期中真题必刷常考60题（17个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

期中真题必刷常考60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 　　． 二．三角形的稳定性（共1小题） 2．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 　　． 三．三角形三边关系（共5小题） 3．（2023秋•船营区校级期中）如图，为估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是　　 A．4米 B．12米 C．16米 D．22米 4．（2023秋•前郭县期中）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是　　 A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 5．（2023秋•乾安县期中）若一个三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是　　 A．2 B．4 C．7 D．10 6．（2023秋•长岭县期中）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是　　 A．1 B．2 C．3 D．8 7．（2023秋•船营区校级期中）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为　　 A．9 B．4 C．5 D．13 四．三角形内角和定理（共6小题） 8．（2023秋•伊通县期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•临江市期中）如图，已知，的外角和的平分线交于点，则　　． 10．（2023秋•长岭县期中）如图，在中，和的平分线交于点，若，则　　． 11．（2023秋•长岭县期中）如图，中，，平分，，，求的度数． 12．（2023秋•乾安县期中）（1）如图1，平分，，，． ①　　，　　； ②如图2．若把“”变成“点在的延长线上，”，其它条件不变，求的度数； （2）如图3，平分，平分，，求的度数． 13．（2023秋•乾安县期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 五．全等三角形的性质（共1小题） 14．（2023秋•九台区期中）如图，已知，且，，则　　 六．全等三角形的判定（共7小题） 15．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•二道区校级期中）如图，于点，于点，．，点从点出发，向终点运动，每分钟走，点从点出发．沿射线运动，每分钟走．、两点同时出发，当点到达点时，、同时停止运动．设运动时间是分钟，当　　时，与全等． 17．（2023秋•前郭县期中）如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 　　． 18．（2023秋•铁西区期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则可以补充一个条件：　　． 19．（2023秋•船营区校级期中）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是 　　． 20．（2023秋•伊通县期中）如图，已知，，求证：． 21．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 七．全等三角形的判定与性质（共13小题） 22．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，，，，则　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•二道区校级期中）如图所示，，，，、、在同一直线上，，，求的度数　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，按如下步骤操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点；④作射线，若，则为　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•通榆县期中）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 　　． 26．（2023秋•伊通县期中）如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，的长是偶数，则长为 　　． 27．（2023秋•宁江区校级期中）如图，，，求证：． 28．（2023秋•宁江区期中）如图，在和中，，，，点在上． （1）求证：． （2）若，则　　． 29．（2023秋•前郭县期中）如图，五边形的内角都相等，． （1）　　度； （2）若，，求证：． 30．（2023秋•铁西区期中）如图，点、在上，，，．求证：． 31．（2023秋•吉林期中）如图，在和中，，，，、相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 32．（2023秋•二道区校级期中）如图，点在上，、交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 33．（2023秋•船营区校级期中）在和中，，，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若平分，，点在线段上，则　　度． 34．（2023秋•伊通县期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　． 八．全等三角形的应用（共4小题） 35．（2023秋•双辽市期中）小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块，想去玻璃店配一个完整的玻璃需要带　　 A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 36．（2023秋•船营区校级期中）老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中，，将点放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线．这里判定和是全等三角形的依据是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•宁江区期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽　　． 38．（2023秋•前郭县期中）如图，为了测量、两点之间的距离，在地面上找到一点，连接、，使，然后在的延长线上确定点，使，那么只要测量出的长度就得到、两点之间的距离，其中的依据是 　　． 九．角平分线的性质（共3小题） 39．（2023秋•船营区校级期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为 　　． 40．（2023秋•二道区期中）如图，中，是的平分线，于点，，，，那么　　． 41．（2023秋•朝阳区校级期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为，，．求证：平分． 一十．线段垂直平分线的性质（共2小题） 42．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 43．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，，，是边的垂直平分线，垂足为，交于，是边的垂直平分线，垂足为，交于．连接、． （1）求的度数； （2）请直接写出的周长． 一十一．等腰三角形的性质（共3小题） 44．（2023秋•宁江区期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为　　 A． B． C． D． 45．（2023秋•二道区校级期中）中，，的平分线与边所夹的锐角为，则　　． 46．（2023秋•榆树市校级期中）已知等腰的两边长分别为和7，则等腰的周长是 　　． 一十二．等腰三角形的判定（共1小题） 47．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1）　　（用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 一十三．多边形内角与外角（共6小题） 48．（2023秋•前郭县期中）一个九边形的外角和是　　度． 49．（2023秋•前郭县期中）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则的度数为 　　． 