期中真题必刷压轴60题（17个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

期中真题必刷压轴60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•永兴县期中）已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点、、不与点重合），连接交射线于点．设． （1）如图1，若，则 ①的度数是 　　； ②当时，　　；当时，　　． （2）如图2，若，则是否存在这样的的值，使得△中有两个相等的角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 二．三角形三边关系（共2小题） 2．（2023秋•乾安县期中）已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是． （1）直接写出及的取值范围； （2）若是小于18的偶数 ①求的长； ②判断的形状． 3．（2023秋•平果市期中）已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值． 三．三角形内角和定理（共13小题） 4．（2023秋•东港区校级期中）如图，在△，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023秋•钟祥市校级期中）在中，，当　　，为等腰三角形． 6．（2023秋•乾安县期中）在中，，是的平分线，交边上的高于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 7．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 8．（2023秋•津南区期中）在中， （1）如图①所示，如果，和么的平分线相交于点，那么　　； （2）如图②所示，和的平分线相交于点，试说明； （3）如图③所示，和的平分线相交于点，猜想与的关系并证明你的猜想 9．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求的度数是　　． 10．（2023秋•柳江区期中）如图所示，已知为的角平分线，为外角的平分线，且与交于点； （1）若，，则　 　； （2）若，，则　 　； （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含的式子表示 11．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 12．（2023秋•东港区校级期中）如图①，，点、在的两条边上运动，与的平分线交于点． （1）点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． （2）如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点、在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． （3）若，请直接写出　　；　　． 13．（2023秋•庐江县期中）已知：如图1，在中，是高，若． （1）试说明； （2）如图2，若是角平分线，、相交于点．求证：． 14．（2023秋•潼南区期中）请完成下面的说明： （1）如图（1）所示，的外角平分线交于点，试说明． （2）如图（2）所示，若的内角平分线交于点，试说明． （3）根据（1），（2）的结论，你能说出和的关系吗？ 15．（2023秋•启东市期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． ①　　；②　　． （2）如图2，在中，为角平分线，，．请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，为的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 16．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图1至图2，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　　； ②求证：． 深入探究： （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，则与的关系式是 　　． 四．三角形的外角性质（共3小题） 17．（2023秋•汉阴县期中）如图（1）中是一个五角星，你会求的值吗？ （2）图中的点向下移到上时，五个角的和（即有无变化？如图（2）说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点向上移动到上时，五个角的和（即有无变化？如图（3）说明你的结论的正确性． 18．（2023秋•汝南县期中）在中，平分，． （1）如图1，若于点，，，则的度数为 　　；（只写答案，不写解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段上任取一点，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 19．（2023春•广陵区期中）【概念认识】 如图①，在△中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在△中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在△中，是△的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 五．全等三角形的性质（共1小题） 20．（2022秋•朝阳区校级期中）如图①，在△中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图①，当　　时，△的面积等于△面积的一半； （2）如图②，在△中，，，，．在△的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，求点的运动速度． 六．全等三角形的判定（共1小题） 21．（2023秋•东湖区期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　　秒时，与全等． 七．全等三角形的判定与性质（共18小题） 22．（2023秋•临湘市期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则为中点； ④当为等腰三角形时，； 正确的有_____个．　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2023秋•慈溪市校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 　　． 24．（2023秋•南岗区校级期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为　　． 25．（2023秋•南陵县校级期中）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　　． 26．（2023秋•船营区校级期中）在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且． （1）如图1，若，连接，．则的度数为 　　；与的数量关系是 　　． （2）如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由． 27．（2023秋•乾安县期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，若，． 求证：是的平分线． 28．（2022秋•吉林期中）如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）当，且是等腰三角形时，直接写出的度数． 29．（2023秋•江干区校级期中）在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点（不与点重合，且，在射线上截取，连接． （1）当点在线段上时， ①若点与点重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 　　； ②如图2，若点不与点重合，请证明； （2）当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 30．（2023春•三水区校级期中）如图：已知、，且、满足． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，点在线段上（不与、重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴，点，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 31．（2023秋•壶关县期中）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 32．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 33．（2022秋•南关区校级期中）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）证明：． （2）在移动过程中，小明发现当点的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点的运动速度取哪些值时，会出现与全等的情况． 34．（2023秋•湖北期中）如图，已知，点是上一点，． （1）如图1，若，，求证： ①； ②． （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 3 5．（2023秋•蓬江区校级期中）如图所示，已知，在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段、与之间的数量关系？并说明理由． 36．（2023秋•凉州区校级期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　． （3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 37．（2023秋•鼓楼区期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，在线段上，连接，的延长线交于． （1）猜想线段，的数量关系和位置关系：　　（不必证明）； （2）当点为内部一点时，使点和点分别在的两侧，其它条件不变． ①请你在图2中补全图形； ②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 38．（2023秋•商丘期中）已知：的高所在直线与高所在直线相交于点，过点作，交直线于点． （1）如图1，若为锐角三角形，且． 