1.2 有理数及其大小比较-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册原卷版+解析版

第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 【思维导图+课前自测+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年10月 第一部分 思维导图 第二部分 课前自测 自测题目 自测1：如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足 (1)求线段，的长； (2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 自测2：如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 自测3：如图所示，观察数轴，请回答． （1）点C与点D的距离为 ，点B与点D的距离为 ；点B与点E的距离为 ，点C与点A的距离为 ； （2）发现：在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，则它们之间的距离可表示为MN= （用m，n表示）； （3）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： ①数轴上表示x的点P与 B之间的距离是1，则x的值是 ； ②|x+3|=2，则x= ； ③数轴上是否存在点P，使点P到点B、点C的距离之和为11？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 自测4：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究归纳：数轴上表示5和2的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4；则数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是______； 结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)应用： ①表示为数轴上数______和数_____两点之间的距离；表示为数轴上数______和数_______两点之间的距离． ②当|a﹣4|+的值最小时，a的取值范围______，最小值是______． 自测答案 自测1：(1)， (2)或 (3)，为定值． 【分析】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． （1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解； （3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解． 【详解】（1） 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2） 若6秒后，在点左边时，，，， 由， 即， 解得， 若6秒后，在点右边时，， 则， 即， 解得， 综上所述，或 （3） 运动t秒后 ，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，为定值． 自测2：(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 自测3：（1）3，2，4，7；（2）或；（3）①-3或-1；②-5或-1；③存在，x的值为-5或6 【详解】解：（1）观察数轴可得：点C与点D的距离为3，点B与点D的距离为2； 点B与点E的距离为4，点C与点A的距离为7； 故答案为：3，2；4， 7； （2）观察数轴并结合（1）中运算可得MN=|m-n|＝； 故答案为：或； （3）①由（1）可知，数轴上表示x和﹣2的两点P与B之间的距离是1，则|x+2|＝1，解得x＝﹣3或x＝﹣1． 故答案为：﹣3或﹣1． ②|x+3|＝2，即x+3＝2或x+3＝﹣2， 解得x＝﹣1或﹣5， 故答案为：﹣5或﹣1． ③存在．理由如下： 若P点在B 点左侧，﹣2﹣x+3﹣x＝11，解得x＝﹣5； 若P点在B、C之间，x+2+3﹣x＝11，此方程不成立； 若P点在C点右侧，x+2+x﹣3＝11，解得x＝6． 答：存在．x的值为﹣5或6． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义及一元一次方程在数轴问题中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键． 自测5：(1)7 (2)①a，4；a，-1；②，5 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式解答即可； （2）①根据（1）的结论解答；②结合线段的知识解答． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7， 故答案为7； （2）解：①由（1）的结论可知，表示为数轴上数a和数4两点之间的距离；表示为数轴上数a和数-1两点之间的距离, 故答案为a，4；a，-1； ②由线段的知识可得，当一个点在线段上且在线段两端点之间时，这个点到线段两端点的距离和最小， ∵+表示点a到点4和点-1两点的距离和， ∴当时，|+的值最小，且最小值为 故答案为，5． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上点与数的对应关系、两点之间的距离及绝对值的意义是解题关键 ． 第三部分 知识精讲 1．有理数 （1）有理数的分类： ①按有理数的性质分类：； ②按有理数的定义分类：． （2）整数与分数对应，正数与负数对应，零既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数．在习惯上我们将正有理数和零称为非负有理数，将负有理数和零称为非正有理数，将正整数和零称为非负整数，将负整数和零称为非正整数． （3）所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合． （4）因为小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 2．数轴 （1）数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，… （2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度． （3）数轴的画法： ①画一条水平的直线． ②在直线上适当选取一点为原点． ③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）． ④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示： 3．相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0． （2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0． （3）相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0． （4）多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 4．绝对值 （1）绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． （2）绝对值的代数定义： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0． 即： 或 ． （3）绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． 第四部分 名师讲堂+典型例题（五大考向） 【考向1】有理数的概念和分类 自学笔记： 1．按整数和分数的关系分类： （1）整数：正整数、0、负整数 （2）分数：正分数、负分数 2．按正数、0和负数的关系分类： （1）正有理数：正整数、正分数； （2）0； （3）负有理数：负整数、负分数 命题方向： 1．正确识别有理数． 2．将有理数按要求分类． 3．考查有理数的规律探究． 名师点拨： 1．只要是整数或分数，就一定是有理数．不是分数． 2．分数可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数都能化为分数．无限不循环小数不能化为分数，因而无限不循环小数不是有理数，如圆周率π不是有理数． 3．有理数的分类标准必须一致，要么按定义分成整数和分数，要么按性质分成正有理数、0、负有理数，两者不能混在一起． 典型例题 例题1：下列数中既是分数又是负数的是（　　） A．5.2 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 【分析】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义与特点是解答本题的关键；注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数，也不是负数．按照有理数的分类解答即可． 【答案】D 【解析】A，5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；B，0是整数，故本选项不合题意；C，﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；D，﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．故选D． 【考向2】数轴 自学笔记： 1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2．数轴的三要素为：原点、正方向、单位长度． 3．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数–a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 命题方向： 1．数轴上点的运动． 2．数轴在实际问题中的应用． 名师点拨： 1．画数轴时，三要素缺一不可，且单位长度要统一． 2．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数（如数轴上点可以表示π，但π不是有理数）． 典型例题 例题2：下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1.5 D．