专题03 轴对称（14种经典基础练+3种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题03 轴对称（14种经典基础练+3种优选提升练） 线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2023秋•二道区校级期中）如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点．若，则　　． 3．（2023秋•二道区校级期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求　　． 4．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点．求的度数． 等腰三角形的性质 5．（2023秋•船营区校级期中）等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边是　　． A．4 B．9 C．4或9 D．不能确定 6．（2023秋•双阳区校级期中）如图，在中，，点是边的中点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•桦甸市校级期中）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是　　 A． B． C． D．或 8．（2023秋•双辽市期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是　　 A． B． C．或 D．或 等腰三角形的判定 9．（2023秋•前郭县期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，城市规划部门想新修一条道路，要求使，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•船营区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有 　　个． 11．（2023秋•前郭县期中）如图，在△中，平分，交的延长线于点，求证：△是等腰三角形． 等腰三角形的判定与性质 12．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知平分，，若，则等于　　 A．3 B．4 C．1.5 D．2 13．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，若，，，则图中有 　　个等腰三角形． 14．（2023秋•双辽市期中）如图，中，、分别平分、，经过点，且，，，则的周长是 　　． 15．（2023秋•二道区校级期中）如图，在△中，的平分线交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 16．（2023秋•榆树市校级期中）如图①，在中，，，和的平分线交于点，过点作，分别交边、于、两点． （1）求的周长． （2）如图②，在中，，，和的平分线交于点，过点作，分别交边、于、两点．若，则的周长为 　　． 等边三角形的性质 17．（2023秋•前郭县期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•乾安县期中）如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 　 　． 19．（2023秋•二道区校级期中）在△中，，，则的度数为 　　度． 20．（2023秋•船营区校级期中）如图，在等边三角形中，是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点，． （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）求的度数． 等边三角形的判定 21．（2023秋•宁江区期中）如图，已知，是射线上的一个动点，．当 　　 时，为等边三角形． 22．（2023秋•船营区校级期中）在中，，当　　时，是等边三角形． 23．（2023秋•宁江区期中）如图，中，，延长至点，过点作，，连接． 求证：是等边三角形． 等边三角形的判定与性质 24．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，，，若，则　　． 25．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 26．（2023秋•船营区校级期中）如图，两个全等的等边三角形△，△的一边重叠地放在直线上，，交于点， （1）判断△的形状，并说明理由； （2）写出图中所有的与线段相等的线段； （3）证明：． 含30度角的直角三角形 27．（2023秋•吉林期中）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是　　 A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 28．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，，为上一点，，则的长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 29．（2023秋•榆树市校级期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 作图—基本作图 30．（2023秋•朝阳区校级期中）下列选项中的尺规作图，能推出的是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•二道区校级期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 　 　． 32．（2023秋•船营区校级期中）尺规作图：经过已知直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线和外一点． 求作：的垂线，使它经过点． 作法：（1）任意取一点，使点和点在的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线，连接、、、． 根据以上作法证明直线就是所求作的垂线． 轴对称的性质 33．（2023秋•前郭县期中）如图，直线是多边形的对称轴，若，则等于　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则　　． 35．（2023秋•宁江区期中）如图，点与点关于对称，，则的度数为 　 　． 36．（2023秋•宁江区期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点 　　，的对应边是 　　； （2）若，，求的度数． 轴对称图形 37．（2023秋•宁江区期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•桦甸市校级期中）第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•永吉县期中）下面四个图形中，是轴对称图形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 关于x轴、y轴对称的点的坐标 40．（2023秋•永吉县期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•桦甸市校级期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 　 　． 42．（2023秋•船营区校级期中）点关于轴的对称点的坐标是 　　． 43．（2023秋•龙潭区校级期中）已知点，关于轴对称，则　　． 作图-轴对称变换 44．（2023秋•铁西区期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． （1）如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． （2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 45．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点为网格线的交点）△，是过网格线的一条直线． （1）作△关于直线对称的图形△； （2）在边上找一点，连接，使得． 46．（2023秋•船营区校级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴． 轴对称-最短路线问题 47．（2023秋•船营区校级期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点使最短，则点应选在　　 A．点 B．点 C．点 D．点 48．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接、，则的最小值为 　　． 