求证：①； ②； （2）如图2，若，直接写出、、之间满足的数量关系． 39．（2023秋•越秀区期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求证：且； （2）以为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点作轴于点，求点的坐标； （3）若点为轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 八．全等三角形的应用（共1小题） 40．（2023秋•乾安县期中）如图，一条河流旁边有两个村庄，，于．由于有山峰阻挡，村庄到河边的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点能到达，两个村庄，与，的连线夹角为，且与，的距离也相等，测量，的距离为，请求出村庄到河边的距离． 九．等腰三角形的性质（共2小题） 41．（2023秋•榆树市校级期中）用一条长为细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 42．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，在中，，为的角平分线； （1）若，则的度数为 　　（直接写出结果）； （2）如图1，若为线段上一点，；求证：． （3）如图2，若为线段上一点，，求证：． 一十．等腰三角形的判定（共1小题） 43．（2022秋•长春校级期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 一十一．等腰三角形的判定与性质（共4小题） 44．（2022秋•洮北区校级期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长． 45．（2023春•清苑区期中）（1）如图①，在中，，分别平分，，过点作直线平行于，分别交，于点，，求证：； （2）如图②，若点是的平分线和外角的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段，，之间有何数量关系？证明你的猜想． 46．（2023秋•双台子区校级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当时，求的度数． 47．（2023秋•广州期中）如图1，在中，，，的平分线交边于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若的平分线交边于点，如图2，求证：； （3）若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论． 一十二．等边三角形的性质（共3小题） 48．（2023秋•西陵区校级期中）如图1，点、分别是边长为的等边△边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， （1）连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 49．（2023秋•武江区校级期中）如图，在等边△中，厘米，厘米．如果点以3厘米秒的速度运动． （1）如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等． ①经过2秒后，△和△是否全等？请说明理由． ②当两点的运动时间为多少时，△是一个直角三角形？ （2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿△三边运动，经过25秒点与点第一次相遇，则点的运动速度是 　　厘米秒．（直接写出答案） 50．（2023秋•承德期中）已知：如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间，当为何值时，是直角三角形？ 一十三．等边三角形的判定与性质（共3小题） 51．（2023秋•宁江区校级期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 52．（2023秋•二道区校级期中）如图，是等边三角形． （1）如图①，，分别交、于点、．求证：是等边三角形； （2）如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 53．（2023秋•朔州期中）如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）请说出的理由； （2）试说出的理由； （3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 一十四．含30度角的直角三角形（共1小题） 54．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 一十五．多边形内角与外角（共3小题） 55．（2023秋•前郭县期中）四边形中，的角平分线与边交于点，的角平分线交直线于点． （1）若点在四边形的内部， ①如图1，若，，，则　　； ②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点在四边形的外部，请你直接写出、、之间的数量关系． 56．（2023秋•汉阴县期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转， （1）小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． （2）小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 57．（2023秋•澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 一十六．作图-轴对称变换（共2小题） 58．（2023秋•临江市期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的△，并写出点的坐标； （2）作出关于对称的△，并写出点的坐标． 59．（2023秋•东城区校级期中）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）如图1，若点为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，若线段与交于点． ①设，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•永兴县期中）已知： ， 平分 ，点 、 、 分别是射线 、 、 上的动点 、 、 不与点 重合），连接 交射线 于点 ．设 ． （1）如图1，若 ，则 ① 的度数是 　 　； ②当 时， 　　；当 时， 　　． （2）如图2，若 ，则是否存在这样的 的值，使得△ 中有两个相等的角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【分析】利用角平分线的性质求出 的度数是关键，分类讨论的思想． 【解答】解：（1）① ， 平分 ， ， ， ， ② ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：① ； ②120，60； （2）①当点 在线段 上时， 是 的角平分线， ， ， ， ， 若 ，则 若 ，则 若 ，则 ， ②当点 在射线 上时，因为 ，且三角形的内角和为 ， 所以只有 ，此时 ． 综上可知，存在这样的 的值，使得△ 中有两个相等的角， 且 、35、50、125． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于 ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和． 二．三角形三边关系（共2小题） 2．（2023秋•乾安县期中）已知 ， ， 是 的三边长， ， ，设三角形的周长是 ． （1）直接写出 及 的取值范围； （2）若 是小于18的偶数 ①求 的长； ②判断 的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出 的取值范围，进而得出答案； （2）①根据偶数的定义，以及 的取值范围即可求解； ②利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【解答】解：（1）因为 ， ， 所以 ． 故周长 的范围为 ． （2）①因为周长为小于18的偶数， 所以 或 ． 当 为16时， ； 当 为14时， ． ②当 时， ， 为等腰三角形； 当 时， ， 为等腰三角形． 综上， 是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出 的取值范围是解题关键． 3．（2023秋•平果市期中）已知 的三边长分别为 ， ， ． （1）若 ， ， 满足 ，试判断 的形状； （2）若 ， ，且 为整数，求 的周长的最大值及最小值． 【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系可得出 的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 是等边三角形； （2） ， ，且 为整数， ，即 ， ，5，6， 当 时， 周长的最小值 ； 当 时， 周长的最大值 ． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 三．三角形内角和定理（共13小题） 4．（2023秋•东港区校级期中）如图，在△ ， 、 分别是高和角平分线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的是 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据 ， 和 ，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明 ，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：① ， ， ， ， ， ①正确； ② 平分 ， ， ， ， ， ， ②正确； ③ ， ， ， ， 由①得， ， ， ； ③正确； ④ ， ， ， ， ， ， ， ④正确， 故选： ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 5．（2023秋•钟祥市校级期中）在 中， ，当 　 ， ， 　， 为等腰三角形． 【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题 【解答】解：①当 时， ， ． ②当 时， ， ． ③当 时， ， 综上所述， 的值为 或 或 ， 故答案为： ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题． 6．（2023秋•乾安县期中）在 中， ， 是 的平分线，交 边上的高 于点 ． （1）求 的度数； （2）求 的度数． 