50．（2023秋•通榆县期中）正八边形的每个内角等于 　　度． 51．（2023秋•双辽市期中）一个多边形的内角和与外角和相加是，求这个多边形的边数． 52．（2023秋•吉林期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数． 53．（2023秋•前郭县期中）四边形中，的角平分线与边交于点，的角平分线交直线于点． （1）若点在四边形的内部， ①如图1，若，，，则　　； ②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点在四边形的外部，请你直接写出、、之间的数量关系． 一十四．作图—基本作图（共4小题） 54．（2023秋•南关区校级期中）如图，在中，以为圆心，为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，，连结交于点，已知的周长为13，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 55．（2023秋•双阳区校级期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．21 B．80 C．40 D．45 56．（2023秋•二道区期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 57．（2023秋•铁西区期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是 　　． 一十五．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 58．（2023秋•宁江区期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　 　． 一十六．作图-轴对称变换（共1小题） 59．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形△，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是 　　． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在等边△中，点是的中点，是上的动点，是的中点，则的最小值为 　　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷常考60题（17个考点专练） 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 　5　． 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【解答】解：是的中线， ． 的周长为23，的周长为18， ， 即． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线、高，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键． 二．三角形的稳定性（共1小题） 2．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 　稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性， 故答案为：稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 三．三角形三边关系（共5小题） 3．（2023秋•船营区校级期中）如图，为估计池塘岸边、的距离，小杰在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离可能是　　 A．4米 B．12米 C．16米 D．22米 【分析】根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【解答】解：连接， 米，米， 米米米米，即4米米， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 4．（2023秋•前郭县期中）下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是　　 A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【解答】解：、， ，1，2不能作为三角形的三边长，符合题意； 、， ，3，4能作为三角形的三边长，不符合题意； 、， ，4，5能作为三角形的三边长，不符合题意； 、， ，8，10能作为三角形的三边长，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 5．（2023秋•乾安县期中）若一个三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是　　 A．2 B．4 C．7 D．10 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为，则，即，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型． 6．（2023秋•长岭县期中）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是　　 A．1 B．2 C．3 D．8 【分析】根据三角形三边关系定理得出，求出即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：， 即， 即符合的只有3， 故选：． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 7．（2023秋•船营区校级期中）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为　　 A．9 B．4 C．5 D．13 【分析】设第三边为，根据三角形三边关系定理得出，再逐个判断即可． 【解答】解：设第三边为， 则， ， 符合的数只有9， 故选：． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 四．三角形内角和定理（共6小题） 8．（2023秋•伊通县期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】此题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为． 9．（2023秋•临江市期中）如图，已知，的外角和的平分线交于点，则　　． 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得；最后在中利用三角形内角和定理可以求得的度数． 【解答】解：三角形的外角和的平分线交于点， ，， ， ， （已知），（三角形内角和定理）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是”． 10．（2023秋•长岭县期中）如图，在中，和的平分线交于点，若，则　　． 【分析】直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【解答】解：平分，平分， ，， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，正确得出是解题关键． 11．（2023秋•长岭县期中）如图，中，，平分，，，求的度数． 【分析】由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，从而可得，结合，即可求的度数． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为． 12．（2023秋•乾安县期中）（1）如图1，平分，，，． ①　80　，　　； ②如图2．若把“”变成“点在的延长线上，”，其它条件不变，求的度数； （2）如图3，平分，平分，，求的度数． 【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出，再求出，即可解决问题． ②想办法求出即可解决问题． （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可． 【解答】解：（1）①，， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为80，20． ②， ， ， ， ． （3）平分， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．（2023秋•乾安县期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）证明即可解决问题． 