第三章 位置与坐标（单元重点测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第三章 位置与坐标 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 2．设点在第四象限，则点到轴的距离为（      ） A． B． C． D． 3．若一个点A的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1后得到一个点B，则（　　） A．点A与点B关于x轴对称 B．点A与点B关于y轴对称 C．点A与点B关于原点对称 D．点A向x轴的负方向平移1个单位得点B 4．若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若点在x轴上，则点，在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知点，点，直线轴，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点的坐标为（-2+a，2a-7），且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 8．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，把图①中三角形经过一定的平移变换得到图②中的三角形，若三角形内一点P在三角形中的对应点的坐标为，则点P的坐标是（　　）    A． B． C． D． 10．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是 ． 12．已知点在第四象限，且到坐标轴的距离和为10，则点的坐标为 ． 13．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ． 14．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 15．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为 三、解答题 16．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________． (2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________． (3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________． 17．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为． (1)求，的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． (1)点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)请作出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标为______； (3)四边形的面积是______； (4)点在边上，过点P作轴于点Q，请用含m的代数式表示的面积______． 19．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点． 例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）． （1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 　 　； （2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ①求△OPQ的面积； ②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 　 　； （3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的距离中最大值为m+8，求m的值． 20．在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为1，求的值； (3)若，两点为“等距点”，求的值． 21．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”． (1)已知点的“级关联点”是点，则点的坐标为 ___________； (2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点H，使轴，且，直接写出H点坐标． 22．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在x轴上有两个点它们的坐标分别为和.则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为.如图1，在直角坐标系中的任意两点，，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得，线段的长为.    根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知，，则线段AB的长为________； （2）在平面直角坐标系中，已知，，则线段MN的长为________； （3）若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是________； （4）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求周长的最小值. 23．【初步探究】 （1）如图①，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，、判断的形状，并说明理由； 【解决问题】 （2）如图②，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法； 【拓展应用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是________； （4）如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是_________．[注：在平面直角坐标系内，，，则] 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 位置与坐标 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示，掌握有序数对的意义是解答本题的关键．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为． 故选：B． 2．设点在第四象限，则点到轴的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限，可得出a、b的符号，即可得出点到轴的距离． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴在第三象限， ∴点到轴的距离， 故选：B． 3．若一个点A的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1后得到一个点B，则（　　） A．点A与点B关于x轴对称 B．点A与点B关于y轴对称 C．点A与点B关于原点对称 D．点A向x轴的负方向平移1个单位得点B 【答案】A 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：把点A的横坐标不变，纵坐标乘以-1后得到点B，则B点的纵坐标和A点的纵坐标互为相反数，则点A与点B关于x轴对称．. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特点．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 4．若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，负整数指数幂等相关知识，关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，掌握关于原点对称的点横纵坐标的关系是解本题的关键．根据关于原点对称点的性质得出，的值进而得出答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C． 5．若点在x轴上，则点，在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 6．已知点，点，直线轴，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点，点，直线轴， ∴， ∴． 故选B． 7．已知点的坐标为（-2+a，2a-7），且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点Q到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求出a的值，再解答即可． 