【分析】（1）由三角形三角关系，利用内角和定理求出各自的度数，利用直角三角形两锐角互余求出所求即可； （2）利用角平分线定义，以及外角性质求出所求即可． 【解答】解：（1） 在 中， ，且 ， ， ， ， ， 则 ； （2） 是 的平分线， ， 为 的外角， ． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键． 7．（2023秋•昌邑区校级期中）如图， 是 的高， 是 的角平分线， ， ，求 的度数． 【分析】在 中，由三角形的外角性质知： ，所以 ，联立 中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出 ， ， 的关系，再代值求解即可． 【解答】解：由三角形的外角性质知： ， 故 ；① 在 中，由三角形内角和定理得： ， 即： ，② 由② ①，得： ． 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记三角形内角和是 ，是解决问题的关键． 8．（2023秋•津南区期中）在 中， （1）如图①所示，如果 ， 和么 的平分线相交于点 ，那么 　 　； （2）如图②所示， 和 的平分线相交于点 ，试说明 ； （3）如图③所示， 和 的平分线相交于点 ，猜想 与 的关系并证明你的猜想 【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ， ，再利用三角形的内角和定理计算可求解； （2）根据角平分线的定义可得 ， ，再利用三角形外角的性质进行证明； （3）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理及其推论进行证明． 【解答】解：（1） 、 分别为 ， 的平分线， ， ． ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； （2） 是 的角平分线， ． 又 是 的平分线， ， ， ， ； （3） ． 证明： 、 分别是 与 的外角平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是 9．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若 ， ， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、 ．试求 的度数是　　． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出 ； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得 ①， ②，再根据角平分线的定义，得出 ， ，将① ②，可得 ，进而求出 的度数； 【解答】解：（1） ， ， ； 故答案为： ； （2）①线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ②线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ③线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ④线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑤线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑥线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 故答案为：6； （3） ，① ，② 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， ① ②得： ， 即 ， 又 度， 度， ， ； 故答案为 ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 10．（2023秋•柳江区期中）如图所示，已知 为 的角平分线， 为 外角 的平分线，且与 交于点 ； （1）若 ， ，则 　40　 ； （2）若 ， ，则 　 　 ； （3）当 和 在变化，而 始终保持不变，则 是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含 的式子表示 【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得； （3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出 、 的等式，推出 ，即可求得结论． 【解答】解：（1） 为 的角平分线， ， ， ， ； （2） ， ， 为 的角平分线， 为 外角 的平分线， ， ， ； （3）不变化， 理由： ， ． 故答案为40；40． 【点评】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出 ． 11．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品 圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，直接写出 的结果； ②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数； ③如图4， ， 的10等分线相交于点 、 、 、 ，若 ， ，求 的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接 并延长至点 ，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到 ； （2）①由（1）的结论可得 ，然后把 ， 代入上式即可得到 的值． ②结合图形可得 ，代入 ， 即可得到 的值，再利用上面得出的结论可知 ，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接 并延长至点 ， 由外角定理可得 ， ； 且 ， ； 相加可得 ； （2）①由（1）的结论易得： ， 又 ， ， ； ②由（1）的结论易得 ，易得 ； 而 ， 代入 ， ，易得 ； ③ ， ， 设 为 ， ， ， 为 ． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出 是解答的关键，注意：三角形的内角和等于 ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 12．（2023秋•东港区校级期中）如图①， ，点 、 在 的两条边上运动， 与 的平分线交于点 ． （1）点 、 在运动过程中， 的大小会变吗？如果不会，求出 的度数；如果会，请说明理由． （2）如图②， 是 的平分线， 的反向延长线交 的延长线于点 ，点 、 在运动过程中， 的大小会变吗？如果不会，求出 的度数；如果会，请说明理由． （3）若 ，请直接写出 　 　； 　　． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和是 即可求解； （2）根据 是 的平分线， 平分 ．可知 ， ，再根据三角形内角和是 即可求解 （3）仿照（1）（2）中的计算方法即可得到 ， ． 【解答】解：（1） 的大小不变． 在 中，由 ，得 ， 因为 、 分别平分 和 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ； （2） 的大小不变． 证明：因为 、 分别平分 和 ， 所以 ， ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 又由（1）可知 ， 所以 ， 在 中，由 ， ，得 ； （3） ， ． 理由：因为 、 分别平分 和 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ； 因为 、 分别平分 和 ， 所以 ， ， 因为 是 的外角， 所以 ， 是 的外角， ． 故答案为： ， ． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是 ． 13．（2023秋•庐江县期中）已知：如图1，在 中， 是高，若 ． （1）试说明 ； （2）如图2，若 是角平分线， 、 相交于点 ．求证： ． 【分析】（1）根据题意可以求得 的度数，从而可以解答本题； （2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立． 【解答】解：（1） 在 中， 是高， ， ， ， ， ； （2）证明： 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ． 【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 14．（2023秋•潼南区期中）请完成下面的说明： （1）如图（1）所示， 的外角平分线交于点 ，试说明 ． （2）如图（2）所示，若 的内角平分线交于点 ，试说明 ． （3）根据（1），（2）的结论，你能说出 和 的关系吗？ 【分析】（1）根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出 ， ， ，求出 ，求出 的度数，即可得出答案； （2）求出 的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据（1）（2）的结论即可得出答案． 【解答】解（1） 如图1， ， ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ； （2） 、 分别平分 、 ， ， ， 即 ； （3） 和 的关系是互补． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键． 15．（2023秋•启东市期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 与 　；②　　． （2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ．请你说明 是 的等角分割线． 【应用概念】： （3）在 中，若 ， 为 的等角分割线，请你直接写出所有可能的 度数． 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线的定义得到 ，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分 是等腰三角形， 、 和 是等腰三角形， 、 四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】（1）解： 与 ， 与 是“等角三角形”； 故答案为： 与 ， 与 ； （2）证明： 在 中， ， ， ， 为角平分线， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 为 的等角分割线； （3）解：当 是等腰三角形，如图2， 时， ， ， ； 当 是等腰三角形，如图3， 时， ， ， ， ； 当 是等腰三角形， 的情况不存在， 当 是等腰三角形，如图4， 时， ， ， ， 当 是等腰三角形，如图5， 时， ， 设 ， 则 ， 则 ， 由题意得， ， 解得 ， ， 当 是等腰三角形， 的情况不存在， 综上， 的度数为 ； ； ； ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 16．