第15章 轴对称图形与等腰三角形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（安徽专用,沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 （单元培优卷 沪科版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图形中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D．或 4．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 5．如图，在中，，，平分，，如果，则的长是（   ）． A． B． C． D． 6．以下说法中，错误的是（    ） ①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或； ②三角形的一个外角，等于两个内角的和； ③有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 7．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） 如图，在△ ABC中，∠ A= ∠ C= ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图，三角形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，，，则的周长是（  ） A．13 B．11 C．12 D．9 9．如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 ． 12．如图，，，与关于直线对称，则中的 ． 13．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 14．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ． 15．如图，和均为等边三角形，，则 °． 16．如图，正方形的边长为a，E，F分别是对角线上的两点，过点E，F分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 17．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 18．如图，中，是它的角平分线，，，则与的面积比是 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 20．（5分）如图，在中，，求的度数． 21．（6分）已知点与点，当，为何值时， (1)点，关于轴对称； (2)点，关于轴对称． 22．（6分）如图，已知的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请画出，使得与关于直线对称，点B，C的对应点分别为点D，E； (2)在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求的面积． 23．（6分）如图，平分，，垂足为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 24．（6分）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 25．（7分）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 26．（7分）如图，在中，，，在边上取点，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧． (1)若点与点关于直线轴对称，求的度数． (2)若，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 27．（8分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 28．（10分）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 （单元培优卷 沪科版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图形中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中是轴对称图形，故符合要求； 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 3．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：B． 4．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 5．如图，在中，，，平分，，如果，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解平分，， 又 故选：B． 6．以下说法中，错误的是（    ） ①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或； ②三角形的一个外角，等于两个内角的和； ③有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①∵， ∴边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为，底边长为， ∴该等腰三角形的周长为：， ∴①错误，符合题意； ②∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， ∴②错误，符合题意； ③∵有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， ∴③错误，符合题意； ④∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴④正确，不符合题意； 综上所述：错误的有①②③， 故选：C． 7．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） 如图，在△ ABC中，∠ A= ∠ C= ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； 综上，等腰三角形共有5个； 故选：A． 8．如图，三角形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，，，则的周长是（  ） A．13 B．11 C．12 D．9 【答案】B 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点分别作、、，连接，如图： ∵点为和的角平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴点到的三边的距离相等， 即， ∴， ， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴点D到边的距离为， 故选：A． 10．如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵平分，为外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，结论①正确； ∵平分， ∴， ∴ ，结论③正确； 又∵， ∴， ∴，结论②正确； 假设， ∴， 解得， ∴， 由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 ． 【答案】或 【详解】解：当顶角为时，则底角； 当底角为时，则底角为； 故答案为：或． 12．如图，，，与关于直线对称，则中的 ． 【答案】/度 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 故答案为： ． 13．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 【答案】等腰 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 14．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为14，则的周长为 ． 【答案】22 【解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：22． 15．如图，和均为等边三角形，，则 °． 【答案】/124度 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有，， ∴； 故答案为． 16．如图，正方形的边长为a，E，F分别是对角线上的两点，过点E，F分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【详解】解：正方形关于直线对称， 将四边形沿翻折到四边形的位置后两个四边形重合， 图中阴影部分的面积之和为 故答案为：． 17．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：过点D作于点E， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：24． 18．如图，中，是它的角平分线，，，则与的面积比是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过分别作于，于， 是它的角平分线， ， 而 ． 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴． 20．（5分）如图，在中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 答：的度数为． 21．（6分）已知点与点，当，为何值时， (1)点，关于轴对称； (2)点，关于轴对称． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 点、关于轴对称， ， 解得：， ，； （2）解：点、关于轴对称， ， 解得：， ，． 22．（6分）如图，已知的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请画出，使得与关于直线对称，点B，C的对应点分别为点D，E； (2)在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求． （2）的面积． 23．（6分）如图，平分，，垂足为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（6分）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 25．（7分）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 26．（7分）如图，在中，，，在边上取点，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧． (1)若点与点关于直线轴对称，求的度数． (2)若，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵点D与点E关于直线轴对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：在上取点F，使，连接，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 又∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 27．（8分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（10分）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：，，， ， ， （2）证明：由题意得，，， 则， ， ， ； （3）解：， ， 当点在线段上时， ， 时，，即， 解得，不合题意， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 则当或时，与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$