专题05 利用一元一次方程解决实际问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题05 利用一元一次方程解决实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、古代问题 1 类型二、销售问题 3 类型三、方案问题 4 类型四、水电费问题 6 类型五、数轴上的行程问题 9 压轴能力测评 10 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、古代问题 【例1】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 尺． 【变式1-1】《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【变式1-2】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有 只，兔有 只． 【变式1-3】《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 类型二、销售问题 【例3】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【例4】某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【变式2-1】小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 【变式2-2】小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【变式2-3】某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 类型三、方案问题 【例5】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【例6】元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 【变式3-1】2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【变式3-2】在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价： 甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折． 乙工厂 5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个． (1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由． (2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？ 【变式3-3】新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 类型四、水电费问题 【例7】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【例8】聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 【变式4-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【变式4-2】某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 【变式4-3】为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 类型五、数轴上的行程问题 【例9】如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【例10】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点B表示的数是 ； （2）运动1秒时，点P表示的数是 ； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇． 【变式5-1】已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【变式5-2】如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)点所对应的数 ． (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，此时点所对应的数为 ． (3)当点到点的距离之和最小时，此时的最小值为 ． (4)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后，点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数 ． 【变式5-3】（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ 1．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 2．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 3．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过20吨的部分 1.9 超过20吨但不超过30吨的部分 2.8 超过30吨的部分 3.7 注意：另外每吨用水加收0.95元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水18吨，共需交纳水费18×（1.9+0.95）=51.3元；3月份用水22吨，共需交纳水费元． (1)该用户4月份用水20吨，共需交纳水费多少元？该用户5月份用水30吨，共需交纳水费多少元？ (2)该用户6月份共交纳水费87元，则该用户6月份用水多少吨？ 4．列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售． 5．《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： A套餐 B套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元/分钟 超出后流量收费 3元/，不足1按1 收费 【问题解决】若某用户目前使用A套餐． 任务1：12月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为（为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 6．为了缓解用电紧张，某电力公司制订了新的用电收费标准，爱思考的李明根据电力公司制订的收费标准，绘制了如下的计算程序转换机示意图： (1)李明家10月份用电190度，则应缴纳电费____元； (2)李明家6月份用电（）度，则李明家6月份应缴纳电费____元（用含x的代数式表示，并化成最简形式）； (3)李明家12月份缴纳电费265元，求出李明家12月份的用电量． 7．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 8．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 9．徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 10．已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 11．