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如图1至图2，在 中， ，点 在边 上，作 垂直于直线 ，垂足为点 ， 为 的角平分线， 的平分线交直线 于点 ． 特例感悟： （1）如图1，延长 交 于点 ，若 ， ． 解决问题： ① 　60　 ； ②求证： ． 深入探究： （2）如图2，当 ， 与 反向延长线交于点 ，用含 的代数式表示 ，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点 在边 上移动时，若射线 与线段 相交，设交点为 ，则 与 的关系式是 　　． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； ②根据平行线的性质得 ，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）由八字模型可得， 和 中， ，再整理可得答案； （3）画出对应图形，再根据四边形的内角和定理计算可求解． 【解答】解：（1）① ， ， 为 的角平分线， ， 故答案为： ； ②证明：由①得， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ； （2） ． 理由：由八字模型可得， 和 中， ． 故答案为： ； （3）如图， 当 是锐角时， 由四边形的内角和得， ． 当 是钝角时， 平分 ， 平分 ， ， ， ． 综上， 的度数为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 四．三角形的外角性质（共3小题） 17．（2023秋•汉阴县期中）如图（1）中是一个五角星，你会求 的值吗？ （2）图中的点 向下移到 上时，五个角的和（即 有无变化？如图（2）说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点 向上移动到 上时，五个角的和（即 有无变化？如图（3）说明你的结论的正确性． 【分析】（1）如图，连接 ，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得． （2）（3）五个角转化为一个平角． 【解答】解：（1）如图，连接 ． 在 中，根据三角形内角和定理，得出 ． ， ； （2）无变化． 根据平角的定义，得出 ． ， ， ； （3）无变化． ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，利用了转化思想求解，（1）是把五个角转化在一个三角形中求解，（2）（3）是把五个角转化为一个平角求解． 18．（2023秋•汝南县期中）在 中， 平分 ， ． （1）如图1，若 于点 ， ， ，则 的度数为 　 　；（只写答案，不写解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出 、 、 之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段 上任取一点 ，过点 作 于点 ，请直接写出 、 、 之间的数量关系． 【分析】（1）先求出 ，根据角平分线定义求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，代入 求出即可； （2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后由 代入计算可求解； （3）过 作 于 ，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，进而可求解． 【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ； 故答案为： ； （2） ． 理由： ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 即 ； （3） ， 理由是：如图2，过 作 于 ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 19．（2023春•广陵区期中）【概念认识】 如图①，在△ 中，若 ，则 ， 叫做 的“三分线”．其中， 是“邻 三分线”， 是“邻 三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ 中， ， ，若 的三分线 交 于点 ，求 的度数； （2）如图③，在△ 中， 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线，且 ，求 的度数； 【延伸推广】 （3）在△ 中， 是△ 的外角， 的三分线所在的直线与 的三分线所在的直线交于点 ．若 ， ，直接写出 的度数．（用含 的代数式表示） 【分析】（1）根据题意可得当 是“邻 三分线”时， ；当 是“邻 三分线”时， ； （2）结合（1）根据 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线，且 ，即可求 的度数； （3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，可得 ；情况二：如图②，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，可得 ；情况三：如图③，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，可得 ；情况四：如图④，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时，可得 ，进而解答． 【解答】解：（1）如图， 当 是“邻 三分线”时， ； 当 是“邻 三分线”时， ； （2）在△ 中， ， ， 又 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线， ， ， ， ， 在△ 中， ； （3）分4种情况进行画图计算： 情况一：如图①，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时， ； 情况二：如图②，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时， ； 情况三：如图③，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时， ； 情况四：如图④，当 和 分别是“邻 三分线”、“邻 三分线”时， ； 综上所述： 的度数为： 或 或 或 ． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 五．全等三角形的性质（共1小题） 20．（2022秋•朝阳区校级期中）如图①，在 △ 中， ， ， ， ，现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为 ，设运动时间为 ． （1）如图①，当 　 或 　时，△ 的面积等于△ 面积的一半； （2）如图②，在△ 中， ， ， ， ．在△ 的边上，若另外有一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△ △ ，求点 的运动速度． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点 在 上时，②当点 在 上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点 移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△ △ ，可得对应顶点为 与 ， 与 ， 与 ；于是分两种情况进行解答，①当点 在 上， ， ，②当点 在 上， ， ，分别求出 移动的距离和时间，进而求出 的移动速度． 【解答】解：（1）①当点 在 上时，如图① ， 若△ 的面积等于△ 面积的一半；则 ， 此时，点 移动的距离为 ， 移动的时间为： 秒， ②当点 在 上时，如图① 若△ 的面积等于△ 面积的一半；则 ，即点 为 中点， 此时，点 移动的距离为 ， 移动的时间为： 秒， 故答案为： 或 ； （2）△ △ ，即，对应顶点为 与 ， 与 ， 与 ； ①当点 在 上，如图② 所示： 此时， ， ， 点 移动的速度为 ， ②当点 在 上，如图② 所示： 此时， ， ， 即点 移动的距离为 ，点 移动的距离为 ， 点 移动的速度为 ， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△ △ ， 点 的运动速度为 或 ． 【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 六．全等三角形的判定（共1小题） 21．（2023秋•东湖区期中）如图， 中， ， ， ，直线 经过点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿 路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为 秒，则当 　2或 或12　秒时， 与 全等． 【分析】点 在 上，点 在 上；点 与点 重合； 与 重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【解答】解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ①如图1， 在 上，点 在 上时，作 ， ， ， ， ， 当 时， 则 ， 即 ， 解得： ； ②如图2，当点 与点 重合时， 当 ， 则 ， ． 解得： ； ③如图3，当点 与 重合时， ， ， 当 ， 则 ， 即 ， 解得： ； 当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等， 故答案为：2或 或12． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 七．全等三角形的判定与性质（共18小题） 22．（2023秋•临湘市期中）如图，在 中， ，点 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ，下列结论： ① ； ②若 ，则 ； ③当 时，则 为 中点； ④当 为等腰三角形时， ； 正确的有_____个． 　