第六章 数据的分析 知识归纳与题型突破（六类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 数据的分析 知识归纳与题型突破（六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 要点： 平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 要点： （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 二、中位数和众数 1.中位数 一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 要点： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 三、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 四、极差、方差和标准差 1.极差 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据. 要点： 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 2.方差 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是： ，其中，是，，…的平均数.　 要点： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 4.极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 五、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点： （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 03 题型归纳 题型一 平均数 例题 1．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（    ） A．11 B．12 C．9 D．10 巩固训练 2．若一组数1，3，x，5，6的平均数为4，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下： 9.0，9.0，9.2 ，10.0 ，9.0，9.2，9.0，9.2． 规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最后得分是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3 4．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 5．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 6．有m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，则这（m+n）个数的平均数为（  ） A． B． C． D． 7．有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ） A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232 题型二 中位数和众数 例题 8．已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的中位数与众数分别是（    ） A．14，15 B．15，15 C．14，16 D．15，16 巩固训练 9．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（    ） A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m 10．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 11．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5 12．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 13．某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 14．两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断 型号自动封装机性能更好． 题型三 数据的离散程度 例题 15．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 巩固训练 16．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 17．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 18．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 19．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型四 利用统计图分析数据的集中趋势和离散程度 例题 20．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 ． 巩固训练 21．七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 ． 22．某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是 吨． 23．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 24．甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．甲地最低气温的中位数是6℃ B．甲地最低气温的众数是4℃ C．乙地最低气温相对比较稳定 D．乙地最低气温的平均数是5℃ 题型五 数据的分析 难点 例题 25．如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（    ） A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变 巩固训练 26．已知一组数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，则另一组数a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方差为 ． 27．已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ） A．5，12 B．5，3 C．6，12 D．6，3 28．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 题型六 解答综合题 例题 29．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图． (1)分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用； (2)若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用． 巩固训练 30．“直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： (1)补全条形统计图． (2)抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． (3)经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 31．为了进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对七年级（1）班45名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制频数分布直方图如图所示．