为鼓励市民节约能源，某电力公司出台了新的用电收费标准如下： 月用电量（单位：度） 不超过210度 超过210度的部分 收费标准（单位：元） 元/度 元/度 请根据以上的收费标准回答下面的问题： (1)若小林家4月份的用电量为180度，则小林家4月份应付电费为：______元； (2)若小林家6月份的用电量为度，请你用含的代数式表示小林家6月份应付的电费为：______元； (3)若小林家8月份付电费181元，请求出小林家8月份的用电量． 12．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 13．元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用一元一次方程解决实际问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、古代问题 2 类型二、销售问题 3 类型三、方案问题 7 类型四、水电费问题 11 类型五、数轴上的行程问题 15 压轴能力测评 20 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、古代问题 【例1】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设箭尺每小时上升，则可列方程， 故选：A． 【例2】《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 尺． 【答案】6.5 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 答：木头长6.5尺． 故答案为：6.5 【变式1-1】《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】A 【详解】设人数为人，可列方程， 如果设羊价为元，可列方程， 则甲对，乙错． 故选：A． 【变式1-2】我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有 只，兔有 只． 【答案】 23 12 【详解】解：设鸡有只，则兔有只， 根据题意得：， 解得：， ， 鸡有23只，兔有12只． 故答案为：23，12． 【变式1-3】《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 类型二、销售问题 【例3】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【答案】B 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得：； 设赔了的商品进价为元， 则，解得：， ， 即这次买卖过程中，商人赔了40元， 故选：B． 【例4】某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1) (2)店长说法正确 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 【变式2-1】小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 【答案】(1)甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元 (2)商店在这次销售中获得的总利润为64元 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价为x元， ∵甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴乙商品的进货单价为元， ∵甲商品的零售单价比进货单价多3元， ∴甲商品的零售单价为元， ∵乙商品的零售单价比进货单价多50%， ∴乙商品的零售单价为 ∵按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元， ∴ 解得， 经检验：符合题意， ∴甲商品的零售单价为元，乙商品的零售单价为元， 答：甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元； （2）解：∵甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多50%，且甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴甲商品的每件利润为3元，乙商品的每件利润为元， ∴商店在这次销售中获得的总利润为元， 答：商店在这次销售中获得的总利润为64元 【变式2-2】小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【答案】 【详解】解：设第一次购买B种坚果数量为x， ∴第一次购买A种坚果的数量为： ∴第二次购买A种坚果数量为： ∴第二次购买坚果的总数量为：， ∴第二次购买B种坚果个数量为： 设A种坚果单价为a元，B种坚果单价为b元，依题意得： 化简得： ∴ ∴B坚果的单价与A坚果的单价的比值是， 故答案为：． 【变式2-3】某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 【答案】(1)，； (2)； (3)折． 【详解】（1）解：由题意得，甲供应商所需支付的钱数为元，乙供应商所需支付的钱数为元， 故答案为，； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当时，去两个供应商处的进货价钱一样多； （3）解：由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元， 设第二次销售剩余五分之三时打折销售， 由题意得，， 整理得，， 解得， 答：第二次销售剩余五分之三时需打折销售． 类型三、方案问题 【例5】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 【例6】元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 【答案】(1)他们一共去了8个成人，4个学生 (2)购团体票更省钱 【详解】（1）解：设成人人数为人，则学生人数为人， 根据题意得：， 解得：， ． 答：他们一共去了8个成人，4个学生． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元）， ， 购团体票更省钱． 答：购团体票更省钱． 【变式3-1】2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 【变式3-2】在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价： 甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折． 乙工厂 5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个． (1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由． (2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？ 【答案】(1)甲工厂单独承包合适，理由见解析 (2)当或时，甲乙工厂的收费相同 【详解】（1）解：甲工厂单独承包合适，理由如下： 甲工厂费用： （元）， 乙工厂费用： （元） ∵， ∴甲工厂单独承包合适； （2）解：根据题意可知，当时，两个工厂的单价均为1．5元/个，即此时甲乙工厂的收费相同； 当时，超过5000的部分，甲工厂单价便宜，此时不可能两个工厂收费相同， 当时，依题意有：， 解得． ∴当或时，甲乙工厂的收费相同． 【变式3-3】新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)1000，960 (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元 【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为元， 在乙店购买球拍和球的总费用为元， 故答案为：1000，960； （2）设学校计划购买乒乓球盒， 由题意得： 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需元， 在乙店购买另外10盒乒乓球需元， 总费用为元， 答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元． 类型四、水电费问题 【例7】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【答案】(1)五，； (2)他家七月份的用电量是306度． 【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度， 元， （2）解：∵， ∴用电量大于200度， 设用电量为x度，由题意得， ， 解得：， 答：他家七月份的用电量是306度． 【例8】聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 聪聪家 用户 输入（） 8 15 18 25 输入（） 输出（元） 24 a 60 b 输出（元） (1)根据该程序转换机计算表中a、b的值； (2)当时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为_____； (3)小丽家比小明家用水量多，水费多44元，则小丽家该月用水多少？ 【答案】(1)， (2) (3)小丽家该月用水 【详解】（1）解：刘奶奶家的水费为（元）， 聪聪家的水费（元）， 故，； （2）解：根据水费计算程序转换机示意图得： 当时，月应缴纳水费(元)用x的代数式表示为． （3）解：设小明家用水量为，则小丽家家用水量为， 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， 由得 ； 当时，， 则小明家应缴纳水费为元，小丽家应缴纳水费为元， ∵， ∴不合题意，舍去； 故． 答：小丽家该月用水． 【变式4-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【详解】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 【变式4-2】某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)2450；9050； (2) (3)元 【详解】（1）解：元，元， 故答案为：2450；9050； （2）解：元， ∴按照标准报销的金额为元； （3）解：设该农民当年实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：该农民当年实际医疗费为元． 【变式4-3】为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 【答案】(1)156度 (2) (3)；； 【详解】（1）解：∵， ∴该户居民2月份用电量低于200度， ∵度， ∴该户居民2月份用电156度； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：由题意得，当用电量不超过200度时，应缴电费元； 当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费元； 当用电量超过400度时，应缴电费元． 类型五、数轴上的行程问题 【例9】如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 【例10】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点B表示的数是 ； （2）运动1秒时，点P表示的数是 ； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇． 【答案】（1） （2）2 （3）8 【详解】（1）解：点A表示的数为4，点是数轴上在点A左侧的一点，且A、两点间的距离为8， 点B表示的数为， 故答案为：； （2）动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动1秒时，点运动了个单位长度， 此时点表示的数为， 故答案为：2 （3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意得， 解得：， 当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇， 故答案为：8． 【变式5-1】已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40 (2) 【详解】（1）解：M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 【变式5-2】如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)点所对应的数 ． (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，此时点所对应的数为 ． (3)当点到点的距离之和最小时，此时的最小值为 ． (4)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后，点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数 ． 【答案】(1)1 (2)或 (3)4 (4)或 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， 当点在点中间时，，不符合题意； 当点在点左边时，， ∴， 解得，； 当点在点的右边时，， ∴， 解得，； 故答案为：或； （3）解：根据（2）中的计算方法可得，当点到点的距离之和最小，此时最小值为， 故答案为：； （4）解：点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度， ∴点出发秒时对应的数为：， 设此时运动时间为秒， ∴秒时点对应的数为：，点对应的数为：， 当点在点左边时，， 解得，， ∴此时，点对应的数为：，点对应的数为：； 当点在点右边时，， 解得，， ∴此时，点对应的数为：，点对应的数为：； 综上所述，点分别对应的数为或， 故答案为：或． 【变式5-3】（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ 【答案】（1）12，6；（2）；（3）或秒 【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， 则一个玩具火车长为． ∴点A处的数字是，， 故答案为：12，6； （2）根据题意可得：，， 设的长为m， ∴， 整理得：． 故答案为：； （3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12， ∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为， 由题意可知，或， 解得：或， ∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位． 1．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 2．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 3．