精品解析：广西钦州市浦北中学2024-2025学年高二上学期10月份考试数学试题

浦北中学2024年秋季学期10月份考试试题 高二数学 （时间：120分钟，满分150分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A. 0.32 B. 0.56 C. 0.4 D. 0.68 2. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 3. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知点，直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （　 ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知直线：与：平行，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 或2 7. 从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 10. 已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 下列结论错误的是（ ） A. 过点、的直线的斜率为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知点、，点在直线上运动，则的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为__________．（答案写成一般式） 13. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某1 h内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125． （1）求甲、乙、丙每台机器在这1 h内需要照顾的概率分别是多少？ （2）计算这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率． 16. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 17. 一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色． （1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率； （2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率． 18. 已知圆和直线. （1）证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； （2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； （3）已知点在圆C上，求的最大值. 19. 如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，且圆C与y轴交于M,N两点（点N在点M的上方），直线与圆C交于A，B两点． （1）若，求实数k的值． （2）设直线AM，直线BN的斜率分别为，若存在常数使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由． （3）若直线AM与直线BN相交于点P，求证点P在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦北中学2024年秋季学期10月份考试试题 高二数学 （时间：120分钟，满分150分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A. 0.32 B. 0.56 C. 0.4 D. 0.68 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率计算方法计算即可. 【详解】设甲、乙击中目标分别为事件A、B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4， 则恰有1人击中目标的概率是， 故选：B. 2. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的特征依次判断即可. 【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误； 对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误； 对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误； 故选：C. 3. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：，则， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位，位于第一象限. 故选：A. 4. 已知点，直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 （　 ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图后，由图可知直线l的斜率k满足或. 【详解】如图所示： 由题意得，所求直线l的斜率k满足或，即或. 故选：A. 5. 过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程. 【详解】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去； 若直线斜率存在时，设直线方程为， 由得：或， 故直线方程为或， 整理得或. 故选：D 6. 已知直线：与：平行，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，解得的值，再检验即可. 【详解】因为直线：与：平行， 所以，解得或， 当时直线：与：平行， 当时直线：与：平行， 所以或. 故选： 7. 从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率. 【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有： 10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个， 其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个， 故所求概率. 故选：B. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得出圆关于直线对称的圆为，将问题转化为与有交点即可求解. 【详解】由题知，如图所示： 因为圆的圆心为， 所以关于直线对称的点为， 所以圆关于直线对称的圆为， 若要圆上存在点，点关于直线的对称点 在圆上， 其中圆的圆心为，半径为2， 则只需与有交点即可， 又 所以在外， 根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值，小于等于半径之和. 可得：，两圆分别内切与外切的时候取等号， 解得：. 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由互斥、相互独立、事件的运算求解即可. 【详解】对于A：若A与B互斥，则，故A正确； 对于B：若，则，故B错误； 对于C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确； 对于D：，与矛盾，故D错误； 故选：AC 10. 已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】CD 【解析】 【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数的值. 【详解】因为方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 因为方程可化为， 由已知，且为正整数， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心距， 因为圆和圆外离， 所以， 所以， 故的可能取值有， 故选：CD. 11. 下列结论错误的是（ ） A. 过点、的直线的斜率为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知点、，点在直线上运动，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用两直线垂直求出实数的值，可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；求出点关于直线的对称点的坐标，结合“将军饮马”问题可求出的最小值，可判断D选项. 