精品解析：江苏省扬州市新华中学2025届高三上学期自主练习二（10月月考）数学试题

高三数学学科自主练习二 一、单选题 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为等腰三角形 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三、填空题 12. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 13. 若，则__________. 14. 在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 18. 一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. （1）求袋子内小球的个数； （2）若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； （3）若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科自主练习二 一、单选题 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由， ， 则， 即， 故选：C. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数单调性比较与中间量的大小，根据角所在象限判断正弦函数值的符号得，进而可判断的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减， 所以，且. 由，则， 综上可知. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角差的正弦公式求得，再由求解. 【详解】解：因为， 所以，解得。 所以， 故选：D 4. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，从而选项A和B错误，再通过，结合选项C和D的图象，即可求出结果. 【详解】因为， 所以在区间上的图象关于原点对称，故选项A和B错误， 又，所以选项C正确，选项D错误， 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合投影向量的坐标公式即可求解. 【详解】已知，所以，可得， 所以在上的投影向量的坐标为， 故选：A. 6. 偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，将两边平方，解得即可. 【详解】解：偶函数的定义域为，且对于任意均有成立， 所以在单调递减，则在单调递增， 因为，所以，所以， 化简得，解得或，即. 故选：B. 7. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可. 【详解】由， 易知，令， 则由题意知. 故选：A 【点睛】思路点睛：先化简函数式，由，根据三角函数的图象结合五点作图法得出该函数在纵轴右侧的第一个零点与第二个零点分在两侧，计算即可. 8. 已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数，利用导数求出最大值即可求出范围. 【详解】令函数在上单调递减，且， 则，即，而，于是， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数是解题的关键. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数为实数，若，则的最大值为3 D. 设为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；变形式子并利用基本不等式求解判断B；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C；配方变形并利用基本不等式建立关系，再解不等式判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，正数为实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理：， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：ABC 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数及其单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 . 故答案为：. 14. 在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】记，，由余弦定理及基本不等式求出的最大值，用表示出，然后求数量积后可得结论． 【详解】记，， 又由余弦定理得，即， ， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 由题意， ， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式得的值即可进一步求解； （2）由余弦定理求出，结合三角形面积公式即可进一步求解. 【小问1详解】 根据正弦定理可得, 由于,故， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理有，即， 解得，所以的面积为. 16. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可； （2）先根据题意求出，然后求其值域即可. 【小问1详解】 因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）分别取的中点。连接，根据面面垂直的性质可得平面，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取的中点，连接， 则， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为平面， 所以即为平面的一条法向量， 则， 所以二面角的余弦值为． 18. 一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. （1）求袋子内小球的个数； （2）若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； （3）若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 【答案】（1）； （2）分布列如下： 0 1 2 3 P 期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，根据异色球的概率列方程求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式求出概率，进而可得分布列，然后可求期望； （3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D，利用全概率公式求，然后再由条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设红球、白球、黑球的个数分别为， 因为从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为， 所以，即， 整理得，因为，所以， 所以袋子内小球的个数为. 【小问2详解】 由（1）知，袋中有8个小球，其中4个白球，故， ，， ，， 0 1 2 3 P . 【小问3详解】 设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D， 则， ， 所以， 所以第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率为. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若都有，求的取值范围． 【答案】（1）函数是R上的增函数； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再判断导数值正负作答. （2）求出函数的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为R， ， 所以函数是R上的增函数. 【小问2详解】 函数，， 求导得， 当时，，即函数在上单调递增，，，因此； 当时，令，求导得， 函数在上单调递减，， 则存在，使得，当时，，在上单调递增， 当时，，即， 因此当时，，即，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上得， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $