第二十四章 圆（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第24章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（    ） A．点在上 B．点在O内 C．点在外 D．不能确定 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（    ） A．34° B．36° C．37° D．38° 3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A．120° B．130° C． D． 4．今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度为18cm，某扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（　　）cm． A．6 B．8 C．6 D．8 5．如图，切于的延长线交于点，连结，若，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．50° 6．如图，在锐角三角形（）中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线，与交于点M；再分别以点A，C为圆心，按相同的操作作直线l，与交于点N，与交于点O．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：点O为的内心； 结论Ⅱ：连接，，则一定比短． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 7．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是(    ) A． B． C． D． 8．如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 10．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，点，，在⊙上，，则等于 度． 12．圆内接正八边形的中心角为 ． 13．已知扇形的半径为，弧长是，则扇形的面积是 ． 14．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 15．如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数． 18．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 19．（8分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 20．（8分）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 21．（8分）如图，是的外接圆，分别过两点作的两条切线，它们的交点为，且． （1）试说明四边形是菱形； （2）若的半径是2，求四边形的面积． 22．（10分）如图，⊙O为矩形ABCD的外接圆，其半径为3． （1）用尺规作图作出∠ABC的平分线，并标出它与劣弧AD的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦AD的距离为2，求弦AB的长． 23．（10分）如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 24．（12分）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 25．（14分）如图，等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点，使，连接、． （1）如图1，若经过圆心； ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明； （2）小明经过探究发现：“无论点在劣弧上怎样运动（如图2），的大小都不会发生变化.”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（    ） A．点在上 B．点在O内 C．点在外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，进行判断即可，正确理解点到圆心的距离为，圆的半径为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在圆外， 故选：． 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（    ） A．34° B．36° C．37° D．38° 【答案】D 【分析】根据垂径定理的推论可得，进而求得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵BC＝BD，AB是⊙O的直径， ∴. ∠OCD＝14°， 故选D 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A．120° B．130° C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：C． 4．今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，如图是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度为18cm，某扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（　　）cm． A．6 B．8 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设团扇的半径为xcm．构建方程即可解决问题． 【详解】解：设团扇的半径为xcm． 由题意（302-122）=π•x2， 解得x=6或-6（舍弃）， ∴团扇的半径为6cm． 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，切于的延长线交于点，连结，若，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】B 【分析】连接OB，由AB是⊙O的切线，推出AB⊥OB，即∠OBA=90°，由∠A=40°，推出∠AOB=90°-∠A=50°，由OB=OC，推出∠C=∠OBC，由∠AOB=∠C+∠OBC=50°，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OB． ∵AB是⊙O的切线， ∴AB⊥OB， ∴∠OBA=90°， ∵∠A=40°， ∴∠AOB=90°-∠A=50°， ∵OB=OC， ∴∠C=∠OBC， ∵∠AOB=∠C+∠OBC=50°， ∴∠C=∠OBC=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型． 6．如图，在锐角三角形（）中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线，与交于点M；再分别以点A，C为圆心，按相同的操作作直线l，与交于点N，与交于点O．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：点O为的内心； 结论Ⅱ：连接，，则一定比短． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对 【答案】D 【分析】由题意的作图可得直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线，点O是两垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质即可判断结论Ⅰ；过点O作于点P，连接，根据垂直平分线的性质得到，进而，根据三角形的中位线定理可得，从而，又在中，，因此，据此可判断结论Ⅱ． 【详解】由题意的作图可得直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线，点O是两垂直平分线的交点， ∴点O到三角形三个顶点A、B、C的距离相等， ∴点O是三角形的外心． 故结论Ⅰ错误； 过点O作于点P，连接， ∵点O到三角形三个顶点A、B、C的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∵直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线， ∴点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 故结论Ⅱ正确． 故选：D 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形边的关系．理解题意，熟练掌握垂直平分线的作图是解题的关键． 7．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论． 【详解】解：连接OC，∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵DE⊥AB， ∴∠BDF=90°， ∴∠B+∠DFB=90°， ∵∠EFC=∠BFD， ∴∠B+∠EFC=90°， ∵∠ECF=∠EFC， ∴∠OCB+∠ECF=90°， ∴CE是⊙O的切线． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由已知、根据“平行四边形对边相等”得： 、，从而可得，即①结论正确；进而得出、 都是等边三角形，可得③结论正确；由“一条 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得出，即②结论正确；由点的不同位置，的长度也发生变化可知④结论错误，即可得出结论； 【详解】连接，∵四边形是平行四边形， 结论正确； ∴、 都是等边三角形 ∴，即③结论正确； ∴，即②结论正确； ∵在优弧上（不含端点） ∴随着点的不同位置，的长度也发生变化，不是常数， 故④结论错误； 综上所述，正确结论有 3 个； 故选：C      【点睛】该题主要考查了圆部分知识点、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，解答该题的关键是掌握相关知识点并能够熟练运用. 