49．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点在直线上，连接，，则周长的最小值为 　　． 50．（2023秋•宁江区期中）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． （1）当时． ①若，则点到的距离为 　　； ②若，，求的周长； （2）若，且的面积为40，则的周长的最小值为 　　． 分类讨论思想的应用 1.（23-24八年级上·河南商丘·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    3.（23-24八年级上·广东珠海·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和18两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 4.（21-22八年级上·广东珠海·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． (1)如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ； (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数； (3)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程． 构造新的等腰三角形 5．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6.（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    7．（23-24八年级上·江西上饶·期中）在学习完第十二章后，老师让同学们独立完成课本56页第12题：如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题； (2)第二天，老师又给这道题，添加了一个已知条件，即在中，是它的角平分线，且，如图2，请同学们去探究线段、、三者的数量关系，爱动脑的小李同学，发现：，请你帮他完成证明过程． 8.（22-23八年级上·福建莆田·期中）已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 最短路径问题 9．（2023秋•朝阳区期中）如图，在中，，是边的中点，点是边上一点，过点作的平行线，交延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是　　 A．8 B．7 C．6 D．5 10．（2021秋•船营区校级期中）如图，等边的边长为1，过点的直线，且与△关于直线对称，为线段上的一个动点，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2022秋•乾安县期中）如图，在△中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 　　度． （2）若，△的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出△周长的最小值． 12．（2023秋•海兴县期中）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点关于射线对称点为，连接，，． （1）证明：； （2）若为直线上一个动点，求周长最小时，所在的位置，并求出周长的最小值． 13．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点． （1）若，求的度数； （2）若，，，且时，求的长； （3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值． 14．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称（14种经典基础练+3种优选提升练） 线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：是的垂直平分线，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．（2023秋•二道区校级期中）如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点．若，则　36　． 【分析】连接，并延长交于点，设于交于，根据线段垂直平分线性质得，，则，，再根据三角形外角性质得，，则，由此得，然后根据，即可得出的度数． 【解答】解：连接，并延长交于点，设于交于，如图所示： 直线、分别垂直平分线段、交于点， ，，，， ，， 是△的一个外角，是△的一个外角， ，， ， 即， ， ， ，， ，， ， 故答案为：36． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，准确识图，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质是解决问题的关键， 3．（2023秋•二道区校级期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求　3　． 【分析】由题意知，、分别是边、的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，，，又，代入即可得出． 【解答】解：、分别是边、的垂直平分线，，，且的周长为16， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等是解题的关键． 4．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点．求的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线得出，求出，相减即可求出答案． 【解答】解：，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 等腰三角形的性质 5．（2023秋•船营区校级期中）等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边是　　． A．4 B．9 C．4或9 D．不能确定 【分析】分为两种情况：①当腰为时，三边为，，，②当腰为时，三边为，，，再根据三角形三边关系定理确定答案即可． 【解答】解：①当腰为时，三边为，，， ， 不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去； ②当腰为时，三边为，，， 此时符合三角形的三边关系定理， 所以三角形的第三边为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，能够进行分类讨论是解决问题的关键． 6．（2023秋•双阳区校级期中）如图，在中，，点是边的中点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【解答】解：，， ， 是边的中点， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键． 7．（2023秋•桦甸市校级期中）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是　　 A． B． C． D．或 【分析】当已知等腰三角形的两边不确定底和腰时，要分情况讨论，避免出现错误． 【解答】解：①当为腰时，则三角形三边长分别为，，， ， 不能构成三角形，舍去； ②当时，三角形三边长分别为，，， 三角形周长为， 故选：． 【点评】此题考查等腰三角形两边相等的性质，三角形三边关系，关键是分情况讨论，避免出现错误． 8．（2023秋•双辽市期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【解答】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是，底角为； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 等腰三角形的底角为或． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 等腰三角形的判定 9．（2023秋•前郭县期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，城市规划部门想新修一条道路，要求使，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键． 10．（2023秋•船营区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有 　4　个． 【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案． 