第六章 反比例函数 知识归纳与题型突破（十类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 反比例函数 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点： 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 03 题型归纳 题型一 反比例函数的概念及应用 例题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各点在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 6．如果是反比例函数，那么的值是 ． 题型二 反比例函数的图像与性质 例题 7．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点 C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称 巩固训练 8．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 9．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图像经过点 B．函数图像位于第一、三象限 C．函数值随着的增大而增大 D．当时， 10．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据图像或性质求参数范围 例题 11．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ． 巩固训练 12．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 14．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（    ） A． B．或 C．或 D． 题型四 参数范围、图像与性质的相互判断 例题 15．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A．  B．  C．  D．   巩固训练 16．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 17．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小 C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称 18．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是(    )． A． B． C． D． 题型五 反比例函数与方程、不等式 例题 19．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 巩固训练 20．如图，已知一次函数与反比例函数．的图象交于两点．观察图象可知，不等式 的解集是 ． 21．已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为 ． 题型六 k的几何意义 例题 22．如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 巩固训练 23．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 24．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．      25．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．    26．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 题型七 反比例函数的代数应用 例题 27．已知点与点在反比例函数的图象上，(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 28．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八 反比例函数的实际应用 例题 29．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 巩固训练 30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（    ）    A．这一函数的表达式为 B．当气体体积为40时，气体的压强值为150 C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 题型九 最值问题、其他问题 例题 32．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 巩固训练 33．反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 34．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十 解答综合题 例题 35．已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 巩固训练 36．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 38．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 39．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 一 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数 知识归纳与题型突破（十类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点： 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位 置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 03 题型归纳 题型一 反比例函数的概念及应用 例题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如或（是常数，）的函数叫做是的反比例函数，逐项判断即可得． 【解析】解：A、是正比例函数，则此项不符题意； B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意； C、，当时，是的反比例函数，则此项不符合题意； D、是反比例函数，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键． 巩固训练 2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【答案】A 【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【解析】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系． 3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【解析】解：（1）不符合反比例函数的形式，是正比例函数； （2）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （3）因为，所以，，可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （4）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （5）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数； （6）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数． 综上所述，是反比例函数的为（2）（3）（4）共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义（形如的函数叫做反比例函数），牢记反比例函数的定义是解题的关键． 4．下列各点在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在． 【解析】A．当时，，故该选项不正确，不符合题意； B．当时，，故该选项不正确，不符合题意； C．当时，，故该选项不正确，不符合题意； C．当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键． 5．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值． 【解析】解：∵是反比例函数， ∴，， ∴且， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 6．如果是反比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义得到，求解即可得到答案． 【解析】解：是反比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型二 反比例函数的图像与性质 例题 7．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点 C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称 【答案】C 【分析】根据可得函数图像分别位于第一、三象限，由此可判断A、C；根据当时，即可判断B；根据反比例函数图像的特点即可判断D． 【解析】解：∵在反比例函数中，， ∴函数图像分别位于第一、三象限，故A说法正确，不符合题意； 当时，，即函数图像经过点，故B说法正确，不符合题意； ∵函数图像过，， ∴，故C说法错误，符合题意； 反比例函数的函数图像关于原点成中心对称，故D说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数图像与系数的关系等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 巩固训练 8．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 9．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图像经过点 B．函数图像位于第一、三象限 C．函数值随着的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象及其性质即可求解． 【解析】、点不在它的图象上，不符合题意； 、它的图象在第二、四象限，不符合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了反比函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点和点的纵坐标的大小即可． 【解析】解：反比例函数的系数为， 图像的两个分支在二、四象限，该函数随的增大而增大， 第四象限的点纵坐标总小于第二象限的纵坐标， 点在第二象限，，在第四象限， 最大， 该函数随的增大而增大，， ， ， 故选：． 【点睛】考查反比例函数图像的性质，反比例函数图像上的点的特征，用到的知识点为，反比例函数的比例系数小于，图像的个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，随的增大而增大． 题型三 根据图像或性质求参数范围 例题 11．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】依据题意，由点在反比例函数图象上，点的纵坐标，从而可以得解． 【解析】解：由题意，由， 当时， ． 当时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解． 巩固训练 12．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解． 【解析】解：反比例函数的图象不经过第一象限， 则经过二四象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解析】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 14．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 【解析】依题意有，解得或， ∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴的值是， 故选：． 题型四 参数范围、图像与性质的相互判断 例题 15．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当时和当时，分析反比例函数所在象限和一次函数经过的象限，即可获得答案． 【解析】解：当时，函数的图像位于第一、三象限，经过第一、二、四象限； 当时，函数的图像经过第二、四象限，经过第一、二、三象限． 