已知七年级学生1分钟跳绳次数达标要求是：为不合格，为合格，为良好，为优秀． (1)求这一组数据的频率及七年级（1）班1分钟跳绳的优良率（包括良好和优秀）． (2)求出这45名学生1分钟跳绳次数的中位数所在组的组中值，并结合各数据段分布情况对七年级（1）班的同学提出一些合理的建议． 32．为了让同学们了解自己的体育水平，八年级班的体育老师对全班名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为分，班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 八年级班体育模拟测试成绩分析表 平均数 方差 中位数 众数 男生 2 8 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)这个班共有男生 人，共有女生 人； (2)补全八年级班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，班的男生队，女生队哪个表现更突出一些？并写出你的看法的理由． 33．某校初一开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 爱国班 a 85 c 求知班 85 b 100 (1)根据图示直接写出a、b、c的值； (2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？ (3)已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？（计算方差的公式：） 34．某校为了了解初一年级共480名同学对环保知识的掌握情况，对他们进行了环保知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，85，87，89，90，92，93，94，96，97，98，99，100，100 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94 【整理数据】： 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 93 47.3 乙 90 87 50.2 【应用数据】： (1)根据以上信息，填空：　　，　　； (2)若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加环保知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个班的学生环保知识测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）． 35．某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题： 表1 组别 月用水量x吨/人 频数 频率 第一组 100 0.1 第二组 n 第三组 200 0.2 第四组 m 0.25 第五组 150 0.15 第六组 50 0.05 第七组 50 0.05 第八组 50 0.05 合计 1 (1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________． (2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？ (3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数据的分析 知识归纳与题型突破（六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 要点： 平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 要点： （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 二、中位数和众数 1.中位数 一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 要点： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 三、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 四、极差、方差和标准差 1.极差 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据. 要点： 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 2.方差 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是： ，其中，是，，…的平均数.　 要点： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 4.极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 五、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点： （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 03 题型归纳 题型一 平均数 例题 1．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（    ） A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用平均数的求法求解即可． 【解析】这组数据10，9，10，12，9的平均数是 故选：D． 【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键． 巩固训练 2．若一组数1，3，x，5，6的平均数为4，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据平均数的公式列出等式，求出等式中x的值即可. 【解析】解：依据依题意得 解得x=5. 故选C. 【点睛】本题考查算术平均数和解一元一次方程.能熟记平均数的计算公式并根据公式列出等式是解决本题的关键. 3．在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下： 9.0，9.0，9.2 ，10.0 ，9.0，9.2，9.0，9.2． 规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最后得分是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3 【答案】B 【分析】先去掉这8个数据中的最大数和最小数，再计算剩余6个数据的平均数即可． 【解析】解：题目中8个数据的最高分是10.0分，最低分是9.0分，则小李的最后得分=（9.0+9.2+9.0+9.2+9.0+9.2）÷6=9.1分． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数的计算，正确理解题意、熟知平均数的计算方法是解题关键． 4．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设8环的人数为x,根据平均数的定义即可列出方程求出x. 【解析】设8环的人数为x,依题意得8.1×（2+x+3）=7×2+8x+9×3 解得x=5. 故选B. 【点睛】此题主要考查平均数的求解，解题的关键是根据题意列出方程. 5．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解析】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：． 6．有m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，则这（m+n）个数的平均数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，做出这两组数据的和，把两个和相加，得到m+n个数字的和，用这个和除以两组数据的个数，得到平均数． 【解析】∵m个数的平均数是x，n个数的平均数是y， ∴m个数的和是mx，n个数的和是ny， ∴这m+n个数字的和是mx+ny， ∴这m+n个数字的平均数是， 故选:C. 【点睛】考查了平均数的计算，解题的关键是利用平均数的计算方法计算出个数的总和. 7．有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ） A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232 【答案】B 【分析】根据8个数的平均数为11，求得8个数的和，再根据12个数的平均数是12，求得12个数的和，8个数的和加12个数的和除以20即可． 【解析】解：根据平均数的求法：共（8+12）=20个数，这些数之和为8×11+12×12=232，故这些数的平均数是=11.6． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平均数的计算方法，属于基础题，首先求得8个数的和以及12个数的和是解决本题的关键． 题型二 中位数和众数 例题 8．已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的中位数与众数分别是（    ） A．14，15 B．15，15 C．14，16 D．15，16 【答案】B 【分析】先按照从小到大排序，然后找出第四位和第五位上的两个数，求其平均数即为中位数，根据出现次数最多的数即为众数可找到众数． 【解析】∵按照从小到大排序为：13，14，15，15，15，16，17， ∴这组数据的中位数为， ∵这组数据中，出现了次，次数最多， ∴这组数据的众数是， 故选：B 【点睛】本题考查了中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，众数就是一组数据中出现次数最多的数． 巩固训练 9．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（    ） A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义即可得出结论． 【解析】解：把这7个数据从小到大排列：9.5，9.6，9.7，9.7，9.8，10.1，10.2处于第4位的数是9.7m，出现次数最多的是9.7m，因此中位数是9.7m、众数是9.7m； 故选：B． 【点睛】考查了中位数和众数，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数． 10．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 【答案】3 【分析】先根据平均数是3，求出a的值，然后根据中位数的定义求出结果即可． 【解析】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3， ， 解得，， 将这组数据从小到大排列为：1，2，3，4，5， 最中间的数是3，则这组数据的中位数是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数，解题的关键是根据平均数的定义求出，并熟练掌握中位数的定义． 11．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5 【答案】A 【分析】设被污损的数据为x，先根据平均数的定义列出关于x的方程，求出方程的解后再根据中位数和众数的定义进行判断即可. 【解析】解：设被污损的数据为x， 则，解得， ∴这组数据中出现次数最多的是5，即众数为5篇， 将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5， ∴这组数据的中位数为4篇. 故选A． 【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数的概念，根据平均数的定义求出被污损的数据是解题的关键. 12．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 【答案】6 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解析】解：一组数据4，6，4，的众数只有一个， 当时，众数为4和6， 的值不能为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，熟练掌握众数的概念是解题的关键． 13．某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大． 14．两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断 型号自动封装机性能更好． 【答案】B 【分析】计算出两个型号自动封装机的平均数和中位数，即可得解． 【解析】解：A型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； B型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； 从平均数和中位数看，B型号更接近， ∴B型号自动封装机性能更好． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均数和中位数，熟知求方差的公式是解题的关键． 题型三 数据的离散程度 例题 15．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查方差的知识，解答本题需掌握方差的意义； 根据题意得到甲、乙两人成绩的方差分别为：，，，； 然后再结合方差的意义并比较方差即可得到结论． 【解析】∵，，， ∴， 根据方差越小，越稳定， 故选乙， 故选B． 巩固训练 16．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 【答案】C 【分析】求方差时，先求这组数据的平均数，接下来根据方差是各数据与平均数的差的平方和的平均数，即可解题． 【解析】解：平均数， 方差： ． 故选：C． 【点睛】本题考查方差的计算，解题的关键是掌握方差是各数据与平均数的差的平方和的平均数，需联系方差的计算公式解答． 17．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【分析】分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可． 【解析】解：甲组平均成绩为：（分）， 乙组平均成绩为：（分）， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键． 18．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义进行解答即可． 【解析】解：A．这组数据从小到大排序后，个位数被墨水抹黑的排在后面，排在第3和第4的数都是162， ∴中位数为162， 这组数据的中位数不受影响，故A符合题意； B．6个数中有两个162，如果个位数被墨水抹黑的数为173，则众数为162和173，如果个位数被墨水抹黑的数不是173，那么众数为162， ∴众数受影响，故B不符合题意； C、D．个位数被墨水抹黑的数影响平均数的大小，方差与平均数有关，因此也会影响方差，故CD不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义． 19．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解析】解：∵乙、丙的平均用时最少，且乙的方差最小，最稳定， ∴应选乙． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键． 题型四 利用统计图分析数据的集中趋势和离散程度 例题 20．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 ． 【答案】甲． 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定,方差越大，数据不稳定，则为新手. 【解析】∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定， ∴甲的方差大于乙的方差. 故答案为甲. 【点睛】本题考查的知识点是方差，条形统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，条形统计图. 巩固训练 21．七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 ． 【答案】3球． 【分析】本题主要考查了众数的定义、扇形统计图等知识点，理解众数的定义成为解题的关键． 根据众数的定义及扇形统计图的意义即可即可解答． 【解析】解：∵由图可知，3球所占的比例最大， ∴投进球数的众数是3球． 故答案为3． 22．某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么这6天的平均用水量是 吨． 【答案】32 【分析】由折线统计图可以看出：1日的用水量为30吨，2日的用水量为34吨，3日的用水量为32吨，4日的用水量为37吨，5日的用水量为28吨，6日的用水量为31吨，进而即可求出这6天的平均用水量． 【解析】这6天的平均用水量是=32（吨）． 故答案为32． 【点睛】本题考查了折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；折线统计图表示的是事物的变化情况． 23．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 【答案】A 【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案． 【解析】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ∴甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， ∴， ∴甲的成绩更稳定． 故选：A 【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差． 24．甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．甲地最低气温的中位数是6℃ B．甲地最低气温的众数是4℃ C．乙地最低气温相对比较稳定 D．乙地最低气温的平均数是5℃ 【答案】A 【分析】根据中位数的定义可对A进行判断，根据众数的定义可对B进行判断，根据统计图折线的波动大小对C进行判断，计算乙地最低气温的平均数可对D进行计算 【解析】解：甲地的最低气温为（℃）：6，4，8，4，8 乙地的最低气温为（℃）：2，8，6，10，4 甲地的最低气温的平均数： 乙地的最低气温的平均数： 甲地的最低气温的中位数是6，众数是4和8 甲地最低气温相对比较稳定 故选：A 题型五 数据的分析 难点 例题 25．如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（    ） A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变 【答案】C 【分析】由每个数都减去，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少，方差不变，据此可得答案． 【解析】解：如果将一组数据中的每个数都减去， 易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少， 而根据方差公式可知，每个数和平均数的差不变，方差不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的定义是解题的关键． 巩固训练 26．已知一组数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，则另一组数a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方差为 ． 【答案】3 【分析】设数据a1，a2，a3，……，an的平均数为，则可求得a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的平均数，根据数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，即可求得另一组数据a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方程． 【解析】设数据a1，a2，a3，……，an的平均数为，即， 则此组数据的方差为； ∵a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的平均数为： ， 所以此数据的方差为： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一组数据的方差，已知一组数据的方差，则每个数据加上同一个常数后所得新数据的方差不变，平均数是原数据的平均数加上这个常数，这实质是方差与平均数的性质，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 27．已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ） A．5，12 B．5，3 C．6，12 D．6，3 【答案】A 【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，，，的平均数是，方差是，再进行计算即可． 【解析】解：的平均数是4，方差是3， 数据，，，，的平均数是， 方差是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差的特点，若在原来数据前乘以或除以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上或减去同一个数，平均数也加上或减去同一个数，方差不变，即数据的波动情况不变． 28．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【解析】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 题型六 解答综合题 例题 29．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图． (1)分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用； (2)若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用． 【答案】(1)甲 (2)7，8，乙 【分析】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析． （1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可； （2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可． 【解析】（1）解：由题意得，甲三项成绩之和为：（分）， 乙三项成绩之和为：（分）， ∵， ∴会录用甲． 故答案为：甲； （2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为： （分）， 乙三项成绩之加权平均数为： （分）， ∵， ∴乙被录用． 故答案为：7，8，乙． 巩固训练 30．“直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： (1)补全条形统计图． (2)抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． (3)经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 【答案】(1)图见解析 (2)5；5.1 (3)这批苹果的总销售额约为30150元 【分析】（1）先求出质量为和的箱数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法确定中位数和众数即可； （3）先求出每箱的平均质量，即可求出这批苹果全部售完的总销售额． 本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据是解题的关键． 【解析】（1）解：质量为的箱数：（箱）， 质量为的箱数：（箱）， 补全条形统计图如下： （2）解：中位数为质量由小到大排列第10，第11个数据的平均数， ，， 第10，第11个数据都为， 中位数为：； 个数据中，出现6次，是出现次数最多的数据， 众数为：． 故答案为：5；5.1 （3）解：箱） （元）． 答：这批苹果的总销售额约为30150元． 31．为了进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对七年级（1）班45名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制频数分布直方图如图所示．已知七年级学生1分钟跳绳次数达标要求是：为不合格，为合格，为良好，为优秀． (1)求这一组数据的频率及七年级（1）班1分钟跳绳的优良率（包括良好和优秀）． (2)求出这45名学生1分钟跳绳次数的中位数所在组的组中值，并结合各数据段分布情况对七年级（1）班的同学提出一些合理的建议． 