【解答】解：观察图形可知，若以点为圆心，以为半径画弧，与轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个； 若以点为圆心，以为半径画弧，与轴有2个交点；这两个交点中有一个是与重合的，应舍掉，故只有1个； 线段的垂直平分线与轴有1个交点； 符合条件的点有：（个， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案． 11．（2023秋•前郭县期中）如图，在△中，平分，交的延长线于点，求证：△是等腰三角形． 【分析】根据平行线的性质得到，；然后结合角平分线的性质和等量代换推知，故△是等腰三角形． 【解答】证明：是△中的平分线， ， 又， ，， ， ， △是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 等腰三角形的判定与性质 12．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知平分，，若，则等于　　 A．3 B．4 C．1.5 D．2 【分析】平分，，，，，． 【解答】解：平分， ， 又， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是对性质的熟练掌握． 13．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，若，，，则图中有 　3　个等腰三角形． 【分析】先根据三角形的内角和定理分别求出，，，然后根据得△为等腰三角形，根据得△为等腰三角形，根据得△为等腰三角形，综上所述即可得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， △为等腰三角形， ， △为等腰三角形， ， △为等腰三角形， 综上所述：图中共有3个等腰三角形． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角形内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键． 14．（2023秋•双辽市期中）如图，中，、分别平分、，经过点，且，，，则的周长是 　10　． 【分析】根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长． 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（2023秋•二道区校级期中）如图，在△中，的平分线交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，再根据等腰三角形的判定可得出结论； （2）先根据三角形内角和定理得，再由平分，即可得出的度数． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：在△中，， ， 平分， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 16．（2023秋•榆树市校级期中）如图①，在中，，，和的平分线交于点，过点作，分别交边、于、两点． （1）求的周长． （2）如图②，在中，，，和的平分线交于点，过点作，分别交边、于、两点．若，则的周长为 　3　． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，，由等腰三角形的判定，可得，，则的周长转化为； （2）由（1）知，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而得到，则的周长转化为． 【解答】解：（1）平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， 的周长 ； （2），， ， ， 由（1）知， ， ， ， 的周长． 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，以及等腰三角形的判定，解决问题的关键：（1）能够根据把的周长转化为；（2）能够根据把的周长转化． 等边三角形的性质 17．（2023秋•前郭县期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线，可得，根据等边三角形的性质可得，根据求解即可． 【解答】解：直线， ， 在等边中，， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 18．（2023秋•乾安县期中）如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 　　． 【分析】根据等边三角形性质得，由此可得点的坐标． 【解答】解：△为等边三角形，点， ， 点在轴上， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的性质，点的坐标是解决问题的关键． 19．（2023秋•二道区校级期中）在△中，，，则的度数为 　60　度． 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解． 【解答】解：， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 20．（2023秋•船营区校级期中）如图，在等边三角形中，是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点，． （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）求的度数． 【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质可得，由于，求得的度数，进而求出的度数； （Ⅱ）即与之差，可用减去得到． 【解答】解：（Ⅰ）三角形为等边三角形， ， ， ， ， ； （Ⅱ），， ， ， 又 ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形内角和求角度是解题的关键． 等边三角形的判定 21．（2023秋•宁江区期中）如图，已知，是射线上的一个动点，．当　5　时，为等边三角形． 【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答． 【解答】解：， 当时，为等边三角形． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 22．（2023秋•船营区校级期中）在中，，当　1　时，是等边三角形． 【分析】利用三条边都相等的三角形是等边三角形进行求解． 【解答】解：当时，为等边三角形． 故答案为：1． 【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． 23．（2023秋•宁江区期中）如图，中，，延长至点，过点作，，连接． 求证：是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质，由，得．根据等角对等边，由，得，从而解决此题． 【解答】证明：， ． ， ． 是等腰三角形． 又， 是等边三角形． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 等边三角形的判定与性质 24．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，，，若，则　5　． 【分析】首先证明为线段的垂直平分线，再证明△为等边三角形，即可获得答案． 【解答】解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点也在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ， ，， △为等边三角形， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的判定，证明为线段的垂直平分线是解题的关键． 25．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证： （1）是等边三角形； （2）点在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证． 【解答】（1）证明：在中，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是的垂直平分线， ，， ，则， ， 平分， ，， ， 是等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（2023秋•船营区校级期中）如图，两个全等的等边三角形△，△的一边重叠地放在直线上，，交于点， （1）判断△的形状，并说明理由； （2）写出图中所有的与线段相等的线段； （3）证明：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质推出，求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据等边三角形的性质推出推出，，相减即可求出答案； （3）根据等边三角形的性质得出，根据证△△，即可推出答案 【解答】（1）解：△是等边三角形， 理由是：△、△是全等的等边三角形， ， ， △是等边三角形． （2）解：， 理由是：等边△、△、△， ，，， ． （3）证明：等边△，△， ，，， 在△和△中 ， △△， ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度不大． 