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据三角形外角的性质即可得到 ； ②当 时， ； ③根据 ，得 ，根据等腰三角形的性质得到 为 中点； ④根据三角形外角的性质得到 ，求得 ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 或 ． 【解答】解：① ， ， ， ， ， 由三角形内角和定理知： ，故①正确； ② ， ， 由①知： ， ， ， ，故②正确； ③ ， ， ， ， ， ， ， ， 为 中点，故③正确； ④ ， ， ， 为等腰三角形， 或 ， 当 时， ， ， ， 当 时， ， ， 故④不正确． 正确的有①②③，共3个， 故选： ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 23．（2023秋•慈溪市校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在 中， ， 是高， 是 外一点， ， ，若 ， ， ，求 的面积．同学们可以先思考一下 ，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取 ，（如图 ．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得 的面积为 　64　． 【分析】由 ，求出 ， 的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接 ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：64． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2023秋•南岗区校级期中）如图，在 中， ，点 在边 上， ，点 在 边上， ，过点 作 交 于点 ，若 ， ，则 的长为　4　． 【分析】设 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，延长 和 交于点 ，根据已知条件证明 ，即可解决问题． 【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 延长 和 交于点 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 25．（2023秋•南陵县校级期中）如图，在 中， 为 边的中线， 为 上一点，连接 并延长交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为 　2.4　． 【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，可证明 ，则 ， ，根据 ，得 ，可证出 ，即得出 ，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（2023秋•船营区校级期中）在 中， ， 是边 上一点，点 在 的右侧，线段 ，且 ． （1）如图1，若 ，连接 ， ．则 的度数为 　 　； 与 的数量关系是 　　． （2）如图2，若 ，连接 、 ．试判断 的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据已知条件证明 是等边三角形，然后证明 ，即可解决问题； （2）根据已知条件证明 ， 是等腰直角三角形，然后证明 ，可得 ，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）当 时， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， 故答案为： ， ； （2） 是直角三角形，理由如下： 当 时， ， 是等腰直角三角形， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明 ． 27．（2023秋•乾安县期中）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ，若 ， ． 求证： 是 的平分线． 【分析】根据 证明 ，得 ，再根据角平分线的判定定理即可证明． 【解答】证明： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 平分 ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 28．（2022秋•吉林期中）如图，在 中， ，点 在边 上（点 不与点 、点 重合），作 ， 交边 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ，求证： ； （3）当 ，且 是等腰三角形时，直接写出 的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， ， ； 在 和 中， ， ； （3）解： ， ， ， 分三种情况讨论： ①当 时， ， ， ， ， ， ， ； ②当 时， ， ， ， ， ， 点 与点 重合，不合题意． ③当 时， ， ， ， ， 综上所述，当 的度数为 或 时， 是等腰三角形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 29．（2023秋•江干区校级期中）在 中， ，点 在 边上，且 ， 是射线 上的一个动点（不与点 重合，且 ，在射线 上截取 ，连接 ． （1）当点 在线段 上时， ①若点 与点 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段 与 的数量关系为 　 　； ②如图2，若点 不与点 重合，请证明 ； （2）当点 在线段 的延长线上时，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到 是等边三角形，由等边三角形的性质得到 ， ，由邻补角的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在 上截取 ，连接 ，得到 是等边三角形．同理， 也是等边三角形．求得 ，通过 ，得到 ，根据线段的和差即可得到结论； （2）如图3，连接 ，由（1）知， ， ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接 ，由（1）知， ， ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图1， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ； 故答案为： ； ②证明：在 上截取 ，连接 ， ， ， 是等边三角形． 同理， 也是等边三角形． ， ， ． 又 ， ， 在 与 中， ， ， ， ； （2）如图3，连接 ， 由（1）知， ， ， ； ， 如图4，连接 ， 由（1）知， ， ， ； ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 30．（2023春•三水区校级期中）如图：已知 、 ，且 、 满足 ． （1）如图1，求 的面积； （2）如图2，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，猜想线段 、 、 之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若 为 轴上异于原点 和点 的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 ，直线 交 轴 ，点 ，当 点在 轴上移动时，线段 和线段 中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【分析】（1）根据非负数的性质得到 ， ，求得 ， ，得到 ， ，于是得到结果； （2）证明：将 绕点 逆时针旋转 得到 根据已知条件得到 ，由 ， ，同时代的 ，求出 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到 ； （3） 是定值，作 于 ，在 上截取 ，由 ，得到 ， ，根据余角的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到 ，于是得到 ．即： ，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解答】（1）解： ， ， ， ， ， 、 ， ， ， 的面积 ； （2）证明：将 绕点 逆时针旋转 得到 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ，故 ． （3） 是定值，作 于 ，在 上截取 ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 即： ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 31．（2023秋•壶关县期中）在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时， 求证：① ； ② ； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论； （2）由图可知， 与 仍全等，但线段的关系已发生改变． 【解答】（1）证明：① ， ， ． 在 和 中， ， ． ② ， ， ． ． （2） 成立， ．不成立，此时应有 ． 证明： ， ， ． 又 ， ， ． ， ． ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用． 32．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：　　． 【分析】（1）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明△ △ ，可得 ，再证明△ △ ，可得 ，即可解题； （2）如图2，同理可得： ； （3）如图3，作辅助线，构建△ ，同理证明△ △ 和△ △ ．可得新的结论： ． 【解答】解：（1）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ． 在△ 与△ 中， ， △ △ ． ， ， ． ． 又 ， 易证△ △ ． ． ． 故答案为： ； （2）（1）中的结论 仍然成立． 理由是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ． ， ， ， 在△ 与△ 中， ， △ △ ． ， ， ． ． 又 ， △ △ ． ． ． （3）① ． 证明：在 上截取 ，使 ，连接 ． ， ， ． 在△ 与△ 中， ， △ △ ． ， ． ． ． ， 易证△ △ ． ． ② ． 证明：在 上截取 ， 同第一种情况方法，证△ △ ， 证△ △ ， ； ③由（1）、（2）可知， ； ④如图，点 在 延长线上，点 在 延长线，此时线段 ， ， 之间并无直接数量关系． 综上， 或 或 ； 故答案为： 或 或 ； 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出 是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出 ，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 33．（2022秋•南关区校级期中）如图，在四边形 中， ， ， ，点 从 点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿 做匀速移动，点 从点 出发沿 向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）证明： ． （2）在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你探究当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与 全等的情况． 【分析】（1）由 ， ， 为公共边，所以可证得 ，所以可知 ，所以 ； （2）设运动时间为 ，点 的运动速度为 ，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【解答】（1）证明：在 和 中， ， ， ， ； （2）解：设运动时间为 ，点 的运动速度为 ， 当 时， 若 ， 则 ， ， ， ； 若 ， 则 ， ， （舍去）； 当 时， 若 ， 则 ， ， ， ； 若 ， 则 ， ， ， ． 综上，当点 的速度为3或1.5或1时．会出现 与 全等的情况． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定与性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等． 34．（2023秋•湖北期中）如图，已知 ，点 是 上一点， ． （1）如图1，若 ， ，求证： ① ； ② ． （2）如图2，请直接写出 与 之间满足什么数量关系时，总有 成立． 【分析】（1）①根据 ，得到 ， ，证明即可； ②在 上截取 ，连接 ，证明 即可得到 ； （2）在 上截取 ，连接 ，证明 即可得到． 【解答】（1）证明：① ， ， ； ②在 上截取 ，连接 ，如图1， ， ， ， ， ，即： ， 由①知： ， 在 和 中， ， ， ； （2）解：当 时，总有 成立．理由如下： 如图2，在 上截取 ，连接 ， 在 上截取 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． 35．（2023秋•蓬江区校级期中）如图所示，已知，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 ． （1）当直线 绕点 旋转到图①的位置时，求证： ； （2）当直线 绕点 旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段 、 与 之间的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）利用互余关系证明 ，又 ， ，故可证 ，从而有 ， ，利用线段的和差关系证明结论； （2）类似于（1）的方法，证明 ，从而有 ， ，可推出 、 与 之间的数量关系． 【解答】证明：（1） ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ； （2）结论： ，理由为： 证明： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 36．（2023秋•凉州区校级期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形　 　 【理解与应用】 （2）填空：如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，则 的取值范围是　 　． （3）已知：如图3， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求证： ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长 至点 ，使 ，连接 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长 到 ，使 ，连接 ，于是得到 由已知条件得到 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，于是得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在 与 中， ， ； 故答案为： ； （2）解：如图2，延长 至点 ，使 ，连接 ， 在 与 中， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 的取值范围是 ； 故答案为： ； （3）证明：如图3，延长 到 ，使 ，连接 ， ， 是 的中线， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 37．（2023秋•鼓楼区期中）如图1， 和 都是等腰直角三角形， ， 在线段 上，连接 ， 的延长线交 于 ． （1）猜想线段 ， 的数量关系和位置关系：　 ， 　（不必证明）； （2）当点 为 内部一点时，使点 和点 分别在 的两侧，其它条件不变． ①请你在图2中补全图形； ②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）判定 ，运用全等三角形的性质，即可得到线段 ， 的数量关系和位置关系； （2）①依据点 为 内部一点时，点 和点 分别在 的两侧，其它条件不变，即可补全图形；②判定 ，运用全等三角形的性质，即可得到线段 ， 的数量关系和位置关系． 【解答】解：（1） ， ； （2）①如图所示： ②（1）中结论仍然成立． 证明： 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 38．（2023秋•商丘期中）已知： 的高 所在直线与高 所在直线相交于点 ，过点 作 ，交直线 于点 ． （1）如图1，若 为锐角三角形，且 ． 求证：① ； ② ； （2）如图2，若 ，直接写出 、 、 之间满足的数量关系． 【分析】（1）①要证明 ，如图，在 中， ， ，可证 ， ； 在 中，可证得 ，又 （对顶角相等）， ；运用 ，问题可证． ②由 可证得 ； ， ；由 ， ，可证得 ；于是问题可证． （2） ， ， 、 皆为等腰直角三角形， ； 可通过证明 得到，故可得： ． 【解答】解：（1）①证明： ， ， ， ； ， 又 ， ； ， ② ， ； ， ， ， ； ． （2） 、 、 之间的数量关系为： ． 理由： ， ， 、 皆为等腰直角三角形， ， ； ， ； 又 ， ， ； ， 、 、 之间的数量关系为： ． 【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握． 39．（2023秋•越秀区期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ． （1）求证： 且 ； （2）以 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形 ，过点 作 轴于点 ，求点 的坐标； （3）若点 为 轴正半轴上一动点，以 为直角边作等腰直角三角形 ， ， 轴于点 ，当点 运动时， 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【分析】（1）延长 交 于点 ，根据 ， ， ， 可以求出 ， ，证明 就可以求出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质可以得出 ，就有 ，从而求出 的坐标； （3）作 于 ，根据等腰直角三角形的性质可以得出 ，就有 ，由矩形的性质可以得出 ，就可以得出 不发生变化． 【解答】解：（1）证明：延长 交 于点 ． ， ， ， ， ， ． ， ， ． 在 和 中． ， ， ． ． ． ， ． ， ， ， ； （2） 三角形 是等腰直角三角形， ， ， ． 轴， ， ， ． ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ． 答： 的坐标为 ； （3） 的值不变． 理由：作 于 ， ， ． 三角形 是等腰直角三角形， ， ， ． ． ， ． 在 和 中， ， ， ． 轴， ． ， 四边形 是长方形， ． ， ． 【点评】本题考查了点的坐标的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． 八．全等三角形的应用（共1小题） 40．（2023秋•乾安县期中）如图，一条河流 旁边有两个村庄 ， ， 于 ．由于有山峰阻挡，村庄 到河边 的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点 能到达 ， 两个村庄，与 ， 的连线夹角为 ，且与 ， 的距离也相等，测量 ， 的距离为 ，请求出村庄 到河边的距离． 【分析】如图，过点 作 于点 ，构造全等三角形： ，由该全等三角形的对应边相等得到： ． 【解答】解：如图，过点 作 于点 ， ， （同角的余角相等）． 在 与 中， ． ． ．即村庄 到河边的距离是150米． 【点评】考查了全等三角形的应用，一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 九．等腰三角形的性质（共2小题） 41．（2023秋•榆树市校级期中）用一条长为 细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为 的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】（1）设底边长为 EMBED Equation.DSMT4 ，则腰长为 EMBED Equation.DSMT4 ，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）题中没有指明 所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 【解答】解：（1）设底边长为 EMBED Equation.DSMT4 ， 腰长是底边的2倍， 腰长为 EMBED Equation.DSMT4 ， ，解得， ， ， 各边长为： ， ， ． （2）①当 为底时，腰长 ； ②当 为腰时，底边 ， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为 的等腰三角形，另两边长为 ， ． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 42．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，在 中， ， 为 的角平分线； （1）若 ，则 的度数为 　72　 （直接写出结果）； （2）如图1，若 为线段 上一点， ；求证： ． （3）如图2，若 为线段 上一点， ，求证： ． 