【答案】(1) (2)130，建议加强锻炼，增强体质 【分析】此题考查了频数分布直方图，解题的关键是正确分析图中的数据． （1）用这一组数据的频数除以总数即可得到频率，然后用良好和优秀的人数除以总数即可得到优良率； （2）首先根据中位数的定义确定中位数所在组，再根据组中值为，进而求解即可． 【解析】（1）由题意得，这一组数据的频率为， 由达标要求可知，七年级（1）班1分钟跳绳的优良率为． （2）这45名学生1分钟跳绳次数从小到大排列，排在中间的数位于， ∴组中值为； 建议加强锻炼，增强体质（答案不唯一，合理即可）． 32．为了让同学们了解自己的体育水平，八年级班的体育老师对全班名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为分，班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 八年级班体育模拟测试成绩分析表 平均数 方差 中位数 众数 男生 2 8 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)这个班共有男生 人，共有女生 人； (2)补全八年级班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，班的男生队，女生队哪个表现更突出一些？并写出你的看法的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知直方图与平均数、众数的性质． （1）根据直方图即可求出男生人数，再用总人数减去男生人数即可得到女生人数． （2）根据平均数与众数的定义即可求解； （3）利用众数的意义即可判断． 【解析】（1）解∶这个班共有男生有人， 女生有人． 故答案为∶20，25； （2）解∶ 解：男生的平均分为 ，女生的众数为， 补全表格如下： 平均分 方差 中位数 众数 男生 女生 （3）解：从众数看，女生队的众数高于男生队的众数，所以女生队表现更突出（答案不唯一）． 33．某校初一开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 爱国班 a 85 c 求知班 85 b 100 (1)根据图示直接写出a、b、c的值； (2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？ (3)已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？（计算方差的公式：） 【答案】(1)，， (2)爱国班成绩好些．因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可） (3)160；爱国班成绩较为稳定 【分析】（1）观察图分别写出爱国和求知5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可； （2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好； （3）根据方差公式计算即可：（可简单记忆为“等于差方的平均数”）． 【解析】（1）解：由条形统计图可知爱国班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100， 求知班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80， ∵爱国班中85出现了2次且次数最多， ∴爱国班的众数为85，即， 爱国班的平均数为， ∴ 求知班数据排列为：70、75、80、100、100 ∴求知班的中位数是为第3个，即； （2）解：爱国班成绩好些． 因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可） （3）解： ∵， ∴爱国班成绩较为稳定． 【点睛】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式． 34．某校为了了解初一年级共480名同学对环保知识的掌握情况，对他们进行了环保知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，85，87，89，90，92，93，94，96，97，98，99，100，100 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：90，91，92，93，94 【整理数据】： 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 93 47.3 乙 90 87 50.2 【应用数据】： (1)根据以上信息，填空：　　，　　； (2)若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加环保知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个班的学生环保知识测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】(1)100，91 (2)256人 (3)甲班的学生环保知识测试的整体成绩较好，理由见解答 【分析】本题考査了频数(率)分布表，众数，中位数，方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的定义是解题的关键． (1)根据众数和中位数的定义求解可得； (2)用总人数乘以甲、乙两班样本中优秀人数所占比例可得； (3)比较甲、乙两班的方差，再根据方差的意义即可得出答案． 【解析】（1）解：甲班15名学生测试成绩100出现次数最多， 甲班的众数是100分，则； 乙班15名学生测试成绩按从小到大排列， 则中位数是第8个数即中位数出现在这一组中，故 (分)， 故答案为：100，91； （2）解：根据题意得： (人)， 答：480名学生中成绩为优秀的学生大约共有256人； （3）解： 甲班的学生环保知识测试的整体成绩较好，理由如下： 甲班方差乙班方差，即，甲班的平均分乙班的平均分， 甲班的学生环保知识测试的整体成绩较好． 35．某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题： 表1 组别 月用水量x吨/人 频数 频率 第一组 100 0.1 第二组 n 第三组 200 0.2 第四组 m 0.25 第五组 150 0.15 第六组 50 0.05 第七组 50 0.05 第八组 50 0.05 合计 1 (1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________． (2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？ (3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费． 【答案】(1)四/0.15/250/72° (2)3 (3)8.8元 【分析】（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组； （2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨； （3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数． 【解析】（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15， （人）， （人） ， （人）， ∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501， ∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组； 故答案为，四；0.15；250；72°； （2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%， ∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨； （3）（元）． 答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元． 【点睛】本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$