第一章 坐标平面上的直线（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章 坐标平面上的直线 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角为 ． 2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 4．若直线和直线垂直，则实数的值为 . 5．已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 6．点到直线的距离为 ． 7．若，且，则经过的直线的一般方程为 8．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 9．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 11．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则的取值所构成的集合为 12．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 14．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 15．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．已知，，. (1)求边BC上的高所在直线的一般式方程； (2)直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程. 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 19．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 20．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 21．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 坐标平面上的直线 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据斜率和倾斜角的关系先求斜率再求倾斜角即可. 【解析】，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得， 故答案为： 2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】由方向向量，斜率与倾斜角的关系求解 【解析】由得，故倾斜角的大小为， 故答案为： 3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【解析】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或    4．若直线和直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【解析】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 5．已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由直线方程的点法式求解即可. 【解析】∵直线过点，一个法向量为， ∴直线的点法式方程为. 故答案为：. 6．点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】 直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 7．若，且，则经过的直线的一般方程为 【答案】 【分析】根据、都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程. 【解析】若, 则点在直线上, 点在直线上 即、都在同一直线上 因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为 故答案为: 8．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案. 【解析】 设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，， 故点M关于直线的对称点的坐标是， 故答案为： 9．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】 分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【解析】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【解析】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 11．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则的取值所构成的集合为 【答案】 【解析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【点睛】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条线经过同一点时，联立得， 将代入得， 解得 故的取值所构成的集合为 故答案为： 12．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【解析】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 二、单选题 13．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 14．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【解析】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 15．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【解析】对于直线， 即，所以在直线上， 设，其中， 由两边平方得， 即， 整理得， 由于，所以 ，其中， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 且最大值为，则，解得. 故选：A 16．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【解析】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 三、解答题 17．已知，，. (1)求边BC上的高所在直线的一般式方程； (2)直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，化为一般式即可； （2）设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出直线的斜率，从而求出直线方程. 【解析】（1）因为，，所以， 所以边上高线所在直线的斜率为，所以所求直线的方程是，即. （2）由题意得直线l斜率存在，设直线方程为，即， 因为，到直线l距离相等，所以，解得或， 所以直线方程为或， 即直线l的一般式方程为或. 18．已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【解析】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 19．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【解析】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 20．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【解析】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最小值为， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 21．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 【分析】（1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间的关系； （3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程. 【解析】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 联立，解得，则， 设关丁的对称点为，所以， 则关丁的对称点为， 经过和，故的直线方程为， 所以，的斜率为，故的直线方程为， 后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. （2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， 所以或， 解得（舍）或. （3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为， 1）当在直线上时，或不存在， ①当时，，反射1次； ②当时，，反射2次； ③当时，，反射3次； ④当时，不存在，不存在，，反射3次； ⑤当时，，反射4次； ⑥当不存在时，，反射1次； 2）当在轴上时，或不存在， ①当时，，反射2次； ②当时，，反射1次； ③当时，，反射4次； ④当时，反射3次； ⑤当不存在时，不存在，，反射2次； 综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或. 【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$