综上所述，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的识别，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 巩固训练 16．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【解析】解：①当时，一次函数的图象过一、三、四象限；反比例函数在一、三象限； ②当时，一次函数的图象过一、二、四象限；反比例函数在二、四象限， 观察图形可知，只有C符合， 故选：C 17．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小 C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【解析】解：A．， 反比例函数图像分布在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； B．在每一象限内，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意； C．，， ，故该选项错误，不符合题意； D．反比例函数的图像关于原点中心对称，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 18．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【解析】解：∵在函数（为常数）中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 题型五 反比例函数与方程、不等式 例题 19．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【解析】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 巩固训练 20．如图，已知一次函数与反比例函数．的图象交于两点．观察图象可知，不等式 的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点解不等式，理解图示，掌握一次函数，反例函数图象的性质是解题的关键． 【解析】解：根据图示可得，当或时，， 故答案为：或 ． 21．已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点个数问题，将交点个数问题转化成方程根的个数问题是解题的关键．将一次函数解析式代入反比例函数解析式，化简可得一元二次方程，根据两函数的图象没有交点，可知一元二次方程没有实数根，进而确定，代入解出不等式即可． 【解析】解：将代入中， 得， 整理得， ∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型六 k的几何意义 例题 22．如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】设点P坐标为，则，根据矩形的面积为8，得出，即可得出k的值． 【解析】解：设双曲线表达式为， 设点P坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∵矩形的面积为8， ∴，则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，组成的矩形面积为． 巩固训练 23．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解析】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 24．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．      【答案】4 【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解． 【解析】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，    ∴， ∴， ∴， 设B点坐标为，则， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴A点坐标为， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质． 25．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．    【答案】 【分析】设线段，则可表示出，再根据三角形的面积公式得出的面积，代入数值计算即可． 【解析】解：设直线与x轴的交点为P， 设，则， ， ∵， ∴ ＝ ＝ 故答案为：．    【点睛】此题考查了反比例函数的k的几何意义，三角形的面积公式，解答本题的关键是表示出线段的长度，难度一般． 26．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】连接，过点作轴于点，由菱形的性质及面积可得出，证得四边形为矩形，得出，则可得出答案． 【解析】解：连接，过点作轴于点，   四边形是菱形， ，， ， ， ， 轴，轴， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 题型七 反比例函数的代数应用 例题 27．已知点与点在反比例函数的图象上，(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断． 【解析】解：A、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点与点在第一象限， ∴，故选项A错误； B、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点与点在第三象限， ∴，故选项B错误； C、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴点在第二象限， ∴，不合题意，故选项C错误； D、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 巩固训练 28．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【解析】解：反比例函数， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， A、若，则或， 当时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，则 ，原结论不成立，不符合题意，选项错误； C、若，则或， ，原结论一定成立，符合题意，选项正确； D、若，则或或， 当或时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 题型八 反比例函数的实际应用 例题 29．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【解析】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 巩固训练 30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【解析】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（    ）    A．这一函数的表达式为 B．当气体体积为40时，气体的压强值为150 C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项A；将代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图像的增减性，即可判断选项C；求得当时气体体积的值，结合函数图像即可判断选项D． 【解析】解：A．设，由题意知， 所以，即，故该选项正确，不符合题意； B．当时，， 所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意； C．由函数图像可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意； D．当时，， 所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 题型九 最值问题、其他问题 例题 32．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【解析】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 巩固训练 33．反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【解析】解：当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，在每一象限内，随x的增大而增大， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而增大，在每一象限内，随x的增大而减小， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 综上：的值为， 故选：B． 34．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题意得出和异号，再分别判断各项即可． 【解析】解：∵同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点， 若，则正比例函数经过一、三象限，则反比例函数经过二、四象限，则， 若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，则， 综上：和异号， ①∵和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故①错误； ②∵和异号，则，故②正确； ③，故③正确； ④或，故④正确； 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号． 题型十 解答综合题 例题 35．已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【解析】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则：， 解得：． 巩固训练 36．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是： （1）把代入，可求出b，把代入，可求出a； （2）分别求出B、C的纵坐标，即可求解； （3）根据A的坐标和图象得出即可． 【解析】（1）解：依题意，将代入，得． 点的坐标为． 将代入，得，即． （2）解：由（1）得． 当时，点的纵坐标为4． 当时，点的纵坐标为1． ． （3）解：当时的取值范围是． 37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 【答案】(1)当气体的体积为时，它的压强是 (2)当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸 【分析】（1）先求出气球内气体的压强与气体的体积的反比例函数关系式，然后代入进行求解即可； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【解析】（1）解：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴当气体的体积为时，它的压强是； （2）解：当时，， ∵， ∴V随p的增大而增大， ∴要使气球不会爆炸，则， ∴当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键． 38．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1）先把代入求得，再把A点坐标代入求得，从而求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式，即可求出结果； （2）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，然后利用，进行计算即可； （3）根据可知，即一次函数的图象在反比例函数图象上方，再根据图象即可求得结果． 【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ，即， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴点A的坐标为， 、在一次函数的图象上，可得： ，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：如图，一次函数的图象与x轴交于点， ， ． （3）解：， ， ∴由图象可知，x的取值范围是：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式及观察函数图象的能力，求点A、C的坐标是解题的关键． 39．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【解析】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 40．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$