精品解析：山东省淄博市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次教学诊断检测（10月）数学试卷

淄博实验中学高二年级第一次教学诊断检测 数学 2024.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】判断各组向量是否共面即可. 【详解】对于A，若，，共面，则，其中， 整理得到：，因为构成空间的一个基底， 故，此方程无解，故，，不共面，即它们可构成基底，故A正确； 对于B，因为，故，，共面，故B错误； 对于C，因为，故，，共面，故C错误； 对于D，因为，故，，共面，故D错误； 故选：A. 2. 设，且，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，所以； 由．所以； 所以． 故选：D 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ） A. 相互独立事件 B. 相互互斥事件 C. 既相互独立又相互互斥事件 D. 既不互斥又不相互独立事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项. 【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件， 由，，，有， 所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A 4. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解. 【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为， 记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则， 所以. 故选：B. 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可 【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可； 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，为对立事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，则，相互独立 D. 对于任意事件，，有 【答案】AB 【解析】 【分析】由对立事件，互斥事件，独立事件的概念及概率的性质逐项判断即可. 【详解】若，为对立事件，则，故A正确； 若，为互斥事件，则，故B正确； 若，则事件，事件不一定相互独立，概率相等与事件独立没有关系，故C错误； 若事件，，相互独立，则，故D错误. 故选：AB 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 令，可得， 而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角， 则,故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果. 【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况， 甲恰好连胜两局的概率. 故答案为：. 14. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 【答案】0.245## 【解析】 【分析】根据题意知甲前4场有一场输，第五场必定获胜，由于比赛场次主客场安排固定，所以可计算出每种输一场的概率，最后相加可得到甲队以4：1获胜的概率. 【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”， 设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5， 则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 所以甲队以4：1获胜的概率 . 故答案为：0.245 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理，可得，所以，即是直角三角形，又为的中点，所以为等边三角形，根据线面平行的判定定理即可证明． （2）以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建系，求出，平面 法向量的坐标，计算与法向量的夹角，可得所求． 【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面 则平面， 又，则 因为，，， 所以，， 在中，，， 由余弦定理可得： 解得： 所以，所以是直角三角形， 又为的中点，所以 又，所以为等边三角形， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，. 所以，，. 设为平面的法向量，则，即 设，则，，即平面的一个法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的判定，空间中线面角的求法，利用余弦定理解三角形．考查空间想象、计算证明的能力，属中档题． 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【小问1详解】 设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； 【小问2详解】 由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】（1）0.52 （2）0.648 【解析】 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【小问1详解】 用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. 【小问2详解】 记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 19. 在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. （1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； （2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得， 分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系， （2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论； （ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求， 若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 【小问1详解】 猜测全部正确的概率为， 猜测全部错误的概率为， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 【小问2详解】 （i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率， 则，解得， 所以， 所以， 因此，②④一定错误， （ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况： 两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为； 有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为； 两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为； 所以， 若选择①， 令，则，其中， 所以， 所以， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以， 即的取值范围是 若选择③， 此时，又， 所以，所以， 令，则 ，， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为 ，，， 所以，， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递减， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学高二年级第一次教学诊断检测 数学 2024.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 设，且，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ） A. 相互独立事件 B. 相互互斥事件 C. 既相互独立又相互互斥事件 D. 既不互斥又不相互独立事件 4. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 7. 在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，为对立事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，则，相互独立 D. 对于任意事件，，有 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________． 13. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________. 14. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 18. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 19. 在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. （1）若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； （2）若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $