专题02 全等三角形（8种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题02 全等三角形（8种经典基础练+4种优选提升练） 全等图形 1．（2023秋•永年区期中）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•龙岗区期中）下列说法正确的是　　 A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 3．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 　 　． 全等三角形的性质 4．（2023秋•铁西区期中）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•南关区校级期中）如图，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•双阳区校级期中）如图，，，，，，则的长是 　　． 7．（2023秋•船营区校级期中）两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为2，则阴影部分面积为 　　． 全等三角形的判定 8．（2023秋•通榆县期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知，，下列条件中，无法判定△△的是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•乾安县期中）如图，已知：与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 　 　． 11．（2023秋•德惠市期中）如图，已知，，，求证：． 12．（2023秋•德惠市期中）如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发．分别过、两点作垂直于过点的直线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒（1）当、两点相遇时，求的值； （2）在整个运动过程中，求的长（用含的代数式表示）； （3）当与全等时，请直接写出的值． 直角三角形全等的判定 13．（2023秋•乾安县期中）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使和全等． 14．（2023秋•前郭县期中）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 15．（2023秋•前郭县期中）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 全等三角形的判定与性质 16．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　 ． 17．（2023秋•龙潭区校级期中）如图，，，若，，则点的坐标为 　 　． 18．（2023秋•船营区校级期中）如图，点、在上，，，．求证：． 19．（2023秋•前郭县期中）如图，在和中，，点是的中点，于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 全等三角形的应用 20．（2023秋•乾安县期中）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•前郭县期中）生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学知识是 　 　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，连接、交于点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 22．（2023秋•通榆县期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？ 23．（2023秋•双辽市期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 24．（2023秋•宁江区期中）如图，，两点位于高墙外，不能直接到达．为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出，间的距离．学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并测量出的长度，的长度就是，间的距离．请根据以上的信息，说明． 角平分线的性质 25．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，平分，于点，，，则的长为 　　． 26．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，中，，平分，，，则的面积为 　　． 27．（2023秋•通榆县期中）在中，，平分，，，的面积为27，求的长． 28．（2023秋•铁西区期中）如图，，，于，交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 29．（2023秋•船营区校级期中）如图，是的角平分线，且，，． （1）求的度数； （2）若，点是上的动点，求的最小值． 作图—尺规作图的定义 30．（2023秋•双阳区校级期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•信丰县期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 32．（2023秋•泗水县期中）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　 A． B． C． D． 全等三角形模型之“旋转模型” 1.（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 2．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 全等三角形模型之“倍长中线模型” 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 4.（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 全等三角形模型之“一线三等角模型” 5.（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 6．（20-21八年级上·广东韶关·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 全等三角形模型之“截长补短模型” 7．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，锐角三角形与等腰直角三角形是共边三角形，，,过点D作于F,E为的中点. (1)求证：; (2)求证： (3)若,求的长 8.（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形（8种经典基础练+4种优选提升练） 全等图形 1．（2023秋•永年区期中）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形解答． 【解答】解：全等图形形状相同，大小相等， 、两个图形形状不同，故选项不符合题意； 、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意； 、两个图形形状不同，故选项不符合题意； 、两个图形大小不等，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键． 2．（2024春•龙岗区期中）下列说法正确的是　　 A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【解答】解：、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； 、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； 、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质，正确把握相关的定义或性质是解题关键． 3．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 　　． 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题． 全等三角形的性质 4．（2023秋•铁西区期中）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解： 和全等，，， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出，是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 5．（2023秋•南关区校级期中）如图，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角的和差得到，再根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6．（2023秋•双阳区校级期中）如图，，，，，，则的长是 　5　． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，结合等式的性质推知，结合已知相关线段的长度解答． 【解答】解：，， ． ，，， ． ， ． ． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键． 7．（2023秋•船营区校级期中）两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为2，则阴影部分面积为 　7　． 【分析】根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【解答】解：由平移的性质知，，， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键． 全等三角形的判定 8．（2023秋•通榆县期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是 证明如下： 由题意得，， 在和中， ， 所以 故为的平分线． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线． 9．（2023秋•二道区校级期中）如图，已知，，下列条件中，无法判定△△的是　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【解答】解：、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，由“”可证△△，故选项不合题意； 、添加，不能证明△△，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 10．（2023秋•乾安县期中）如图，已知：与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 　（答案不唯一）　． 【分析】此题答案不唯一，可以是，根据全等三角形的判定定理可证出来． 【解答】解：， 理由是：在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以或． 11．（2023秋•德惠市期中）如图，已知，，，求证：． 【分析】根据可得，再根据即可证明． 【解答】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 12．（2023秋•德惠市期中）如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发．分别过、两点作垂直于过点的直线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒（1）当、两点相遇时，求的值； （2）在整个运动过程中，求的长（用含的代数式表示）； （3）当与全等时，请直接写出的值． 【分析】（1）由题意得，即可求得、两点相遇时，的值； （2）根据题意即可得出的长为； （3）分两种情况讨论得出关于的方程，解方程求得的值即可． 【解答】解：（1）由题意得， 解得（秒， 当、两点相遇时，的值为； （2）由题意可知， 则的长为； （3）当在上，在上时， ， ， ，． ，， ， ， ， ，解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， 由题意得，， 解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， ， 解得． 综上，当与全等时，满足条件的的值为1或或12． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，根据题意得出关于的方程是解题的关键． 直角三角形全等的判定 13．（2023秋•乾安县期中）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　答案不唯一　，使和全等． 【分析】根据全等三角形的判定解答即可． 【解答】解：和中， ， ， ， 添加， 在和中 ， ， 故答案为：答案不唯一． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 14．（2023秋•前郭县期中）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【分析】先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明． 【解答】证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 15．（2023秋•前郭县期中）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 【解答】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中，， ． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 全等三角形的判定与性质 16．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是　　． 【分析】过和分别作于，于，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标． 【解答】解：过和分别作于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 则点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形． 17．（2023秋•龙潭区校级期中）如图，，，若，，则点的坐标为 　　． 【分析】过点作轴于点，由 为等腰直角三角形即可得出、，通过角的计算即可得出，再结合 即可利用证出，由此即可得出、的长度，进而可得出点的坐标． 【解答】解：过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形， ，． ，， ． ，， ． 在和中， ， △， ，， ，， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．熟悉全等三角形的判定方法是解答的关键． 18．（2023秋•船营区校级期中）如图，点、在上，，，．求证：． 【分析】本题中求证是解题的关键．先证明，即可证明，可得结论． 【解答】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键， 19．（2023秋•前郭县期中）如图，在和中，，点是的中点，于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，即可求解． 【解答】（1）证明：，， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ，， 是的中点， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 全等三角形的应用 20．（2023秋•乾安县期中）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 21．（2023秋•前郭县期中）生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学知识是 　三角形的稳定性　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点、之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，连接、交于点，要想知道、之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）首先证明，根据全等三角形的性质可得． 【解答】解：（1）三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． （2）这样做合适， 理由：， ，， 在 与 中， ， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等． 22．（2023秋•通榆县期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？ 【分析】利用“”可判断两三角形和全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，即可确定与的大小关系． 【解答】解：两滑梯的倾斜角与互余． 理由如下：根据题意，可知， 在和中， ， ， ， 又， ， 即两滑梯的倾斜角与互余． 【点评】本题考查全等三角形的应用，确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定． 23．（2023秋•双辽市期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， 在和中， ； （2）解：由题意得：，， ， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 24．（2023秋•宁江区期中）如图，，两点位于高墙外，不能直接到达．为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出，间的距离．学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并测量出的长度，的长度就是，间的距离．请根据以上的信息，说明． 【分析】利用证得，则其对应边相等． 【解答】解：在与中， ， 则． 所以． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 角平分线的性质 25．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，平分，于点，，，则的长为 　4　． 【分析】由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【解答】解：，， ， ， ， 平分，于点， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 26．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，中，，平分，，，则的面积为 　15　． 【分析】首先过点作于点，由角平分线的性质，即可求得的长，继而求得的面积． 【解答】解：过点作于点， ，平分， ， ， ． 故答案为：15． 【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 27．（2023秋•通榆县期中）在中，，平分，，，的面积为27，求的长． 【分析】解：过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据已知可得的面积的面积，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为， 平分，，， ， 的面积为27， 的面积的面积， ， ， ， 的长为8． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2023秋•铁西区期中）如图，，，于，交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【分析】（1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， 在与中， ，， ， ， 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． 29．（2023秋•船营区校级期中）如图，是的角平分线，且，，． （1）求的度数； （2）若，点是上的动点，求的最小值． 【分析】（1）先根据三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质可计算出的度数； （2）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后垂线段最短求解． 【解答】解：（1），， ， 是的角平分线， ， ； （2）过点作于点，如图， 是的角平分线，，， ， 点是上的动点， 的最小值为的长， 即的最小值为8． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 作图—尺规作图的定义 30．（2023秋•双阳区校级期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，由作图可知，，．根据证明． 【解答】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 31．（2023秋•信丰县期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【解答】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查角分线的尺规作图和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 32．（2023秋•泗水县期中）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断． 【解答】解：．由作法知， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．由作法知所作图形是线段的垂直平分线， 不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意； 由作法知，所作图形是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．，， ， 由作法知是的平分线， ， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； 故选． 【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． 全等三角形模型之“旋转模型” 1.（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 2．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明； （2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 全等三角形模型之“倍长中线模型” 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 4.（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围． 【答案】 【分析】倍长中线至点N，构造，易得，再利用三角形的三边关系找到的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， （SAS）， ， 在中，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形． 全等三角形模型之“一线三等角模型” 5.（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 6．（20-21八年级上·广东韶关·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．点P运动时间为ts (1)用含有t的代数式表示． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)厘米 (2)全等 (3)厘米/秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分类讨论思想． （1）求出，即可求出答案； （2）求出、、，根据全等三角形的判定推出即可； （3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使与全等，求出厘米，厘米，厘米，厘米，，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米； （2）解∶ 全等，理由如下∶ ∵厘米，点D为的中点， ∴，厘米， ∵厘米， ∴厘米， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解∶ 设当点Q的运动速度为x厘米/秒，时间是t秒， ∵厘米，厘米，厘米， ∴当，或，，与全等， 即①，， 解得：（不合题意，舍去）， ②，， 解得： ， 即当点Q的运动速度为厘米/秒． 全等三角形模型之“截长补短模型” 7．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，锐角三角形与等腰直角三角形是共边三角形，，,过点D作于F,E为的中点. (1)求证：; (2)求证： (3)若,求的长 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容，寻找全等条件是解题关键． （1）根据即可求证； （2）在上截取，证得，进一步可得；再证即可求解； （3）由（2）可得：；设，则 根据解出即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴ ∴ （2）证明：在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：由（2）可得： 设，则 ∴ 解得： ∴ 8.（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$