第二十四章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第24章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，点在以为直径的上，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点P为外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，交于点B，，，则线段的长为（　　） A．3 B． C．6 D．9 5．如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　） A． B． C． D． 6．如图，点是的内心，过点作，与、分别交于点、，则( ) A．EF>AE+CF B．EF<AE+CF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+CF 7．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于点D，连接CD，OD，BD．下列结论中正确的是（      ） A．AC∥OD B． C．△ODE∽△ADO D． 8．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10.如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，为半径的圆上一点，连接，则面积的最小值是（　） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 ． 12．用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ． 13．已知的半径为4cm，点P在直线l上，且点P到圆心O的距离为4cm，则直线l与 ． 14．在平面直角坐标系内，以点为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 ． 15．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 16．如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE＝PE． 18．（8分）如图，⊙O的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，． (1)求证：是直径； (2)若⊙O的半径为1，，求的长度． 19．（8分）正方形内接于，如图所示，在劣弧上取一点E，连接，过点D作交于点F，连接，且与相交于点G，    求证： (1)四边形是矩形； (2)． 20．（8分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 21．（8分）如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 22．（10分）如图，中，． (1)请仅用无刻度的直尺和圆规在内求作点D，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，若H为中点且，求的面积． 23．（10分）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示（、、、在同一平面内）。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究． 【测量与整理】通过操作，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合，此时；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】 (1)伞从折叠到完全张开时，求骨架的端点到支点的距离； (2)当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于C、D． (1)若C点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 25．（14分）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接 (1)求证： (2)当时，求圆O的面积 (3)若，试探究与之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长． 【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”． 2．如图，点在以为直径的上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BO、CO，根据正六边形的性质可求∠BOC，再根据圆周角的性质可求． 【详解】解：连接BO、CO， 在正六边形ABCDEF中，∠BOC==60°， ∴∠BAC=∠BOC=30°， 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质和圆周角的性质，连接半径，求圆心角是解题关键． 4．如图，点P为外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，交于点B，，，则线段的长为（　　） A．3 B． C．6 D．9 【答案】C 【分析】直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出OP的长． 【详解】解：连接， ∵PA为的切线， ∴∠， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质以及直角三角形的性质，连接利用切线的性质构造直角三角形是解题关键． 5．如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可． 【详解】解：设， ∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点， ， ，， 在中，，解得， 即的长度为． 故选D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理． 6．如图，点是的内心，过点作，与、分别交于点、，则( ) A．EF>AE+CF B．EF<AE+CF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+CF 【答案】C 【分析】连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论． 【详解】连接OA，OB， ∵O是△ABC的内心， ∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线， ∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO， ∵EF∥AB， ∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO， ∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF， ∴AE=OE，OF=BF， ∴EF=AE+BF． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 7．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于点D，连接CD，OD，BD．下列结论中正确的是（      ） A．AC∥OD B． C．△ODE∽△ADO D． 【答案】A 【分析】A.根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可； B.过点E作EF⊥AC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=EF，再根据直角三角形斜边大于直角边可证； C.两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO； D.根据角平分线的性质得出∠CAD=∠BAD，根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可得CD=BD，又因为CD+BD>BC,又由AC=BC可得AC<2CD，从而可判断D错误． 【详解】解：解：A.∵AB是半圆直径， ∴AO=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD， ∴A正确． B.如图，过点E作EF⊥AC， ∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴OE=EF， 在Rt△EFC中，CE＞EF， ∴CE＞OE， ∴B错误． C.∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO， ∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD， ∴∠DOE≠∠DAO， ∴不能证明△ODE和△ADO相似， ∴C错误； D.∵AD平分∠CAB交于点D， ∴∠CAD=∠BAD. ∴CD=BD ∴BC<CD+BD=2CD, ∵半径OC⊥AB于O， ∴AC=BC, ∴AC<2CD， ∴D错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练． 8．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键．观察图形知曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，得出半径规律，再计算弧长即可， 【详解】四边形是边长为的正方形 由已知可得；的半径为1；的半径为，的半径为2；的半径为，的半径为3，， 每一段弧的半径每次比前一段的圆心角所对的弧半径大， 半径增加2， 的半径为3；的半径为5， 的半径为7； 的半径为， 的长是． 故选：A． 9．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 10.如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，为半径的圆上一点，连接，则面积的最小值是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题 【详解】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F． ∵直线AB的解析式为 ∴设直线CH的解析式为y＝ 将C（−1，0）代入y＝中得：，解得：， ∴直线CH的解析式为， 由，解得， ∴， ∴CH＝， ∴EH＝3-1=2， ∵对于，令x=0，得y=3，令y=0，得x=4， A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB＝3，AB＝， 当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值＝， 故答案为：A 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】设扇形的半径为，由题意可得：，求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意可得： 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式，列出方程． 12．用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ． 