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过20吨的部分 1.9 超过20吨但不超过30吨的部分 2.8 超过30吨的部分 3.7 注意：另外每吨用水加收0.95元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水18吨，共需交纳水费18×（1.9+0.95）=51.3元；3月份用水22吨，共需交纳水费元． (1)该用户4月份用水20吨，共需交纳水费多少元？该用户5月份用水30吨，共需交纳水费多少元？ (2)该用户6月份共交纳水费87元，则该用户6月份用水多少吨？ 【答案】(1)该用户4月份共需交纳水费57元，5月份用水共需交纳水费94.5元； (2)该用户6月份用水28吨 【详解】（1）解：4月份共需交纳水费：（元）， 5月份共需交纳水费：（元）． 答：该用户4月份共需交纳水费57元，5月份用水共需交纳水费94.5元． （2）解：， ∴6月份用水超过20吨不超过30吨， 设6月份实际用水x吨， ， 解得：． 答：该用户6月份用水28吨． 4．列一元一次方程解实际问题：重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如下表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元？ (2)该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售． 【答案】(1)该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利元 (2)第二次纽荷尔是按原价打折销售 【详解】（1）解：设超市购进沃柑件，则购进纽荷尔件，由题意，得： ， 解得：， ∴； ∴该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件； 全部售出的利润为：（元）； 答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件，全部销售后，共获利元． （2）设第二次纽荷尔是按原价打折销售，由题意，得：第二次购进沃柑150件，纽荷尔300件，由题意，得： ， 解得：； 答：第二次纽荷尔是按原价打折销售． 5．《如何选择合适的话费套餐》 【背景素材】 某通信运营商提供融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下： A套餐 B套餐 每月基本服务费 169元 199元 每月免费国内通用流量 每月免费国内通话时间 800分钟 1000分钟 超出后通话收费 0.15元/分钟 超出后流量收费 3元/，不足1按1 收费 【问题解决】若某用户目前使用A套餐． 任务1：12月全家使用流量，通话时长850分钟，请计算该用户12月份的套餐费用． 任务2：该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大．视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为（为正整数）． （1）请表示该用户每月所需支付的费用． （2）请计算说明，该用户何时需要调整套餐． 【答案】任务1：该用户12月份的套餐费用为元 任务2：（1）该用户每月所需支付的费用为元 （2）每月使用流量为时，需要调整套餐 【详解】任务1： 解：（元）； 答：该用户12月份的套餐费用为元． 任务2： 解：（1）元； 答：该用户每月所需支付的费用为元； （2）由题意得：， 解得：， 由于m为正整数，故， 答：每月使用流量为时，需要调整套餐． 6．为了缓解用电紧张，某电力公司制订了新的用电收费标准，爱思考的李明根据电力公司制订的收费标准，绘制了如下的计算程序转换机示意图： (1)李明家10月份用电190度，则应缴纳电费____元； (2)李明家6月份用电（）度，则李明家6月份应缴纳电费____元（用含x的代数式表示，并化成最简形式）； (3)李明家12月份缴纳电费265元，求出李明家12月份的用电量． 【答案】(1)95 (2) (3)410度 【详解】（1）解：元， 即应缴纳电费95元． 故答案为：95； （2）， 即李明家6月份应缴纳电费元． 故答案为：； （3）∵， ∴李明家12月份的用电量超过210度， 则有， 解得度． 答：李明家12月份的用电量为410度． 7．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 8．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 【答案】(1)方案二 (2)63人 【详解】（1）解：∵方案一：（元）， 方案二：（元）， ∴选择方案二． 故答案为：方案二； （2）解：设一班有x人，根据题意得： ， 解得：， 答：一班有63人． 9．徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 10．已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【答案】(1) 按方案一购买时所需的费用为元；按方案二购买时所需的费用为元； (2)按方案二购买更省钱； (3)当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 答：按方案一购买所需费用为元，按方案二购买所需费用为元； （2）当时，（元； （元． ， 该顾客按方案二购买更省钱； （3）根据题意得：， 解得：． 答：当购买240个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多． 11．为鼓励市民节约能源，某电力公司出台了新的用电收费标准如下： 月用电量（单位：度） 不超过210度 超过210度的部分 收费标准（单位：元） 元/度 元/度 请根据以上的收费标准回答下面的问题： (1)若小林家4月份的用电量为180度，则小林家4月份应付电费为：______元； (2)若小林家6月份的用电量为度，请你用含的代数式表示小林家6月份应付的电费为：______元； (3)若小林家8月份付电费181元，请求出小林家8月份的用电量． 【答案】(1)90 (2) (3)小林家8月份的用电量为305度 【详解】（1）解：∵， ∴小林家4月份的用电量为180度，则小林家4月份应付电费为元， 故答案为：90； （2）解：由题意得，小林家6月份应付的电费为元， 故答案为：； （3）解：∵， ∴小林家8月份用电量大于210度， 设小林家8月份用电量为t度， 由题意得，， 解得， 答：小林家8月份用电量为305度． 12．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)40箱 【详解】（1）解：填表如下： 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x B （2）解：由题意得， 解得， ∴（箱）， 答：该校此次购买40箱B品牌牛奶． 13．元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析 (2)300元 (3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元 【详解】（1）解：（元），（元）， ， ∴选择活动一更合算； （2）解：设这件服装的原价为x元， 若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴这件服装价格在200元以上，400元以下． ， 解得， ∴这件服装的原价是300元； （3）解：，， 最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式， 需付款的金额为：（元）， 答：最优惠的付款金额为596元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$