【解答】解：（1）， ． （2）△是翻折变换而成， ，，， ， ， ． 解法二：连接． ，，， ， 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 五．全等三角形的性质（共1小题） 14．（2023秋•九台区期中）如图，已知，且，，则　7　 【分析】直接利用全等三角形的对应边相等，进而得出，即可得出，进而得出答案． 【解答】解：， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键． 六．全等三角形的判定（共7小题） 15．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定解决此题． 【解答】解：．由，，，根据可得，那么不符合题意． ．由，，，根据全等三角形的判定无法推断出，那么符合题意． ．由，，，根据可推断出，那么不符合题意． ．由，得，即．由，，，根据可推断出，那么不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 16．（2023秋•二道区校级期中）如图，于点，于点，．，点从点出发，向终点运动，每分钟走，点从点出发．沿射线运动，每分钟走．、两点同时出发，当点到达点时，、同时停止运动．设运动时间是分钟，当　4　时，与全等． 【分析】设它们运动分钟后，与全等，则，，根据全等三角形的判定方法当，时，，当，时，，然后分别列出关于的方程，然后解方程求出符合条件的的值即可． 【解答】解：设它们运动分钟后，与全等， 根据题意得，， ， 当，时，， 即，， 解得； 当，时，， 即，，不能同时满足两方程，不符合题意舍去， 它们运动4分钟后，与全等． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是设出时间，表示出、，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等． 17．（2023秋•前郭县期中）如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 　　． 【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等可求得答案． 【解答】解：，， 可补充， 在和中， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 18．（2023秋•铁西区期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则可以补充一个条件：　　． 【分析】根据平行线的性质，由，得，从而解决此题． 【解答】解：补充条件：． ， ． 在和中， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、平行线的性质是解决本题的关键． 19．（2023秋•船营区校级期中）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是 　（本题答案不唯一）　． 【分析】已知，图形条件，可以从角，边两方面添加条件． 【解答】解：添加的条件：或，此时； 添加的条件：或，此时； 故答案为：（本题答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法． 20．（2023秋•伊通县期中）如图，已知，，求证：． 【分析】根据证明三角形全等即可． 【解答】证明：在和中， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 21．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 　2或　厘米秒时，能够使与全等． 【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度． 【解答】解：设点运动的时间为秒，则，， ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米秒）； 故答案为：2或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 七．全等三角形的判定与性质（共13小题） 22．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再利用“”证明△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【解答】解：如图： ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 23．（2023秋•二道区校级期中）如图所示，，，，、、在同一直线上，，，求的度数　　 A． B． C． D． 【分析】由“”可证，可得，由三角形外角性质可求解． 【解答】解：， ，且，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 24．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，按如下步骤操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点；④作射线，若，则为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解． 【解答】解：如图：连接，， 在中，，， ， 由作法可知：，， 在和中， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图． 25．（2023秋•通榆县期中）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为　45　． 【分析】首先证明可得，然后再根据的周长为，可得制成整个金属框架所需这种材料的长度． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为． 故答案为45． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握证明三角形全等的方法，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 26．（2023秋•伊通县期中）如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，的长是偶数，则长为 　2　． 【分析】（1）根据是边的中点，，得出和，，根据可以求证； （2）由，得出，根据三角形边长关系得出，可以推出，进而得出结论． 【解答】（1）证明：是边的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知， ， 在中， ， ， ， 又， ， 的长是偶数， ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的边长关系，平行线的性质，根据三角形边长关系得到是解答本题的关键． 27．（2023秋•宁江区校级期中）如图，，，求证：． 【分析】连接，运用已知条件得出；接下来根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】证明：连接． 在和， ， ， ． 【点评】本题主要是考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． ． 28．（2023秋•宁江区期中）如图，在和中，，，，点在上． （1）求证：． （2）若，则　70　． 【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据可得两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论． 【解答】（1）证明：， ， 即． 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 故答案为：70． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 29．（2023秋•前郭县期中）如图，五边形的内角都相等，． （1）　108　度； （2）若，，求证：． 【分析】（1）先根据多边形内角和公式求出该图形的内角和，再利用内角和求即可； （2）连接、，然后证明可得，再根据等腰三角形的性质可得． 【解答】（1）解：多边形的内角和公式为：， 五边形的内角和为：， 又五边形的内角都相等， ， 故答案为：108； （2）证明：连接、， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 30．（2023秋•铁西区期中）如图，点、在上，，，．求证：． 【分析】根据等式的性质可得，然后再判定，再根据全等三角形的性质可得． 