专题04 椭圆与双曲线（6题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题04 椭圆与双曲线 题型1 椭圆的方程 1、（2023上·海东市·高二期中）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·西宁市·高二期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·西宁市·高二期中）中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 5、（2023上·大通县·高二期中）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 6、（2023上·海东市·高二期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 7、（2023上·大通县·高二期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 题型2 椭圆的性质 1、（2023上·大通县·高二期中） 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·海东市·高二期中）已知椭圆的右顶点为，下顶点为，为坐标原点，且点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ） A. 长轴为6 B. 短轴为4 C. 焦距为 D. 离心率为 4、（2023上·海东市·高二期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． （1）若，求取值范围； （2）若，求的面积． 5、（2023上·海东市·高二期中）已知的长轴长为4，短轴长为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值． 6、（2023上·西宁市·高二期中） 已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且，求的面积． 题型3 双曲线的方程 1、（2023上·大通县·高二期中） 已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 题型4 双曲线的性质 1、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. C. D. 2、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知以坐标原点为中心，焦点在坐标轴上的双曲线C过点，且其中一条渐近线的倾斜角为，则下列结论正确的是（ ） A. C的离心率为 B. 双曲线C与椭圆有相同的焦点 C. 直线与C有两个公共点 D. 直线经过C的一个顶点 3、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为___________. 题型1 直线与椭圆相交 1、（2023上·西宁市·高二期中）已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为___________. 2、（2023上·西宁市·高二期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 3、（2023上·大通县·高二期中）已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 题型2 双曲线中的最值 1、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． （1）求双曲线方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 椭圆与双曲线 题型1 椭圆的方程 1、（2023上·海东市·高二期中）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可. 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的方程为，则，， 所以椭圆方程为. 故选：C. 2、（2023上·西宁市·高二期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 3、（2023上·西宁市·高二期中）中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】设该磁盘所在椭圆的标准方程为， 由题意易知该椭圆的长轴长为，短轴长为， 故焦距为. 故选：B 4、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆中焦距的定义即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 5、（2023上·大通县·高二期中）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案． 【详解】解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即． 故答案为：． 6、（2023上·海东市·高二期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解. 【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴由，解得：或， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 7、（2023上·大通县·高二期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 【答案】（1）+=1或+=1；（2）+=1 【解析】 【分析】（1）设出椭圆的方程，根据a，c的值求出b的值，求出椭圆的标准方程即可； （2）设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程． 【详解】解：（1）设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0）， 由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4， 故b2=a2-c2=25-16=9， 故椭圆的方程是：+=1或+=1； （2）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0， ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b， ∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18． 故所求椭圆的方程为+=1． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用,属于基础题． 题型2 椭圆的性质 1、（2023上·大通县·高二期中） 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆方程求得，，，计算即可得离心率. 【详解】因为，，所以，故离心率． 故选：A. 2、（2023上·海东市·高二期中）已知椭圆的右顶点为，下顶点为，为坐标原点，且点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的方程，然后利用点到直线的距离可得到，即可求解 【详解】由题意知，， 所以直线的方程为即， 所以点到直线距离为，所以， 所以． 故选：B． 3、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ） A. 长轴为6 B. 短轴为4 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可. 【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为. 所以A、B、D对，C错. 故选：ABD 4、（2023上·海东市·高二期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点． （1）若，求取值范围； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，设，应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围； （2）由椭圆定义及余弦定理求得，利用三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由题设，则， 设，故， 所以，又，且， 则. 【小问2详解】 由题设，， 由，且， 所以， 综上，. 5、（2023上·海东市·高二期中）已知的长轴长为4，短轴长为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的长轴长为4，短轴长为2，得到，写出椭圆方程. （2）设点，易知，由OH垂直于直线PB，得到，，两方程联立求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，短轴长为2， 所以， 所以椭圆C的标准方程是； （2）设点，因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点， 所以， 则， 因为直线OH垂直直线PB， 所以，则， 又， 则， 解得， 因为，则， 解得， 所以直线OH与直线AP的交点M的横坐标为定值． 6、（2023上·西宁市·高二期中） 已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 所以. 题型3 双曲线的方程 1、（2023上·大通县·高二期中） 已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立的方程，求出即可得到结果． 【详解】根据题意得到：，得，故方程为： 故选：D 【点睛】方法点睛：求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用． 题型4 双曲线的性质 1、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果. 【详解】设，，， 由双曲线的定义知：， ∴，a=m， ∴有，解得， ∵在和中，， ∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为． 故选：C. 2、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知以坐标原点为中心，焦点在坐标轴上的双曲线C过点，且其中一条渐近线的倾斜角为，则下列结论正确的是（ ） A. C的离心率为 B. 双曲线C与椭圆有相同的焦点 C. 直线与C有两个公共点 D. 直线经过C的一个顶点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，求出一条渐近线，设出双曲线方程为，代入得到双曲线方程，得到离心率；B选项，求出椭圆的焦点坐标，作出判断；C选项，联立直线和双曲线方程，由的正负作出判断；D选项，求出直线所过定点坐标，从而得到D正确. 【详解】由题意得到双曲线的一条渐近线的斜率为， 故双曲线C的一条渐近线为． 设C：．代入，得． 因此双曲线C的方程为，焦点在y轴上，且，，则， 故离心率，故A项不正确； 椭圆的焦点坐标为和，故B项正确； 联立，整理得，则， 所以直线 与C有且只有一个公共点，故C项不正确； 直线，，即，， 该直线必过点，即过双曲线C的下顶点，故D项正确． 故选：BD 3、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件设点A和B的坐标，带入双曲线方程即可. 【详解】由于 ，不妨设点A的坐标为， 点B的坐标为，有，解得， 又由，，有， 解得，， 将点B的坐标代入双曲线方程，有， ， 解得， 双曲线C的离心率为 =； 故答案为： . 题型1 直线与椭圆相交 1、（2023上·西宁市·高二期中）已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为___________. 【答案】7x+8y-22=0 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法可求直线方程. 【详解】由已知可得椭圆的半焦距c=3，又短轴为长轴的， 故，故，故椭圆方程为， 设弦的两端点为，， 则有，两式相减得. 整理得， 所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得. 故答案为： 2、（2023上·西宁市·高二期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长 3、（2023上·大通县·高二期中）已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标； （2）设A､B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围. 【详解】（1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2 ∴ 即可得：， ∴焦点坐标为. （2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0), 联立，消去x的： ∴ ∴ ∵为锐角，∴，即 ∴ 解得：. ∴实数m的范围 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 题型2 双曲线中的最值 1、（2023上·大通县·高二期中）已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． （1）求双曲线方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【小问1详解】 的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$