第十三章 轴对称（单元重点测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第十三章 轴对称 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．25 C．20或25 D．不确定 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．给出以下几个三角形：①有两个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为的等腰三角形．其中是等边三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　） A． B． C． D． 9．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是　　 ①是的平分线； ②； ③点在的中垂线上； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在中，垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为，则的周长为 ． 12．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为 ． 13．如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    14．如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 15．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） (1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h； (2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h． 17．作图题（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1请利用直尺和圆规作线段AB的中垂线EF； （2）如图2请利用直尺和圆规作∠AOB的角平分线OC； （3）如图3，要在公路MN上修一个车站P，使得P向AB两个地方的距离和最小，请利用直尺和圆规画出P的位置； （4）如图4，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等； （5）如图5，利用网状格画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点． (1)在同一坐标系中描出点，直接写出点关于轴的对称点的坐标______； (2)点在坐标轴上，且与全等，则点的坐标为______； (3)若已知点，则的面积为______． 19．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 20．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 21．在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 22．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于y轴和直线的“梅溪对称点”．例如：点关于y轴和直线的“梅溪对称点”为点． (1)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是_____； (2)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是，求m和n的值； (3)若点关于y轴和直线的“梅溪对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 2．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 4．一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．25 C．20或25 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，理解三角形三边关系，等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以分两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10＋10＋5＝25； ②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时，不满足三角形的三边关系，不合题意． 综上所述，该等腰三角形的周长为25． 故选：B． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 6．给出以下几个三角形：①有两个角为的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为的等腰三角形．其中是等边三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可，熟练掌握等边三角形的判定定理是解决本题的关键．． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 7．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案． 【详解】解：连接BE， ∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点， ∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°， ∵EF⊥AB， ∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°， ∴BE=DE， 在Rt△BEF中，EF=1， ∴BE=2EF=2， ∴BE=DE=2， ∴DF=EF+DE=3， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题． 8．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论． 【详解】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α， ∴∠A2B2O＝α， 同理∠A3B3O＝×α＝α， ∠A4B4O＝α， ∴∠AnBnO＝α， ∴∠A10B10O＝， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 9．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形； 根据角平分线的性质和平行线的性质证明和为等腰三角形即可求解． 【详解】∵的平分线，与的外角的平分线相交于点F， ， ∵， ， ， ， 和为等腰三角形， ， ， 故选：C． 10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是　　 ①是的平分线； ②； ③点在的中垂线上； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据作图的过程可知，是的平分线，则①正确；由角平分线的定义可得，则，则②不正确；结合线段垂直平分线的性质可知点不在的中垂线上，则③不正确；由题意可知，，则，则④不正确．本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：根据作图的过程可知，是的平分线， 故①正确，符合题意； ，， ． 是的平分线， ， ， 故②不正确，不符合题意； ③，， ， 点不在的中垂线上， 故③不正确，不符合题意； 由题意得，， ， 故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：A． 二、填空题 11．如图，在中，垂直平分，交边于点，交边于点，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/21厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，，结合已知进行等量代换，然后可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 12．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为 ． 【答案】12或10/10或12 【分析】如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，分AB+AD=18和AB+AD=15两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线， ∴AD=CD=x， ①若AB十AD=18，则2x十x=18，解得：x=6， 则x+y=15，即6十y=15，解得y=9， 满足12+9＞12，∴腰长为12， ②若AB+AD=15，则2x+x=15，解得：x=5， 则x+y=18，即5+y=18，解得：y=13， 满足10+10＞13，∴腰长为10， 综上，该等腰三角形的腰长为12或10， 故答案为：12或10． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解一元一次方程，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 13．如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据直角三角形的性质，再由轴对称的性质和三角形的内角和定理可以求出结论，解答时利用三角形的内角和定理求解是关键． 【详解】解： 与关于成轴对称， 故答案为：． 14．如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理先求出，再由三线合一定理和角平分线的定义得到垂直平分，，则，，再由线段垂直平分线的性质得到，则，据此求出的度数，再求出的度数，即可根据周角的定义求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵平分， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：8． 三、解答题 16．如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） (1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h； (2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先作线段，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接即可． （2）首先作直线垂直于直线，垂足为F，再直线上取线段，然后，连接即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求作的三角形． （2）解：如图：即为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质是解答本题的关键． 17．作图题（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1请利用直尺和圆规作线段AB的中垂线EF； （2）如图2请利用直尺和圆规作∠AOB的角平分线OC； （3）如图3，要在公路MN上修一个车站P，使得P向AB两个地方的距离和最小，请利用直尺和圆规画出P的位置； （4）如图4，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等； （5）如图5，利用网状格画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． 【答案】（1）如图1，直线EF为所作；见解析；（2）如图2，射线OC为所作；见解析；（3）如图3，点P为所作；见解析；（4）如图4，点P为所作；见解析；（5）如图5，△A′B′C′为所作．见解析． 【分析】（1）利用基本作图，作线段AB的垂直平分线得到直线EF； （2）利用基本作图，作OC平分； （3）作A点关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件； （4）作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们相交于点P，则点P满足条件； （5）利用网格特点和对称的性质分别画出A、B、C的对称点A′、B′、C′即可． 【详解】（1）如图1，分别以点A和点B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧相较于E、F两点，连接E、F两点，直线EF为所作； （2）如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交∠AOB于两点G、H，再以两交点为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧交于一点C，连接OC，射线OC为所作； （3）如图3，作A点关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于P，点P为所作； （4）如图4，作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们相交于点P，点P为所作； （5）如图5，利用网格特点和对称的性质分别画出A、B、C的对称点A′、B′、C′，顺次连接点A′、B′、C′，△A′B′C′为所作． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点． (1)在同一坐标系中描出点，直接写出点关于轴的对称点的坐标______； (2)点在坐标轴上，且与全等，则点的坐标为______； (3)若已知点，则的面积为______． 【答案】(1)图见解析， (2)或 (3)4 【分析】本题考查轴对称的性质，坐标与图象的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用分割法求三角形的面积． （1）利用描点法以及轴对称的性质即可解决问题； （2）利用全等三角形的判定和性质即可解决问题； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：点的坐标如图1中所示，点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （2）解：点在坐标轴上，且与全等， 观察图1所示，满足条件的点的坐标为或 故答案为：或； （3）解：如图2中， ， 故答案为：4． 19．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 20．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 21．在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）①15°，②22.5° 【分析】（1）由，根据同角的余角相等，可得，由折叠的性质可知，等量代换，从而得证； （2）①根据翻折，和已知条件，求得，从而求得的值；②由①的结论可求得，，当∠DFE=∠FDE时，当解方程即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由翻折可知，，∴，∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②，则 ， ， 由翻折可知：， ， ， ∴当∠DFE=∠FDE时，有， 解得，． 【点睛】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于y轴和直线的“梅溪对称点”．例如：点关于y轴和直线的“梅溪对称点”为点． (1)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是_____； (2)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是，求m和n的值； (3)若点关于y轴和直线的“梅溪对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为2，的值为3； (3) 【分析】（1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点关于轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是； 故答案为：； （2）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是， 的坐标是， 解得，， ∴的值为2，的值为3； （3）解：∵点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是， 在第二象限， ，解得， 且满足条件的的整数解有且只有一个， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组与不等式组的应用，解题的关键是对新定义“梅溪对称点”的理解． 23．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，   ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$