【分析】（1）如图1中，设 ．则可证 ，利用三角形内角和定理，构建方程求出 即可解决问题； （2）证明 ，可得结论； （3）如图2中，延长 到 ，使得 ．证明 ，可得结论． 【解答】（1）解：如图1中，设 ． ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：72． （2）证明：如图1中， ， ， 在 和 中， ， ， ． （3）证明：如图2中，延长 到 ，使得 ． ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 一十．等腰三角形的判定（共1小题） 43．（2022秋•长春校级期中）如图，在 中， ， ， ， ， 、 是 边上的两个动点，其中点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，它们同时出发，设出发的时间为 秒． （1） 　 　（用 的代数式表示） （2）当点 在边 上运动时，出发几秒后， 是等腰三角形？ （3）当点 在边 上运动时，出发 　　秒后， 是以 或 为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）根据题意即可用 可分别表示出 ； （2）结合（1），根据题意再表示出 ，然后根据等腰三角形的性质可得到 ，可得到关于 的方程，可求得 ； （3）用 分别表示出 和 ，利用等腰三角形的性质可分 和 三种情况，分别得到关于 的方程，可求得 的值． 【解答】解：（1）由题意可知 ， ， ， ， 故答案为： ； （2）当点 在边 上运动， 为等腰三角形时，则有 ， 即 ，解得 ， 出发 秒后， 能形成等腰三角形； （3）①当 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图1所示， 则 ， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图2所示， 则 ， ， 综上所述：当 为11或12时， 是以 或 为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 一十一．等腰三角形的判定与性质（共4小题） 44．（2022秋•洮北区校级期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，若 ， ，求线段 的长． 【分析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出 ， ，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得 ． 【解答】解： 平分 ， ； 平分 ， ； ， ， ； ， ， ， ； ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 45．（2023春•清苑区期中）（1）如图①，在 中， ， 分别平分 ， ，过点 作直线平行于 ，分别交 ， 于点 ， ，求证： ； （2）如图②，若点 是 的平分线和外角 的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段 ， ， 之间有何数量关系？证明你的猜想． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，解出 和 是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论． （2）同（1），只要求出 与 是等腰三角形即可． 【解答】（1）证明： 中 、 平分 、 ， ， ． ， ， ． ， ． 根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知： ， ． ； （2） ． 证明： 分 ， ． ， ． ， ． 平分 ， ． ， ． ， ． ，即 ． 【点评】本题考查了等腰三角形性质及平行线的性质与角平分线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路． 46．（2023秋•双台子区校级期中）如图，在 中， ，点 、 、 分别在 、 、 边上，且 ， ． （1）求证： 是等腰三角形； （2）求证： ； （3）当 时，求 的度数． 【分析】（1）首先根据条件证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，进而可得到 是等腰三角形； （2）根据 ，可知 ， 即可得出结论； （3）由（2）知 ，再根据等腰三角形的性质即可得出 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， 在 和 中， ， ， ， 是等腰三角形； （2） ， ， （3） 由（2）知 ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． 47．（2023秋•广州期中）如图1，在 中， ， ， 的平分线 交边 于点 ． （1）求证： 为等腰三角形； （2）若 的平分线 交边 于点 ，如图2，求证： ； （3）若 外角的平分线 交 延长线于点 ，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论． 【分析】（1）如图1，先根据三角形内角和得： ，由角平分线及已知角可得： ，可得结论； （2）证法一：如图2，在 上截取 ，连接 ，证明 ，则 ， ，所以 ，得 ； 证法二：如图3，在 的延长线上取 ，连接 ，证明 ，则 ，得 ，可得结论； （3）正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明： ，由线段的和与差可得结论． 【解答】证明：（1）如图1，在 中， ， ， ， 平分 ， ， ， 为等腰三角形； （2）证法一：如图2，在 上截取 ，连接 ， 由（1）得： 为等腰三角形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 证法二：如图3，在 的延长线上取 ，连接 ， 由（1）得： 为等腰三角形，且 ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论： ，理由是： 如图4，在 上截取 ，连接 ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 一十二．等边三角形的性质（共3小题） 48．（2023秋•西陵区校级期中）如图1，点 、 分别是边长为 的等边△ 边 、 上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 ， （1）连接 、 交于点 ，则在 、 运动的过程中， 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△ 是直角三角形？ （3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交点为 ，则 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【分析】（1）因为点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 ，所以 ． ， ，因而运用边角边定理可知△ △ ．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得 的度数． （2）设时间为 ，则 ， ．分别就①当 时；②当 时利用直角三角形的性质定理求得 的值． （3）首先利用边角边定理证得△ △ ，再利用全等三角形的性质定理得到 ．再运用三角形角间的关系求得 的度数． 【解答】解：（1） 不变． 等边三角形中， ， 又由条件得 ， 在△ 和△ 中， ， △ △ ， ， ． （2）设时间为 ，则 ， ①当 时， ， ，得 ， ； ②当 时， ， ，得 ， ； 当第 秒或第 秒时，△ 为直角三角形． （3） 不变． 在等边三角形中， ， ， 又由条件得 ， 在△ 和△ 中， ， △ △ 又 ， 【点评】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 49．（2023秋•武江区校级期中）如图，在等边△ 中， 厘米， 厘米．如果点 以3厘米 秒的速度运动． （1）如果点 在线段 上由点 向点 运动，点 在线段 上由 点向 点运动．它们同时出发，若点 的运动速度与点 的运动速度相等． ①经过2秒后，△ 和△ 是否全等？请说明理由． ②当两点的运动时间为多少时，△ 是一个直角三角形？ （2）若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，点 从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都顺时针沿△ 三边运动，经过25秒点 与点 第一次相遇，则点 的运动速度是 　3.8或2.6　厘米 秒．（直接写出答案） 【分析】（1）①根据题意得 ，所以 ．根据“ ”证明△ △ ； ②设运动时间为 秒，分别表示 和 ．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解： ． ；Ⅱ． ； （2）点 与点 第一次相遇，有两种可能： ．点 运动速度快；Ⅱ．点 运动速度快．分别列方程求解． 【解答】解：（1）①△ △ ．理由如下： （1分） 厘米 秒，且 秒， （1分） （1分） ， △ △ ． （1分） ②设运动时间为 秒，△ 是直角三角形有两种情况： Ⅰ．当 时， ， ． ， （1分） （秒 ； （1分） Ⅱ．当 时， ， ． ， （1分）． （秒 ． （1分） 当 秒或 秒时，△ 是直角三角形； （2）分两种情况讨论： ．若点 运动速度快，则 ，解得 ； Ⅱ．若点 运动速度快，则 ，解得 ． 故答案是 3.8或2.6． （2分） 【点评】此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大． 50．（2023秋•承德期中）已知：如图， 是边长为 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点出发，分别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两点停止运动，设点 的运动时间 ，当 为何值时， 是直角三角形？ 【分析】分情况进行讨论：① ；② ．然后在直角三角形 中根据 ， 的表达式和 的度数进行求解即可． 【解答】解：根据题意得 ， ， 中， ， ， ， 中， ， ，若 是直角三角形，则 或 ， 当 时， ， 即 ， （秒 ， 当 时， ， ， （秒 ， 答：当 秒或 秒时， 是直角三角形． 【点评】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：① ；② 是解本题的关键． 一十三．等边三角形的判定与性质（共3小题） 51．