9．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 10．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质的综合，掌握正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，合理作出辅助线是解题的关键． 根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，点，，在⊙上，，则等于 度． 【答案】 【详解】根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC=. 故答案为. 12．圆内接正八边形的中心角为 ． 【答案】45 【分析】根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行计算即可． 【详解】解：圆内接正八边形的中心角为； 故答案为：． 13．已知扇形的半径为，弧长是，则扇形的面积是 ． 【答案】8π 【分析】直接利用扇形面积公式为：，即可得出答案． 【详解】解：∵扇形的半径为4cm，弧长是4πcm， ∴扇形的面积是：×4×4π=8π（cm2）． 故答案为：8π． 【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算，正确记忆扇形面积公式是解题关键． 14．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决． 本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，所以,然后再证，然后根据切线的性质得到，所以，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，最后根据扇形的面积公式和梯形的面积公式以及求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线， ∴, ∴， 在中， ∵， ∴, ∴． 故答案为:． 16．如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 【答案】 【分析】本题考查圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可．设，则连接交于点G，连接，，在中得到，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则连接交于点G，连接，如下图所示， ∵C是的中点，点O为圆心， ∴， 又∵点C与点D关于弦对称， ∴，且C，D，O三点共线，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵同弧，     ， ∵， 在中，， ∴， 解得 故答案为： 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数． 【答案】这条弦所对的圆周角的度数为或． 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据条件画出相应的图形，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，    ∵一条弦把圆分成两部分，如图， ∴弧的度数是， ∴， ∴， ∴， 答：这条弦所对的圆周角的度数为或． 18．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 19．（8分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 【答案】(1) (2)这座石拱桥主桥拱半径约为 【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论； （2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵半径， ∴． 故答案为：． （2）设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键． 20．（8分）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 21．（8分）如图，是的外接圆，分别过两点作的两条切线，它们的交点为，且． （1）试说明四边形是菱形； （2）若的半径是2，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】(1)由AD∥BC，CD∥AB，得到四边形ABCD是平行四边形，根据切线长定理得到AD=CD，于是得到结论； (2)连接AO、CO，由AD、CD是⊙O的切线，得到∠OAD=∠OCD=90°，由四边形ABCD为菱形，得到∠B=∠D，求出∠B=∠D=60°，得到菱形高为3，底为6，问题即可得解． 【详解】解：证明：(1)∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是的切线，      ∴，                  ∴四边形为菱形         (2) 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC是等边三角形， ∵OA=OC=R=2， ∴BC=2 ∴菱形高为， ∴ 【点睛】本题主要考查切线的性质及菱形的判定和性质，菱形面积的求法，由切线的性质得到∠OAD=∠OCD=90°是解题的关键． 22．（10分）如图，⊙O为矩形ABCD的外接圆，其半径为3． （1）用尺规作图作出∠ABC的平分线，并标出它与劣弧AD的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦AD的距离为2，求弦AB的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）AB=－2． 【分析】（1）按照角平分线作法，进行画图即可； （2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，连接DE，BD，设BE与AD交于点H，由矩形的性质可得：∠DAB=∠ABC=90°，故BD是⊙O的直径，即BD=6．可证AB=AH．EH=ED，HF=DF=EF=2．在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程进行解答即可． 【详解】（1）∠ABC的平分线及点E如图所示． （2）如图，过点E作EF⊥AD于点F， 连接DE，BD，设BE与AD交于点H ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90° ∴BD是⊙O的直径，即BD=6． ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE=45°，∠AHB=45°， ∴AB=AH． ∵∠EHF=∠AHB=45°，∠EDH=∠ABE=45°， ∴EH=ED， ∴HF=DF=EF=2． 设AB=x，则AD=AH＋DH=x＋4． 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AB2＋AD2=BD2， 即x＋(x＋4)2=62， 解得：x=－2(另一解不合题意，已舍去)， ∴AB=－2． 【点睛】本题考查了圆周角的性质及矩形性质、勾股定理，掌握圆周角的性质及矩形性质、勾股定理是解题的关键． 23．（10分）如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆O的半径为 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线． （2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，   ∵D是的中点，O为的中点， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接， ∵是圆O的直径， ∴ ∴是直角三角形． ∵，， ∴ ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即圆O的半径为 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 24．（12分）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 25．（14分）如图，等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点，使，连接、． （1）如图1，若经过圆心； ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明； （2）小明经过探究发现：“无论点在劣弧上怎样运动（如图2），的大小都不会发生变化.”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）①；②是等边三角形，见解析；（2）小明的说法正确，见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明△BAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）△CAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，证明△PCD等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠D即可． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又经过圆心， ∴， ∴； ②是等边三角形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形； （2）小明的说法正确． 理由：根据题意可得， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴无论点在劣弧上怎样运动，的大小都不会发生变化． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$