度之比因此，在求线段的比时，一定要先将不同的长度单位化成相同的长度单位. 知识点04 成比例线段 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为比例线段. 【即学即练1】 已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 知识点05 黄金分割 一般地,如果点C将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比,即,那么称线段 AB 被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比，其数值为,约等于0.618. 【即学即练1】 已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为，结合题意可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故答案为：． 知识点06 平行线分线段成比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上载得的线段相等,那么在另条直线上截得的线段也相等 (2)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 【即学即练1】 如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 知识点07 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段成比例. 【即学即练1】 如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 知识点08 相似三角形 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)三个角对应相等,且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. (3)如果ΔABC 和ΔA'B'C'相似,且点A’,B’,C’分别与点A,B,C对应,则记作,读作“ΔABC 相似于ΔA'B'C'". (4)相似三角形对应边的比叫作相似比. (5)一般地,若ΔABC与ΔA'B'C’的相似比为k,则ΔA'B'C’与ΔABC的相似比为. 【即学即练1】 如图，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， 答：的长为． 知识点09 相似多边形 (1)对于两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等、对应边成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形. (2)相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 【即学即练1】 下列图形不是相似图形的是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似图形的定义．利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面照片，不是形状相同的图形，符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是形状相同的图形，不合题意； 故选：C． 题型01 比例的基本性质 【典例1】已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，先根据比例的性质进行变形，再逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是设，求得出k的值．设（），则，，，根据，求出k的值，然后得出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：设（）， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 【变式2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求比例的值，掌握比例的基本性质是解题关键．将中的用含的式子表示后，约分化简即可得到的值． 【详解】解：因为， 所以， 所以； 故答案为：． 【变式3】若满足 且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，代数式求值，根据可设，，，代入求出的值，进而确定出的值，再代入代数式计算即可求解，根据比例假设出未知数是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 故答案为：． 题型02 比例性质的应用 【典例1】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选：D． 【变式1】已知，且，则的值是（    ）． A． B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ∴ ， 故选：． 【变式2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 题型03 成比例的线段 【典例1】下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 【典例2】已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 【变式1】在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为 千米． 【答案】6 【分析】本题主要考查比例的性质，解题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，注意单位的转换．根据题意知，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例，由此列式解答即可． 【详解】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米， 根据题意得，， 解得， 600000厘米千米． 即甲乙两地的实际距离为6千米． 故答案为：6． 【变式2】已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 【变式3】已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 题型04 黄金分割 【典例1】如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 【变式1】点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解： 是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 【变式2】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式3】已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的定义及求线段长，根据题意，作出图形，由黄金分割点的定义列式代值求解即可得动答案，熟练掌握黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由，如图所示： 是线段的黄金分割点， ， ，设， ，即， 解得或（舍去）， 故答案为：． 题型05 由平行判断成比例的线段 【典例1】如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】 ， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 【变式1】在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】 解： A. ，，故该选项符合题意； B. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； C. ，则，不能判定，故该选项不符合题意； D. ，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：A． 【变式2】如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】由点，，可得，由平移的性质可知，，，则，可求，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴， 由平移的性质可知，，， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标是解题的关键． 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例1】如图，直线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【变式1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 题型07 相似图形 【典例1】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个圆 B．两个矩形 C．两个直角梯形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等是解题关键． 【详解】解：两个圆是相似图形，故A选项符合题意， 两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故B选项不符合题意， 两个直角梯形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故C选项不符合题意， 两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似图形，故D选项不符合题意， 故选：A． 【变式2】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 题型08 相似多边形的性质 【典例1】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 【变式1】如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可． 【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图， ∴对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，根据题意，相似比为，则，即可． 【详解】∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似多边形的性质质．根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为， 故选：B． 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 3．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 4．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，故本选项错误，不符合题意； B、由得，故本选项正确，符合题意； C、由得，故本选项错误，不符合题意； D、由得，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 6．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 7．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵为的黄金分割点，， ∴， ∴ ∵的长度为， ∴， 故选：． 8．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．、、、 C．，，， D．、，， 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，故不符合题意； B、由于，所以不成比例，故不符合题意； C、由于，所以不成比例，故不符合题意； D、由于，所以成比例，故符合题意； 故选D． 9．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．如图，直线， 直线交，，于点A，B，C；直线交，，于点D，E，F．已知，则 ．       【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 故答案为：2． 12．若四边形与四边形的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形的面积是 ． 【答案】28 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，得到四边形与四边形的面积比为，设四边形与四边形的面积分别为，根据两个四边形的面积和为91，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 设四边形与四边形的面积分别为，则：， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：28 13．如图，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，关键是找准对应关系，列出比例式． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 14．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即 即， 故答案为：． 15．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 16．，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知得到，，代入中即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，掌握或，则是解题关键．根据比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 18．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 19．如图，在等腰中，，点和点分别在和上，连接，将沿翻折，点的对应点刚好落在上，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先作，，根据平行线的判定即可推得，结合三线合一、勾股定理求出、、后，由平行线分线段成比例得到后，再结合翻折性质即可求解． 【详解】如图，过点作，，则， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， 将沿翻折， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定、三线合一、勾股定理、平行线分线段成比例、翻折性质，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例． 20．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，已知，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E，F，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 22．已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）首先求出，然后利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 23．已知，求值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 24．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长． 【答案】，7． 【分析】本题考查成比例线段； 先求得，再根据求得；由求得． 【详解】∵，，， ∴，的长分别为； 25．如图，四边形与四边形相似，，求和的长．    【答案】， 【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．四边形与四边形相似，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，，相似四边形的对应边成比例，即可求得的长，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：四边形与四边形相似，， ，，， ， ， ． 26．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27．先化简，再求值：，其中x为黄金分割比． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的混合运算，再把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵x为黄金分割比，则， ∴原式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$