【详解】解：∵点Q（-2+a，2a-7）到两坐标轴的距离相等， ∴|-2+a|=|2a-7|， ∴-2+a=2a-7或-2+a=-（2a-7）， 解得a=5或a=3， 所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，-1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，难点在于列出绝对值方程，求解绝对值的方程要注意绝对值的性质的利用． 8．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可． 【详解】解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键． 9．如图，把图①中三角形经过一定的平移变换得到图②中的三角形，若三角形内一点P在三角形中的对应点的坐标为，则点P的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的平移确定点坐标．根据题意可知三角形向上平移了2个单位长度，向右平移了4个单位长度到达三角形，继而得到本题答案． 【详解】解：根据题图可得三角形ABC向上平移了2个单位长度，向右平移了4个单位长度， ∵P′(a，b)， ∴点P的坐标为， 故选：A． 10．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律．根据题目可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，旋转三次和原来的相对位置一样，点，， ∴，，， ∴， ∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：， ∵， ∴旋转第24次的直角顶点的坐标为：， 又∴旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样是， 如图，点是第26次直角顶点，作于点， ∵，，，， ∵， ∴，， ∴旋转第26次的直角顶点的坐标是即， 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴的坐标为， 故答案为：． 12．已知点在第四象限，且到坐标轴的距离和为10，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限内，且到两坐标轴的距离之和为10列方程求解即可． 【详解】解：点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为10， ， 解得， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 13．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，正确理解“美丽点”的定义是解题关键．设点的坐标为，根据点到轴的距离，得到，再分别代入“美丽点”公式，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 到轴的距离为2， 的横坐标为，即， 是“美丽点”， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 点的坐标为或， 故答案为：或 14．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 15．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为 【答案】或或 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴； ①当时，在中，， ∴； ②当，点P在点D的左侧时，过点作于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴此时点P坐标为； 当，点P在点D的右侧时， 同法可得：， ∴； ∴此时点P坐标为； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题 16．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________． (2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________． (3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0即可求解； （2）根据相反数的意义即可求解； （3）根据通过原点的第一、三象限角平分线上横纵坐标相同即可求解． 【详解】（1）∵点在y轴上， ∴，则， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，则 ∴点P的坐标为． 故答案为：； （3）∵点P在一、三象限角平分线所在直线上， ∴， 解得：．则． ∴点P的坐标为． 故答案为：． 17．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为． (1)求，的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可求得a与b的值，则可得点A与B的坐标，从而求得AB的长，由已知可得CO的长，因此可求得△ABC的面积； （2）设点的坐标为，则可得AM的长度，由题目中的面积关系可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，从而求得点M的坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴点，点． 又∵点， ∴，， ∴． （2）设点的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，绝对值与算术平方根非负性质的应用，三角形的面积计算，涉及方程思想与数形结合思想的应用． 18．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． (1)点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)请作出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标为______； (3)四边形的面积是______； (4)点在边上，过点P作轴于点Q，请用含m的代数式表示的面积______． 【答案】(1)； (2) (3)65 (4) 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称变化，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据点A的坐标即可得到点B和点C的坐标，即可得到答案； （2）根据轴对称图形的性质画图并且写出坐标即可； （3）根据梯形的面积公式计算即可； （4）根据题意得出点的坐标，再求出的长，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：由于点A的坐标是， 故可得点B的坐标为；点C的坐标为； 故答案为：；； （2）解：根据轴对称图形的性质，找到对称的，作出图形； 点的坐标为； （3）解：根据点的坐标可得， ； 故答案为：； （4）解：点在边AB上，过点P作轴于点Q， ， ， ． 故答案为：． 19．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点． 例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）． （1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 　 　； （2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ①求△OPQ的面积； ②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 　 　； （3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的距离中最大值为m+8，求m的值． 【答案】（1）（0，﹣3）；（2）①8，②或；（3）或． 【分析】（1）根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）计算即可； （2）①根据定义代入相关点Q坐标（2m﹣x，﹣y）列方程即可求出m和P、Q坐标，由此求出三角形面积； ②构造图形根据A（x，6）的位置用x表示出△APQ的面积，列不等式求解即可； （3）根据定义可得点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标，由到y轴的最大距离为m+8列方程即可解答． 