【详解】对于，直线的斜率，A错误； 对于，由直线与直线垂直，得，解得，B正确； 对于，直线化为， 因此两平行直线的距离，C错误； 对于，如图： 设点，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， ，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 故的最小值为，D正确． 故选：AC． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为__________．（答案写成一般式） 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程设出来，然后求出两点的坐标，进而写出的面积，然后通过基本不等式即可求出面积的最小值,进而得到答案. 【详解】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且， 所以直线的方程为：即， 令，得到，所以；令，得到，所以. 由，则三角形AOB的面积为 , 当且仅当,即，因为，所以， 所以直线方程为. 故答案为：. 13. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案． 【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个， 因此，所求的事件的概率为，故答案为． 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为__________. 【答案】或（写出一条即可） 【解析】 【分析】结合定义应用直译法求得圆方程，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】因为，点满足，设， 则，化简得， 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离为1. 若直线的斜率不存在， 直线的方程为; 若直线的斜率存在, 设直线的方程为， 即， ，解得, 直线的方程为:. 故答案为：或（写出一条即可） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某1 h内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125． （1）求甲、乙、丙每台机器在这1 h内需要照顾的概率分别是多少？ （2）计算这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙每台机器在这1 h内需要照顾的概率分别为，由已知得到，，，解方程组即可. （2）利用对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙每台机器在这1 h内需要照顾的概率分别为， 由题意，，，， 解得. （2）设1 h内三台机器至少有一台机器需要照顾为事件A，则为三台机器均不需要照顾， 则， 所以. 【点睛】本题主要考查独立事件的概率问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 16. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 17. 一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色． （1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率； （2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意一一列举出所有的基本事件，再列出所取的球全部是白球的事件，按照古典概率的公式进行计算即可； （2）根据题意一一列举出所有的基本事件，再计算出所有得分之和为4的事件的个数，按照古典概率的公式进行计算即可； 【详解】（1）设无放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下： （红，白1），（红，白2），（红，白3），（红，黑）， （白1，红），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑）， （白2，红），（白2，白1），（白2，白3），（白2，黑）， （白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，黑）， （黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），故 设事件：“现从袋子中无放回地取球两次，取出的球都是白色”，包括（白1，白2），（白1，白3），（白2，白1），（白2，白3），（白3，白1），（白3，白2），共6个． 所以 （2）设有放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下： （红，红），（红，白1），（红，白2），（红，白3），（红，黑）， （白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑）， （白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，白3），（白2，黑）， （白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，白3），（白3，黑）， （黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），（黑，黑），故． 设事件：“现从袋子中有放回地取球两次，得分之和为4分” 包括一红一黑和两个白球，共11个． 所以 18. 已知圆和直线. （1）证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交； （2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程； （3）已知点在圆C上，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点； （2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程； （3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求． 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 令解得，所以直线l过定点， 而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交； 【小问2详解】 解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为 由图可知圆心到直线的距离，且， 又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小 所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时， 又圆心，所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离， 所以. 19. 如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，且圆C与y轴交于M,N两点（点N在点M的上方），直线与圆C交于A，B两点． （1）若，求实数k的值． （2）设直线AM，直线BN的斜率分别为，若存在常数使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由． （3）若直线AM与直线BN相交于点P，求证点P在一条定直线上． 【答案】（1）. （2）存在实数，使得恒成立；理由见解析. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先设出直线的方程，利用圆中的特殊三角形：弦心距，半弦长和圆的半径构成直角三角形，勾股定理求得结果； （2）先假设存在，利用题的条件，得到其相关的式子，求得对应的值，得到结果； （3）根据题意，得到点所满足的条件，从而求得结果. 【小问1详解】 ∵圆：，∴圆心，半径， ∵直线与圆相交于A，两点，且， ∴圆心到的距离为， ∴，解得：， ∵，∴. 【小问2详解】 ∵圆与轴交于，两点（点在点上方） ∴，∴， 设，直线与圆方程联立：， 化简得：， ∴，同理可求：， ∵三点共线，且，， ∴，化简得：， ∵，∴，即， ∴存在实数，使得恒成立． 【小问3详解】 设，∴且，∴， 由（2）知：，代入得：为定值， ∴点在定直线上． 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，注意圆中直角三角形的灵活应用；再者就是有关是否存在类问题的解法都是先假设存在，根据题意求得结果；最后要证点在某条直线上，就要找点的坐标所满徐的条件，最后求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $