3.3 幂函数（九大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：幂函数的概念 4 题型二：求函数解析式 4 题型三：定义域问题 5 题型四：值域问题 5 题型五：幂函数的图象 6 题型六：定点问题 9 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 9 题型八：比较大小 10 题型九：幂函数性质的综合运用 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典型例题】 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（2024·高一·江西赣州·期中）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（2024·高一·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【变式2-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数图象过点，当时， . 【变式2-3】（2024·高一·上海·课前预习）若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 【变式2-4】（2024·高一·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【变式2-5】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【典例3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【变式3-2】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【变式3-3】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式4-1】（2024·高一·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【变式4-2】（2024·高一·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式5-4】（2024·高一·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【变式6-2】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【变式6-3】（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【变式6-4】（2024·高一·全国·课后作业）幂函数的图像恒过定点 ． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 【典例7-2】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式7-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【变式7-2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 【变式7-3】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【变式7-4】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·北京·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【典例9-2】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【方法技巧与总结】 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式9-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（2024·高一·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【变式9-3】（2024·高一·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【变式9-4】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 幂函数 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：幂函数的概念 4 题型二：求函数解析式 5 题型三：定义域问题 7 题型四：值域问题 9 题型五：幂函数的图象 11 题型六：定点问题 15 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 16 题型八：比较大小 19 题型九：幂函数性质的综合运用 22 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典型例题】 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·江西赣州·期中）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵幂函数y＝xa， ∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数， 不是幂函数，比幂函数的图象多一个点， ∴幂函数的个数为1． 故选：B. 【变式1-3】（2024·高一·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数. 故选：B. 【变式1-4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【解析】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【解析】设，因为图像经过点， 则， 所以． 故答案为： 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式2-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数图象过点，当时， . 【答案】4 【解析】设幂函数解析式为， 代入点可得， 所以幂函数为， 当，所以. 故答案为：4. 【变式2-3】（2024·高一·上海·课前预习）若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 【答案】 【解析】设幂函数为, 将代入可得，解得，故， 故答案为： 【变式2-4】（2024·高一·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【答案】 【解析】将代入可得，解得， 故答案为： 【变式2-5】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【解析】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【典例3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【解析】①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 【变式3-2】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 【变式3-3】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 . 【答案】 【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式4-1】（2024·高一·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 【变式4-2】（2024·高一·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 【答案】 【解析】函数有意义，则，解得函数的定义域为， 令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为； 由，，所以，即， 所以. 故答案为 ； 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【解析】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 【变式5-3】（2024·高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 【变式5-4】（2024·高一·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为幂函数，所以，则， 所以可化为，其定义域为， 检验各选项，可知B正确. 故选：B. 题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 【变式6-3】（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 【变式6-4】（2024·高一·全国·课后作业）幂函数的图像恒过定点 ． 【答案】 【解析】幂函数的图像恒过定点. 故答案为： 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式7-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 【变式7-2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由在上单调递增，故，解得. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 【变式7-4】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】构造函数，该函数的定义域为， 且，即函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 所以，函数为上的增函数， 由可得，可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·北京·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：例如，则，即，故A错误； 对于选项B、D：例如，则，故BD错误； 对于选项C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确； 故选：C. 【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，可得，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；     对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确； 对于D，∵，∴，，可得，故D错误. 故选：C． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 【变式8-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数， 因为的图象经过点，则，解得， 所以. 因为函数在定义域内单调递增， 则当时，， 所以，且， 故选项错误； 又因为函数单调递增， 则当时，，且， 故选项D正确，选项错误. 故选：D. 【变式8-3】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 当时，，，，，， 此时，，，故A，B，C错误， 由幂函数在上单调递增可知，时，，故D正确， 故选：D. 【变式8-4】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，解得， 所以，则在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项A错误； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项B错误； 在定义域上单调递减， 因为，所以， 即，选项C正确； 在定义域上单调递增， 因为，所以，故选项D错误. 故选：C. 【变式8-5】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 【典例9-2】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【方法技巧与总结】 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式9-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 【变式9-2】（2024·高一·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 【变式9-3】（2024·高一·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 【变式9-4】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$3.3 幂函数 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα 知识梳理 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　　　　；当α为偶数时，y＝xα为　　　　. (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D． 题型一：幂函数的概念 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义，形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合． 故选：A． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型一：幂函数的概念 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个． 故选：C． 题型一：幂函数的概念 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【解析】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为： 答案不唯一． 题型二：求函数解析式 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【解析】设，因为图像经过点， 则， 所以． 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型二：求函数解析式 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二：求函数解析式 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【解析】若幂函数（为整数）的定义域为， 则， 解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意． 故答案为：1 题型三：定义域问题 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】要使有意义，则，解得． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 题型三：定义域问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【解析】①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 题型三：定义域问题 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得． 故答案为： 题型四：值域问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 ． 【答案】 【解析】设，则． 因为，所以．当时，． 所以函数的值域为． 故答案为：   【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 题型四：值域问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以． 题型四：值域问题 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快． 故选：C． 题型五：幂函数的图象 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误．故选：C 题型五：幂函数的图象 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C． 故选：A． 题型五：幂函数的图象 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 ． 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点． 故答案为： 题型六：定点问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 ， 因为，所以， 当时，的最小值为4． 故答案为：4  【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 题型六：定点问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以定点为． 故答案为： 题型六：定点问题 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数．若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高一·北京·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：例如，则，即，故A错误； 对于选项B、D：例如，则，故BD错误； 对于选项C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确； 故选：C． 题型八：比较大小 典型例题 【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，可得，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；     对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确； 对于D，∵，∴，，可得，故D错误． 故选：C． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 题型八：比较大小 典型例题 【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又， 可得 所以． 故选：C． 题型八：比较大小 典型例题 【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增． （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2． 当时，在上单调递增，满足题意． 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去． ∴． （2）由（1）知，． ∵在上单调递增，∴． ∵，，∴，∴解得． 故实数的取值范围为． 题型九：幂函数性质的综合运用 典型例题 【典例9-2】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域． 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【方法技巧与总结】 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 题型九：幂函数性质的综合运用 典型例题 【变式9-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数经过点． （1）当时，求函数的值； （2）是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 题型九：幂函数性质的综合运用 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2011年上海市普通高中招生考试文科数学）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（山东））设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为( ) A． B． C． D． 3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是( ) A． B． C． D． 4．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f（x）是奇函数，当x≥0时， ，则f（-8）的值是 ． A A B -4 $$