【解答】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 31．（2023秋•吉林期中）如图，在和中，，，，、相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）由证明，即可得结论； （2）由平行线的性质得，再由（1）可知，，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 由（1）可知，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 32．（2023秋•二道区校级期中）如图，点在上，、交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理证得，则，此题得证； （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到；由等腰的性质和三角形内角和定理求得；最后根据邻补角的定义解答． 【解答】（1）证明：， ． 在与中， ， ． ； （2）解：由（1）知，，则． ，， ． ． ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 33．（2023秋•船营区校级期中）在和中，，，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若平分，，点在线段上，则　30　度． 【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明，则； （2）由，平分得，，则，，所以． 【解答】（1）证明：如图①，在和中， ， ， ． （2）解：如图②，设与交于点， ，平分， ，， ，， ， 由（1）得， ， 故答案为：30． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 34．（2023秋•伊通县期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是　①②③　． 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，再根据全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【解答】解：， ，，，， ，故①正确； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确； ，故②正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：，，，，以及，是解题的关键． 八．全等三角形的应用（共4小题） 35．（2023秋•双辽市期中）小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块，想去玻璃店配一个完整的玻璃需要带　　 A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的应用，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、． 36．（2023秋•船营区校级期中）老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中，，将点放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线．这里判定和是全等三角形的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【解答】解：在和中， ， ， ， 就是的平分线． 故选：． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 37．（2023秋•宁江区期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽　20　． 【分析】根据三角形全等的判定可知△，从而得到． 【解答】解：如图， 点分别是、的中点， ，， 在和△中， ， △． ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 38．（2023秋•前郭县期中）如图，为了测量、两点之间的距离，在地面上找到一点，连接、，使，然后在的延长线上确定点，使，那么只要测量出的长度就得到、两点之间的距离，其中的依据是 　　． 【分析】根据即可证明，由此即可解决问题． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 九．角平分线的性质（共3小题） 39．（2023秋•船营区校级期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为 　7.5　． 【分析】如图，过点作于点．利用角平分的性质得到，然后由三角形的面积公式来求的面积． 【解答】解：如图，过点作于点． ， ． ． 又， ． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 40．（2023秋•二道区期中）如图，中，是的平分线，于点，，，，那么　2.5　． 【分析】过作于，由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积，得到，代入有关数据即可求出． 【解答】解：过作于， 是的平分线，于点， ， 的面积的面积的面积， ， ，， ， ． 故答案为：2.5． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，由三角形面积公式即可求解． 41．（2023秋•朝阳区校级期中）如图所示，是的中线，，，垂足分别为，，．求证：平分． 【分析】先证，所以根据全等三角形的对应边相等推知．再结合已知条件“，”可以证得结论． 【解答】证明：如图，是的中线， ． 又，， ， 在与中，， ， ． 平分． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 一十．线段垂直平分线的性质（共2小题） 42．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【解答】（1）证明：为的中点， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． 43．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，，，是边的垂直平分线，垂足为，交于，是边的垂直平分线，垂足为，交于．连接、． （1）求的度数； （2）请直接写出的周长． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质“等边对等角”解答即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到，，利用三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：（1）是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ； （2）是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长． 【点评】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 一十一．等腰三角形的性质（共3小题） 44．（2023秋•宁江区期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可． 【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ， ， ， 故选：． 【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 45．（2023秋•二道区校级期中）中，，的平分线与边所夹的锐角为，则　或　． 【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得． 【解答】解：设的角平分线交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， ； 当时，如图2， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键． 46．（2023秋•榆树市校级期中）已知等腰的两边长分别为和7，则等腰的周长是 　　． 【分析】分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为7时，当等腰的腰长为7，底边长为时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰的腰长为，底边长为7时， ， 不能组成三角形； 当等腰的腰长为7，底边长为时， 等腰的周长； 综上所述：等腰的周长是， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键． 