（2023秋•宁江区校级期中）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ． （1）求证： 是等边三角形； （2）当 时，试判断 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得 ，结合（1）中的结论可得 为 ，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及 的度数可得 的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1） ， ， ， 是等边三角形． 解： （2） 是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3） 是等边三角形， ． ， ， ， ， ． ①当 时， ， ． ②当 时， ， ． ③当 时， ， ． 综上所述：当 或 或 时， 是等腰三角形． 【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况． 52．（2023秋•二道区校级期中）如图， 是等边三角形． （1）如图①， ，分别交 、 于点 、 ．求证： 是等边三角形； （2）如图②， 仍是等边三角形，点 在 的延长线上，连接 ，判断 的度数及线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可； （2）证明 ，得到 即可证明． 【解答】（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解： ． ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 53．（2023秋•朔州期中）如图，已知 和 均为等边三角形，且点 、 、 在同一条直线上，连接 、 ，交 和 分别于 、 点，连接 ． （1）请说出 的理由； （2）试说出 的理由； （3）试猜想： 是什么特殊的三角形，并加以说明． 【分析】（1）证明 即可得出答案； （2）根据 ， ，由 ，点 、 、 在同一条直线上，得出 根据 即可证明； （3）由 ， ，根据 即可证明； 【解答】解：（1） 和 均为等边三角形 ， ； （2） ，点 、 、 在同一条直线上 又 ； （3） 是等边三角形，理由如下： （全等三角形的对应边相等） 又 是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）； 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是全等三角形的判定与性质的应用． 一十四．含30度角的直角三角形（共1小题） 54．（2023秋•船营区校级期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 和 于点 ， ． （1）求证： ； （2）连接 ，请判断 的形状，并说明理由． 【分析】（1）连接 ，由垂直平分线的性质可求得 ，在 中，由直角三角形的性质可证得 ，则可证得结论； （2）由垂直平分线的性质可求得 ，且 ，可证明 为等边三角形． 【解答】（1）证明： 连接 ， 是 的垂直平分线， ， ， ， 在 中， ， ； （2）解： 是等边三角形， 理由如下：连接 ． 垂直平分 ， 为 中点， ， ， ， 是等边三角形． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 一十五．多边形内角与外角（共3小题） 55．（2023秋•前郭县期中）四边形 中， 的角平分线与边 交于点 ， 的角平分线交直线 于点 ． （1）若点 在四边形 的内部， ①如图1，若 ， ， ，则 　125　 ； ②如图2，试探索 、 、 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点 在四边形 的外部，请你直接写出 、 、 之间的数量关系． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求 ， ，再根据三角形外角的性质可求 的度数； ②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得 和 、 的关系，再根据四边形内角和等于 可求 、 、 之间的数量关系； （2）根据四边形和三角形的内角和得到 ， ，根据角平分线的定义得到 ， ，于是得到结论． 【解答】解：（1）① ， ， ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， 故答案为：125； ② ， 理由： ， 、 分别平分 、 ， ， ， ； （2） ， 理由： ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于 的知识点． 56．（2023秋•汉阴县期中）如图，小东在操场的中心位置，从点 出发，每走 向左转 ， （1）小东能否走回点 处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． （2）小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【分析】（1）小东能走回点 处，小东一共走了： （米 ； （2）利用外角和为 ，计算出多边形的边数即可；利用内角和公式直接计算即可． 【解答】解：（1） 从 点出发，每走 向左转 ， ， 小东一共走了： （米 ； （2）走过的路径是一个边长为6的正六边形； 正六边形的内角和为： ． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，解题的关键是了解正六边形的内角和和外角和定理，难度不大． 57．（2023秋•澄海区校级期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中 的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出 的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的 的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得 的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于 可得 的度数； （3）根据图中可找出规律 ，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【解答】解：（1） ， ， ； （2） ， ， ； （3）根据图中可得出规律 ，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了 度， 则 ． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解． 一十六．作图-轴对称变换（共2小题） 58．（2023秋•临江市期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 、 、 三点在格点上． （1）作出 关于 轴对称的△ ，并写出点 的坐标； （2）作出 关于 对称的△ ，并写出点 的坐标． 【分析】（1）根据关于 轴对称的点的坐标特点画出△ ，并写出点 的坐标即可； （2）根据关于 轴对称的点的坐标特点画出△ ，并写出点 的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，点 的坐标 ； （2）如图2所示，点 的坐标 ． 【点评】本题考查的是作图 轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 59．（2023秋•东城区校级期中）已知 ，点 为边 上一个定点，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ． （1）如图1，若点 为线段 的中点． ①直接写出 的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段 与 的数量关系； （2）如图2，若线段 与 交于点 ． ①设 ，求 的大小（用含 的式子表示）； ②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）①证明 ，可得结论． ②图形如图所示：结论： ．证明 ，可得结论． （2）①如图2中，连接 ， ．证明 ， ， ， 四点共圆，推出 ，由 ，推出 ，推出 ，推出 ，可得结论． ②如图 中，结论： ．连接 ，在 上取一点 ，使得 ．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）① ， 关于 对称， ， ， 是等边三角形， ， 点 为线段 的中点， ， ， ． ②图形如图所示：结论： ． 理由： ， ， 关于 对称， ， ， ， ， ． （2）①如图，连接 ， ． ， 关于 对称， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， ， ． ②如图，结论： ． 理由：连接 ，在 上取一点 ，使得 ． ， ， ， ， 四点共圆， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 关于 对称， ， ． ． 【点评】本题考查的是作图 轴对称变换，涉及到等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•滨海新区校级期中）如图， ，点 、 分别是射线 、射线 上的动点，连接 ， 的角平分线与 的角平分线交于点 ． （1）当 时，求证： ； （2）在点 、 运动的过程中， 的大小是否发生改变？若不改变，请求出 的度数；若改变请说明理由； （3）连接 ， 是线段 上的动点， 是线段 上的动点，当 ， 时，求 的最小值． 【分析】（1）首先证明 是等边三角形，再证明 ，可得结论． （2）如图2中， 的大小不变， ．求出 的大小，可得结论． （3）如图3中，过点 作 于 ，过点 作 于 ， 于 ， 于 ．首先证明 平分 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则有 ，求出 ，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ， ， 是等边三角形， ， ， 平分 ， ， ， ． （2）解：如图2中， 的大小不变， ．理由如下： ， ， ， ， 分别平分 ， ， ， ． （3）解：如图3中，过点 作 于 ，过点 作 于 ， 于 ， 于 ． 平分 ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， 平分 ， 作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为4． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1234568$$