【详解】解：（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3）， 则：2m﹣x=2-2=0，-y=-3， ∴点Q坐标为（0，﹣3）， （2）若点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），则且它的相关点Q坐标为（2m，﹣y）， 又相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）． ∴，解得：， ∴ ∴P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ①如图1，过Q点作NQ垂直于y轴，垂足为N，由图可知：OP=4，NQ=4， ∴ ②点A在y轴左侧时，如图1，过点A作AT⊥x轴，过点Q作TQ⊥y轴，AT、TQ交于点T，TQ交y轴于N， ∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ∴，,，，， ∵，即， ∴，即， ∵△APQ的面积大于△OPQ的面积， ∴， ∴， 当点A在y轴右侧时，如图2，过点A作AM⊥y轴，过点Q作NQ⊥y轴，垂足分别为M、N， ∵A（x，6），P点坐标为（0，4），Q坐标为（4，﹣4）， ∴，,，，， ∵，即， ∴，即， ∵△APQ的面积大于△OPQ的面积， ∴， ∴， 综上所述：存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，x的取值范围为：或． （3）∵2m-(-m-3)=3m+3 ∴点P（﹣m﹣3，4）的相关点Q坐标为（3m+3，-4）， I、当Q坐标到y轴的距离为最大值m+8时， 则， 解得：或． 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为， 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为， II、若P坐标到y轴的距离为最大值m+8时， 则：， 解得：． 若，则P点坐标为，Q点坐标为， 此时P、Q两点到y轴的距离最大值为，不合题意舍去； 综上所述：或时Q点到y轴的距离为最大值m+8． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形和一元一次不等式应用，解题关键是理解相关点定义，灵活运用相关知识解决问题，难点是构造图形求三角形面积和分类讨论． 20．在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为1，求的值； (3)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)2； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义求解即可； （2）根据“短距”的定义得出方程求解即可； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程与，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为2，5， ∴“短距”为2， 故答案为：2； （2）点的“短距”为1， ， ∴，， 解得：或； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4， ∴当时，即或时，， ∴或， 解得或； 当时，即时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所诉，或． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”． (1)已知点的“级关联点”是点，则点的坐标为 ___________； (2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点H，使轴，且，直接写出H点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义，计算即可； （2）根据新定义，计算坐标，后令纵坐标为0计算即可； （3）根据坐标特点，两点间的距离公式计算即可． 本题考查了新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）∵点的“级关联点”是点， 则点的坐标为即, 故答案为：． （2）点的“级关联点”N位于x轴上， 则点的坐标为即, ∴, 解得， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ∵轴，且， 设， ∴， 解得， ∴或． 22．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料： 在x轴上有两个点它们的坐标分别为和.则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为.如图1，在直角坐标系中的任意两点，，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得，线段的长为.    根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知，，则线段AB的长为________； （2）在平面直角坐标系中，已知，，则线段MN的长为________； （3）若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是________； （4）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求周长的最小值. 【答案】（1）6；（2）13；（3）或；（4） 【分析】（1）根据线段长度计算方法计算即可； （2）根据线段长度计算方法计算即可； （3）设C点坐标为，由勾股定理列出方程，求得b的值，进一步可得C的坐标； （4）找到点A关于y轴的对称点A′（-1，4），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC周长的最小，分别计算AB和A′B的长然后相加即可求解． 【详解】解：（1）. 因为，的横坐标相同，也可以直接用|a-c|求：|-1-5|=|-6|=6， 故答案为6； （2）. 故答案为13； （3）设C点坐标为， 则在Rt△OCD中，， 解得. 所以C的坐标为或. （4）设A点关于y轴的对称点为A′，则点A′的坐标为，当C点为A′B与y轴的交点时，的周长最小，因为AC= A′C，所以的周长.   . . 所以的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了两点间的距离计算方法，也考查了勾股定理的应用和最短路径问题，解题关键是能根据点的坐标，利用两点间的距离公式求出线段的长度. 23．【初步探究】 （1）如图①，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，、判断的形状，并说明理由； 【解决问题】 （2）如图②，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法； 【拓展应用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是________； （4）如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是_________．[注：在平面直角坐标系内，，，则] 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）或或；（4） 【分析】（1）证明，即可求解； （2）以点D为圆心，CP为半径作弧，交AD于点F，以点C为圆心，DP为半径作弧，交BE于点E，连接EF、EP、FP，点E、F即为所求； （3）分、、，三种情况，利用全等三角形的性质和判定进行求解； （4）求出，利用两点之间距离公式表示出，理解为求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】（1）是等腰直角三角形， 证明：∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）如图，点、即为所求， （3）①如图，当，时，过点C作于点F，过点B作于点E， ∵，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当，时，过点B作于点E，过点C作于点F， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③如图，当，时，过点C作于点D，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 综上：点C的坐标是或或； （4）如图，作于点H， 设点C坐标是， 由（1）知：，， ∴， 则， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上找一点，使点P到点M到点Q的距离和最小， 作点M关于直线的对称点， ∵， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查平面直角坐标系和几何综合，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点坐标的求解，利用数形结合的思想去求解． 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$