专题07 求函数值域的几种核心方法（9大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略(人教B版2019必修第一册)

专题07 求函数值域的几种核心方法 目录 1 2 类型一 直接法求函数的值域 2 类型二 单调性求函数的值域 3 类型三 函数对称性法 5 类型四 配方法 7 类型五 图象法 9 类型六 基本不等式法 10 类型七 分离常数法 13 类型八 换元法 15 类型九 判别式法 17 19 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)指数函数的值域为. (5)对数函数的值域为R. (6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R. (7)对勾函数：对勾函数： 值域： 类型一 直接法求函数的值域 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 1．已知函数，，则函数的值域为 . 2．若的定义域为，则函数的值域为 ． 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的值域为 4．求函数的值域. 类型二 单调性求函数的值域 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 1．已知函数，则函数的值域为 ． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则的值域为 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是 ． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 5．（21-22高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 . 类型三 函数对称性法 函数对称性法：根据函数的对称性求解函数的值域. 1．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为，则函数的值域为 ． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 3．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，试求函数的值域. 类型四 配方法 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 1．（21-22高一·全国·课后作业）函数的值域为 . 2．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 4．求函数的值域. 类型五 图象法 函数图象法：根据函数的图象，直接写出函数的值域. 1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）函数（且）的值域为 . 2．求函数的值域. 类型六 基本不等式法 基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 1．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 2．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是 . 3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求函数的值域. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 类型七 分离常数法 分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域 1．函数，的值域为 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 3．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 4．（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为 . 5．求函数的值域． 类型八 换元法 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 2．（20-21高一上·江西南昌·期中）已知的图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 类型九 判别式法 7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 2．求下列两个函数的值域： （1）； （2）. 1．（21-22高一上·广东梅州·阶段练习）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）完成下列各小题: (1)若正数，满足，求的最小值. (2)已知，求的最小值. (3)已知定义在的函数，求函数的值域 3．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 4．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 求函数值域的几种核心方法 目录 1 2 类型一 直接法求函数的值域 2 类型二 单调性求函数的值域 3 类型三 函数对称性法 5 类型四 配方法 7 类型五 图象法 9 类型六 基本不等式法 10 类型七 分离常数法 13 类型八 换元法 15 类型九 判别式法 17 19 一、定义域优先 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 二、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)指数函数的值域为. (5)对数函数的值域为R. (6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R. (7)对勾函数：对勾函数： 值域： 类型一 直接法求函数的值域 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 1．已知函数，，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，得出该函数的最大值和最小值，即可得出该函数的值域. 【详解】函数在区间上为增函数， 所以，该函数的最大值为，最小值为， 因此，该函数的值域为. 故答案为. 【点睛】本题考查二次函数的值域，一般利用函数的单调性求出最值，即可得出函数的值域，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 2．若的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的值域解析式求解即可. 【详解】因为的定义域为，所以；；；所以函数值域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的值域为 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为. 故答案为： 4．求函数的值域. 【答案】 【分析】利用直接法. 【详解】∵，∴, ∴的值域为. 类型二 单调性求函数的值域 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 1．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】， 其对称轴穿过闭区间， 函数在时，， 又在上递减，在递增， ， 函数在时，， 该函数的值域为． 故答案为． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求值域. 【详解】因为的对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为， 故答案为: . 3．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与对称性计算即可. 【详解】由， 可知，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故时，，时，，即. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的知识求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以函数的值域为. 故答案为： 5．（21-22高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】令，，换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案. 【详解】设则 所以 因为函数在上单调递增， 当，， 所以函数的值域为 故答案为：. 类型三 函数对称性法 函数对称性法：根据函数的对称性求解函数的值域. 1．（22-23高一上·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可. 【详解】由题意可知，要有意义，则需，即， 即函数定义域为， 又，对称轴方程为， 所以当时，，当时，， 所以函数值域为， 故答案为： 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，解得，即的定义域为； 易知． 又， 对于，其开口向下，对称轴为， 所以时，有最大值， 当或时，有最小值0， 所以当时，的值域为， 则的值域为，故求的值域为． 故答案为：；. 3．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，试求函数的值域. 【答案】 【解析】根据的定义域求出的定义域，再利用二次函数知识求出值域即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 则函数的定义域，应满足以下条件， . 即的函数定义域为. 又由， 则，，其对称轴为， 故，. 故的值域为. 【点睛】关键点点睛：根据的定义域求出的定义域是解题关键. 类型四 配方法 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 1．（21-22高一·全国·课后作业）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解. 【详解】解：由题得且. 因为, 且. 所以原函数的值域为. 故答案为： 2．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 4．求函数的值域. 【答案】 【详解】因为，且，所以，所以，故函数的值域为． 类型五 图象法 函数图象法：根据函数的图象，直接写出函数的值域. 1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）函数（且）的值域为 . 【答案】 【分析】题目中的函数是由反比例函数向左平移一个单位之后得到的，结合图像以及定义域，即可求出函数的值域 【详解】 画出函数（且）的图像如上图所示，是由反比例函数向左平移一个单位之后，选取部分图像得到的，当时，且取不到，所以结合图像可知，函数的值域为 故答案为：. 2．求函数的值域. 【答案】 【详解】设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    类型六 基本不等式法 基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 1．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 2．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是 . 【答案】 【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解. 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 故答案为： 3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 类型七 分离常数法 分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域 1．函数，的值域为 【答案】 【分析】采用分离常数法分析值域. 【详解】因为，，所以，所以，所以值域为：. 【点睛】本题考查函数值域的求解，难度一般.形如的函数值域的求解方法：分离常数法，即. 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数后求得，再判断的值域. 【详解】∵， 又，故， 则， 故答案为： 3．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： 5．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用分离常数法求值域； 【详解】，其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． 类型八 换元法 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 所以，等号成立 所以函数的值域为. 故答案为：. 2．（20-21高一上·江西南昌·期中）已知的图象关于直线对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合函数对称性与解析式可知是零点，则也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数有两个零点，0，又因为其图象关于直线对称， 所以2，3也是函数的两个零点，即，所以，令，则，所以，即的值域为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于： （1）若函数对称轴为，则有； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围. 3．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 类型九 判别式法 7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 2．求下列两个函数的值域： （1）； （2）. 【答案】 【解析】将函数化为关于的方程，是参数，使得方程有解的的取值范围即为值域； 【详解】函数化为， 可知关于的该方程一定有解， 当时，，满足题意， 当时，则， 解得且， 综上，， 的值域为； 1．（21-22高一上·广东梅州·阶段练习）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】BC 【分析】利用分离常数法，换元法，二次函数的性质，分别求出四个函数的值域，即可得加绝对值的值域，结合有界函数的定义即可得正确选项. 【详解】对于（1）：， 由于，所以，，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数； 对于（2）令，，则， 因为，当时，函数的最大值为， 所以，即，，为有界函数； 对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数； 对于（4）令， ，则，即，， 当时，，无最小值，即，，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数． 故选：BC. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）完成下列各小题: (1)若正数，满足，求的最小值. (2)已知，求的最小值. (3)已知定义在的函数，求函数的值域 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用表示得，再利用基本不等式即可； （2）利用换元法和基本不等式即可； （3）利用基本不等式即可. 【详解】（1）由题得，正数，满足， 因为，所以， 所以； 当且仅当，得，即时，等号成立； 所以的最小值为. （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以时，的最小值为. （3）因为,所以 所以 因此 当且仅当时,取等号,即时取等号， 因为，所以 所以，即 所以函数的值域为 3．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可； （Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可； （Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可. 【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：. ∴的定义域为； （Ⅱ）当时，， （1）当，即时，的定义域为，值域为， ∴时，不是“同域函数”. （2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”. ∴. 综上所述，的值为. （Ⅲ）设的定义域为，值域为. （1）当时，，此时，，，从而， ∴不是“同域函数”. （2）当，即， 设，则的定义域. ①当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，， 又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，     此时，由，可知不成立. 综上所述，的取值范围为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域. 4．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. （2）对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 （3）当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$