含30度角的直角三角形 27．（2023秋•吉林期中）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是　　 A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据垂线段最短求出的最小值，然后得到的取值范围，从而得解． 【解答】解：，，， ， 点是边上的动点， ， 的值不可能是1.8． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出的取值范围是解题的关键． 28．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，，为上一点，，则的长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】由等腰三角形的性质推出，由含直角三角形的性质得到，求出的长，即可求出的长． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 29．（2023秋•榆树市校级期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】连接，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解，利用线段垂直平分线的性质可求解，即可求解，再利用含角的直角三角形的性质可求解的长． 【解答】解：连接， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求解是解题的关键． 作图—基本作图 30．（2023秋•朝阳区校级期中）下列选项中的尺规作图，能推出的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断． 【解答】解：， 点为的垂直平分线上的点． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 31．（2023秋•二道区校级期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 　　． 【分析】由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案． 【解答】解：由尺规作图可知，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键． 32．（2023秋•船营区校级期中）尺规作图：经过已知直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线和外一点． 求作：的垂线，使它经过点． 作法：（1）任意取一点，使点和点在的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线，连接、、、． 根据以上作法证明直线就是所求作的垂线． 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行解释． 【解答】解：证明：由作法得，， 点和点都在的垂直平分线上， 即垂直平分， 为的垂线． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质定理逆定理． 轴对称的性质 33．（2023秋•前郭县期中）如图，直线是多边形的对称轴，若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形对应角相等，即可得到答案． 【解答】解：由轴对称的性质可知，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，能够根据轴对称的性质得到是解题的关键． 34．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则　72　． 【分析】设，则，，由折叠的性质得，根据平角为列方程即可得到的值，进而求出，最后根据平行线的性质即可得出． 【解答】解：设，则，， 由折叠的性质得：， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，翻折变换，解题关键是熟练应用平行线的性质进行求解． 35．（2023秋•宁江区期中）如图，点与点关于对称，，则的度数为 　　． 【分析】利用轴对称的性质，平角的定义求解即可． 【解答】解：点与点关于对称， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 36．（2023秋•宁江区期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点 　　，的对应边是 　　； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据对称性可得，从而得出，最后可得答案． 【解答】解：（1）和关于直线对称， 图中点的对应点是点，的对应边是； 故答案为：，． （2），， 根据对称性：， ， ． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 轴对称图形 37．（2023秋•宁江区期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 38．（2023秋•桦甸市校级期中）第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 39．（2023秋•永吉县期中）下面四个图形中，是轴对称图形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：四个图形都是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 关于x轴、y轴对称的点的坐标 40．（2023秋•永吉县期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用关于轴对称的点，则其纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 41．（2023秋•桦甸市校级期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 　　． 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解是解题的关键． 42．（2023秋•船营区校级期中）点关于轴的对称点的坐标是 　　． 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 43．（2023秋•龙潭区校级期中）已知点，关于轴对称，则　　． 【分析】根据关于关于轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得、的值，进而得到答案． 【解答】解：点、点关于轴对称， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 作图-轴对称变换 44．（2023秋•铁西区期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． （1）如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． （2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据要求画出图形即可． 【解答】解：（1）图形如图所示； （2）图形如图所示． 【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 45．（2023秋•桦甸市校级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点为网格线的交点）△，是过网格线的一条直线． （1）作△关于直线对称的图形△； （2）在边上找一点，连接，使得． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点，然后顺次连接各对应点即可； （2）利用网格特点得到，所以的垂直平分线与的交点为点． 【解答】解：（1）如图1，△即为所求． （2）如图2，点为所作． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质． 