【答案】140°/140度 【分析】先抽象出几何图形，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：连接，设⊙O的直径为，如图： 由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键． 13．已知的半径为4cm，点P在直线l上，且点P到圆心O的距离为4cm，则直线l与 ． 【答案】相交或相切 【分析】根据直线与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵点P在直线l上，且点P到圆心O的距离为4cm，等于直径， ∴点P在⊙O上 ∴直线l与⊙O相交或相切 故答案为相交或相切 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知直线与圆的三种位置关系． 14．在平面直角坐标系内，以点为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，坐标与图形，设圆P与y轴的交点坐标为，根据点P到点的距离为，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆P与y轴的交点坐标为， ∵半径为， ∴点P到点的距离为， ∴， 解得或， ∴圆P与y轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 15．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，余角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，设与交于点，过作于，连接，由线段垂直平分线的判定和性质可判断①；证明，得到，再根据可判断②；证明得到，由可得，根据不一定与相等即可判断③；证明四边形为矩形可得，由三角形中位线可得，即可得，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与交于点，过作于，连接，如图， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴和关于对称，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵不一定与相等，故③错误； ∵是中点， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 16．如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性质，勾股定理解三角形，是解题的关键． 过点M作的垂线，垂足为N，连接，利用垂径定理证明四边形是矩形，令，则，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点M作的垂线，垂足为N，连接， 则， 由旋转知，，，， ∴轴， ∴轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 令，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴， 即． 又∵， ∴， 即． 所以点D的坐标为：， 故答案为： 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE＝PE． 【答案】见解析 【分析】连接BP，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及圆周角定理和内心的性质，即可证得：∠BPE=∠PBE，然后根据等角对等边即可证得：BE=PE． 【详解】如图，连接BP， ∵P是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠2=∠5， ∴∠1=∠5， ∵∠BPE=∠1+∠3，∠PBE=∠4+∠5， ∴∠BPE=∠PBE， ∴BE=PE． 【点睛】本题考查三角形内心的性质，圆周角性质，及等腰三角形的判定，正确得到∠BPE=∠PBE是解题关键． 18．（8分）如图，⊙O的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，． (1)求证：是直径； (2)若⊙O的半径为1，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知条件得到，推出，根据圆周角定理得到是直径； （2）连接，，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直径； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴的长度． 【点睛】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．也考查了圆内接四边形的性质． 19．（8分）正方形内接于，如图所示，在劣弧上取一点E，连接，过点D作交于点F，连接，且与相交于点G，    求证： (1)四边形是矩形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出，，进而证明结论； （2）利用正方形的性质和圆周角定理得到，则，进而得出，再由矩形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：∵正方形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）证明：如图所示，连接，    ∵正方形内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在矩形中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 20．（8分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连结OD，由于OA＝OD，∠BAD＝45°，所以∠AOD＝90°，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ODC＝∠AOD＝90°，于是可根据切线的判定定理证明CD为⊙O的切线； （2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD进行计算即可． 【详解】（1）证明：连结OD，如图， ∵OA＝OD，∠DAB＝45°， ∴∠DAB＝∠ADO＝45°，∠AOD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠AOD＝90°， 即OC⊥CD， ∴CD为⊙O的切线； （2）∵AB＝2， ∴OB＝1，CD＝2， ∴阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了梯形和扇形的面积公式． 21．（8分）如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 22．（10分）如图，中，． (1)请仅用无刻度的直尺和圆规在内求作点D，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，若H为中点且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为2 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运用以上知识是解题的关键． （1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心，为半径画圆，再以点为圆心，为半径画圆，交于点，连接、； （2）由（1）易得由直角三角形斜边中线的性质可得，证明是等边三角形，可得，根据勾股定理求出的长度，即可计算的面积． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， 证明：根据作图可得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ， ， ，且为中点， ， ， ∴是等边三角形，． ， ， ， ∴的面积为． 23．（10分）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示（、、、在同一平面内）。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究． 【测量与整理】通过操作，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合，此时；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】 (1)伞从折叠到完全张开时，求骨架的端点到支点的距离； (2)当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图2可求得的长度，如图4，得到的长度，即可求得； （2）连接，，过点作于，由等腰三角形的性质可得为圆形伞的半径，然后证明四边形是矩形，可得，由勾股定理解得，最后由圆的面积公式可求解． 【详解】（1）， 如图2可知， 如图4， 答：骨架的端点到支点的距离为． （2）如图4，连接，，过点作于， 又 为圆形伞的半径 又点是中点，等于一半 ， 又， 四边形是矩形 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，二项式化简，圆的面积公式，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于C、D． (1)若C点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)存在；点P的坐标为或； (3)的长不变，且长度为6 【分析】（1）结合题意，连接，根据点M和点C的坐标可得出的半径，即的长，利用M的坐标即可得出A的坐标； （2）假设存在这样的点P，根据题意，可知为等腰直角三角形，且．根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标； （3）作于H，则，易证，故．从而可证为一定值． 【详解】（1）解：如图①，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：假设存在这样的点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 解得：， 即存在两个这样的点P，且坐标为或； （3）解：的长不变，且长度为6． 如图②，连接，作于H， 则， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查的是垂径定理的应用和切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． 25．（14分）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接 (1)求证： (2)当时，求圆O的面积 (3)若，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）根据弧中点性质得到，根据平行弦性质得到，得到，得到，即得； （2）作于点M，连接， 则，根据平行弦性质和弧中点特得到，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． 【详解】（1）∵点F是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作于点M，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$