一十二．等腰三角形的判定（共1小题） 47．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1）　　（用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【分析】（1）根据题意即可用可表示出，即可求得； （2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， （2）①当点在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， 出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ，， 把的周长平分， ， 解得：，不符合题意舍去， 点在边上运动时．不能把的周长平分． （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． 一十三．多边形内角与外角（共6小题） 48．（2023秋•前郭县期中）一个九边形的外角和是　360　度． 【分析】根据多边形的外角和等于解答． 【解答】解：一个九边形的外角和是． 故答案为：360． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是，是基础题，需要熟记． 49．（2023秋•前郭县期中）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则的度数为 　　． 【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， ， ， 故答案为：24． 【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键． 50．（2023秋•通榆县期中）正八边形的每个内角等于 　135　度． 【分析】根据边形的外角和为得到正八边形的每个外角的度数，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角． 【解答】解：正八边形的外角和为， 正八边形的每个外角的度数， 正八边形的每个内角． 故答案为135． 【点评】本题考查了多边形内角与外角：边形的内角和为；边形的外角和为． 51．（2023秋•双辽市期中）一个多边形的内角和与外角和相加是，求这个多边形的边数． 【分析】本题可根据这个多边形的内角和与外角和相加是，列出方程，解出即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为， 则依题意可得， 解得， 故这个多边形是十边形． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题． 52．（2023秋•吉林期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数． 【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是求解即可． 【解答】解：设这个多边形的一个内角为，则外角为． 根据题意得：，． 解得：， ， ． 答：这个多边形的边数为5． 【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键． 53．（2023秋•前郭县期中）四边形中，的角平分线与边交于点，的角平分线交直线于点． （1）若点在四边形的内部， ①如图1，若，，，则　125　； ②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点在四边形的外部，请你直接写出、、之间的数量关系． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求，，再根据三角形外角的性质可求的度数； ②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得和、的关系，再根据四边形内角和等于可求、、之间的数量关系； （2）根据四边形和三角形的内角和得到，，根据角平分线的定义得到，，于是得到结论． 【解答】解：（1）①，，， ，， 、分别平分、， ，， 故答案为：125； ②， 理由：， 、分别平分、， ， ， ； （2）， 理由：，， 、分别平分、， ，， ， ， ． 【点评】此题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于的知识点． 一十四．作图—基本作图（共4小题） 54．（2023秋•南关区校级期中）如图，在中，以为圆心，为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，，连结交于点，已知的周长为13，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由作图知，直线垂直平分， ， 的周长为13， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 55．（2023秋•双阳区校级期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．21 B．80 C．40 D．45 【分析】如图，过点作于，根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点作于． 由作法可知，平分， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 56．（2023秋•二道区期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断． 【解答】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 又，， ， ，，故正确； ，， 垂直平分，则，， 故，选项正确， 没有条件能得出， 故选：． 【点评】本题考查了基本作图作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 57．（2023秋•铁西区期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是 　　． 【分析】由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键． 一十五．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题） 58．（2023秋•宁江区期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　　． 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案． 【解答】解：点， 关于轴的对称点坐标为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 一十六．作图-轴对称变换（共1小题） 59．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形△，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是 　　． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【分析】（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据关于轴对称点的坐标特点求解即可； （3）连接，与轴的交点即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，点的坐标为； （2）点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：； （3）如图所示，点即为所求． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 一十七．轴对称-最短路线问题（共1小题） 60．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在等边△中，点是的中点，是上的动点，是的中点，则的最小值为 　10　． 【分析】根据等边三角形的对称性计算即可． 【解答】解：△是等边三角形，点是的中点， 直线为△的一条对称轴，， 取的中点，连接，， 是的中点，点是的中点， ，，，， ，， 直线为线段的垂直平分线， 直线为线段的对称轴， 连接，交于点， 故当点与点重合时，取得最小值，此时， ， ， ， ， 故的最小值为， 故答案为：10． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$