46．（2023秋•船营区校级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴． 【分析】根据轴对称图形的特点设计图形即可． 【解答】解：所求图形，如图所示． 【点评】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称图形的定义作图是解题的关键． 轴对称-最短路线问题 47．（2023秋•船营区校级期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点使最短，则点应选在　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案． 【解答】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，此时最短， 与直线交于点， 点应选点． 故选：． 【点评】此题考查了轴对称最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点． 48．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接、，则的最小值为 　　． 【分析】根据等边三角形的三线合一得到点对称点是点，过作即可得到最小距离和点，即可得到答案． 【解答】解：是等边的角平分线， 点关于对称点是点，过作交于一点即为点，此时的值最小等于，，， ， ，是等边三角形， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称最短距离和问题及垂线段最短，解题的关键是根据轴对称找到最短距离点． 49．（2023秋•前郭县期中）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点在直线上，连接，，则周长的最小值为 　12　． 【分析】与的交点为，的值最小，即的周长最小值为的长． 【解答】解：与的交点为， 是边上的垂直平分线， ， ， 此时的值最小， 的周长最小， ，， ， 的周长最小值为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 50．（2023秋•宁江区期中）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点． （1）当时． ①若，则点到的距离为 　1　； ②若，，求的周长； （2）若，且的面积为40，则的周长的最小值为 　　． 【分析】（1）①由题意可知、、共线，则是的对称轴，由对称性即可求解； ②由题意可知，平分，可判断是等边三角形，再求解即可； （2）连接交于点，此时的值最小，最小值为． 【解答】解：（1）①，，是的中点， 、、共线， 是的对称轴， ， 点到的距离为1， 故答案为：1； ②是的中点，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 的周长为； （2）连接交于点， 是的垂直平分线， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，的面积为40， ， 是的中点， ， ， 的周长最小值为14， 故答案为：14． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 分类讨论思想的应用 1.（23-24八年级上·河南商丘·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 【答案】(1)8cm，8cm，4cm (2)能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． （1）设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5cm是底边和腰长两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则 ∴ ∴各边长为：8cm，8cm，4cm． （2）①若为底时，腰长， 三角形的三边分别为，能围成三角形 ②若为腰时，底边， ， 不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知是等腰三角形的腰上的高，且”．要求学生画出符合条件的图形，并求出各角的度数． 小明同学画出如下图形，并在图中标出各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出各角的度数．    【答案】图形及度数见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质．由于为腰，则点B可为顶角的顶点，也可为底角的顶点，高可在三角形内部也可在三角形外部，故应分情况分析计算． 【详解】解：由题意得，分三种情况： （1）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形内部，    ； （2）如图，当点B为顶角的顶点时，且在三角形外部，    ； （3）如图，当点C为顶角的顶点时（此时，这种情况与小明同学的做法相同，舍去），    ， ． 3.（23-24八年级上·广东珠海·期中）在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和18两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是12，底边长是3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中线，设，分两种情况进行讨论求解即可．利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成9和18两部分， 有两种情况： ①当，且， 解得， 三边长分别为6，6，15；，不可以构成三角形 ②当，且， 解得， 三边长分别为12，12，3；，可以构成三角形； 综上，腰长是12，底边长是3． 4.（21-22八年级上·广东珠海·期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB = 90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． (1)如果∠CDF = 20°，那么∠AFE的度数= _________ ； (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连AD，求∠CDF的度数； (3)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程． 【答案】(1)55° (2)∠CDF=45°； (3)∠B=30°或45° 【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠CFD=70°，再根据折叠的性质可得∠AFE=∠DFE，据此即可求解； （2）连接AD，由等腰三角形的性质可得∠CFD=∠CDF=45°，由等腰三角形的性质可求∠FDA=22.5°=∠FAD，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）解：∵∠C=90°，∠CDF=20°， ∴∠CFD=90°-20°=70°， ∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上， ∴∠AFE=∠DFE==55°， 故答案为：55°； （2）解：连接AD， ∵△CDF为等腰三角形，∠FCD=90°， ∴∠CDF=∠CFD=45°； （3）解：∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上， ∴AF=DF，AE=DE， ∴∠FAD=∠FDA， ∵∠CFD=∠FAD+∠FDA， ∴∠FDA=22.5°=∠FAD， ∴∠ADC=67.5°， ∵∠ADC=∠B+∠DAB， ∴∠DAB=67.5°-∠B， ∵AE=DE， ∴∠DAB=∠ADE=67.5°-∠B， ∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B， 若∠DEB=∠B时， ∴135°-2∠B=∠B， ∴∠B=45°； 若∠DEB=∠EDB时， ∴∠DEB=∠EDB=135°-2∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°， ∴135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°， ∴∠B=30°； 若∠EDB=∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°， ∴135°-2∠B+∠B+∠B=135°≠180°（不合题意舍去）， 综上所述：∠B=30°或45°． 【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 构造新的等腰三角形 5．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E，使，由，得出，三角形的外角性质定理得出，进一步得出，，即可求出的值． 【详解】解：在上取一点E，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶B． 6.（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，过边长为8的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．通过添加辅助线构造全等是解题的关键． 如图，作交于，则是等边三角形，，由，可得，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作交于，    ∵等边，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 7．（23-24八年级上·江西上饶·期中）在学习完第十二章后，老师让同学们独立完成课本56页第12题：如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题； (2)第二天，老师又给这道题，添加了一个已知条件，即在中，是它的角平分线，且，如图2，请同学们去探究线段、、三者的数量关系，爱动脑的小李同学，发现：，请你帮他完成证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法以及等腰三角形的判定． （1）根据平分，作，，由角平分线性质可知，与等高，面积比即为底边的比． （2）在上截取，证明，得出，由外角性质可得，得出，可得结论． 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， ∵平分， ∴， ∴． （2）在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴ 又， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∴， ∴， ，即 8.（22-23八年级上·福建莆田·期中）已知：如图1，中，D为边上一点，连接，，点E为边上一点，连接与交于点F，且． (1)求证：点F为的中点． (2)若，点E为中点，点P是延长线上一点，且，连接并延长交于点Q，在图2中补全图形，①若，求的长，②________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析；①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． （1）过点C作，交的延长线于点M，利用邻补角及平行线的性质分析求得，再结合得出，证明，，再证明，从而结合全等三角形的性质使问题得证； （2）①如图，过点B作，交于点N，由（1）已证，，得出，，从而得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，再证出，即可求解； ②取中点H，连接，证明为等边三角形，再证明为等边三角形，从而证出，得出，即可得出，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点； （2）解：①补图如图，过点B作，交于点N， 由（1）已证，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； ②取中点H，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E、H分别为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 最短路径问题 9．（2023秋•朝阳区期中）如图，在中，，是边的中点，点是边上一点，过点作的平行线，交延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】通过证得得出，即可得出，则四边形周长，然后求得时，四边形周长最小，最小值为7． 【解答】解：， ． 又，， ， ， ， 四边形周长， 取最小值时，四边形周长最小， 当时，最小， 当时，四边形周长最小， ，， ， 四边形周长最小值为：． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线间的距离最短是解题的关键． 10．（2021秋•船营区校级期中）如图，等边的边长为1，过点的直线，且与△关于直线对称，为线段上的一个动点，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接交于点，，关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【解答】解：连接交于点， 直线，且与△关于直线对称， ，，共线， ， ， ， ， ，， ，关于直线对称， 当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 11．（2022秋•乾安县期中）如图，在△中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 　50　度． （2）若，△的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出△周长的最小值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出△的周长，再代入数据进行计算即可得解； ②当点与重合时，△周长的值最小，于是得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 故答案为：50； （2）①是的垂直平分线， ， △的周长， ，△的周长是14， ； ②当点与重合时，△周长的值最小， 理由：，， 与重合时，，此时最小， △周长的最小值． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 12．（2023秋•海兴县期中）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点关于射线对称点为，连接，，． （1）证明：； （2）若为直线上一个动点，求周长最小时，所在的位置，并求出周长的最小值． 【分析】（1）连接，如图，利用对称的性质得到垂直平分，则，，然后证明，从而得到； （2）先证明，则为等边三角形，所以，再利用垂直平分，则，所以（当且仅当、、共线时取等号），于是可判断点运动到点时，的最小值为24，从而得到周长的最小值． 【解答】（1）证明：连接，如图， 点关于射线对称点为， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 垂直平分， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 即点点运动到点时，的最小值为24，此时周长的最小值为36． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题：利用对称把几条线段的和转化为一条线段，然后利用两点之间线段最短解决问题． 13．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点． （1）若，求的度数； （2）若，，，且时，求的长； （3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）利用面积法即可解决问题． （3）连接，把问题转化为两点之间线段最短． 【解答】解：（1）， ， 是边上的中线， ， ， ， ． （2）， ， ，，， ． （3）连接． 垂直平分线段， ． ， 的最小值为． 【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 14．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，再证明，可得结论． （2）如图2中，的大小不变，．求出的大小，可得结论． （3）如图3中，过点作于，过点作于，于，于．首先证明平分，作点关于的对称点，连接，则有，求出，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ，， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ，， ， ，分别平分，， ， ． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，于，于． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分， 作点关于的对称点，连接， ， ， ， ， ， ， 的最小值为4． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． ( 2 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