﹣3 【分析】此题考查数轴，掌握到原点距离最近的点就是绝对值最小的点，到原点距离最远的点就是绝对值最大的点是解题的关键．根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【答案】D 【解析】A，2到原点的距离是2个长度单位，不符合题意； B，1到原点的距离是1个长度单位，不符合题意； C，﹣1.5到原点的距离是1.5个长度单位，不符合题意； D，﹣3到原点的距离是3个长度单位，符合题意； ∴在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是﹣3．故选D． 【考向3】相反数 自学笔记： 1．几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数． 2．代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数． 3．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0． 命题方向： 1．理解相反数的概念． 2．利用相反数的概念求值． 名师点拨： 1．“0的相反数是0”，是定义的一部分，不能漏掉． 2．相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数． 典型例题 例题3：数轴上表示数为a和a﹣4的点到原点的距离相等，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．不存在 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．根据相反数的几何意义可知：a与a﹣4互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【答案】B 【解析】由题意知：a与a﹣4互为相反数，∴a+a﹣4＝0，解得：a＝2．故选B． 【考向4】绝对值 自学笔记： 1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值的意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 命题方向： 1．与绝对值有关的计算． 2．绝对值的实际应用． 名师点拨： 1．任何数的绝对值都不小于它本身，即． 2．含有绝对值的加、减、乘、除运算，先按照“正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”的原则将绝对值符号去掉，然后再进行加、减、乘、除运算． 3．任何数都有唯一的绝对值，绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数． 4．互为相反数的两个数的绝对值相等． 典型例题 例题4：【精讲14】实数a的绝对值是，a的值是（　　） A． B． C．± D．± 【分析】根据绝对值的意义直接进行解答 【答案】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【解析】∵|a|，∴a＝±．故选D． 【考向5】有理数大小的比较 自学笔记： 1．在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数；即正数大于0，0大于负数，正数大于负数． 2．异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小．利用绝对值比较有理数的大小时，正数的绝对值越大，该数就越大；负数的绝对值大，该数就越小． 命题方向： 1．利用数轴比较有理数的大小． 2．利用绝对值比较有理数的大小． 名师点拨： 1．利用法则比较有理数的大小：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．利用数轴比较有理数的大小：先将要比较的有理数在数轴上表示出来，再根据“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大”求解． 典型例题 例题5：将下列各数表示在数轴上，并用“＞”连接． 5，﹣2，3，，0． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识、比较有理数的大小，找出各点在数轴的位置是解题的关键．首先画出数轴表示出各点，然后根据右边的数大于左边的数比较即可． 【答案】． 【解析】如图所示： 由数轴上右边的数大于左边的数可知：． 第五部分 高频真题 一、单选题 1．的相反数是（　　） A． B． C． D．2 2．若，则的值为（   ） A．或 12 B．或2 C．12或2 D．或 3．若，，，且，，则（    ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 4．若m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数，则的值为（　　） A． B． C．1 D．13 5．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．下列数中，正有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在，，0，， ，，，，中，分数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 8．如果与互为相反数，那么x的值是（    ） A． B． C． D． 9．在数中，负分数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若，则的取值不可能是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 11．下列各数中：，0，12，0.5，最小的数是（　　　） A．0.5 B．0 C．12 D． 二、填空题 12．在3.1415926，，0，，0.44444…，，5.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），有理数的个数有 个． 13．如图是一个正方体的表面展开图．若正方体中相对的面上的数互为相反数，则 ． 14．若与互为相反数，则的值为 ． 15．如图，数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么线段的长度为 ． 16．若，那么的值是 ． 17．若，则的值是 ． 18．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则 ． 19．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是 ． 20．已知和是同类项，则的值为 ． 21．已知有理数x、y满足等式，那么 ． 22．已知数轴上点A表示，点表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为，则点B表示的数是 ． 三、解答题 23．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 24．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 25．出租车司机小李某天下午在东西走向的人民大道上开车如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远 (2)若汽车耗油量为每千米耗油0.06升，这天下午小李共耗油多少升 26．一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶，这辆出租车连续送客次，其中次向东行驶，次向西行驶，向东每次行驶，向西每次行驶． (1)该出租车连续次送客后，停在何处？ (2)该出租车一共行驶了多少千米的路程？ 27．卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下(单位：米)：． (1)上面给出的数据中有一对相反数是：______； (2)守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； (3)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ 28．如图，已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，其中，a、c满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动．    (1)求a、c的值． (2)点P开始运动后，若点P到A点的距离是其到B点距离的2倍，求此时点P所对应的数． (3)当点P运动12秒时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒钟时，P、Q两点之间距离为6． 29．某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻．某天他从岗亭出发，晚上停留在处．规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)在岗亭何方？通过计算说明距离岗亭多远？ (2)在岗亭东面千米处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站______次． (3)若摩托车每行千米耗油升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？ 30．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 31．如图： (1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、； (2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______； (3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______； (4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______． (5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：． 32．小明利用业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 七 平均成绩变化/环 (1)本周哪一天的平均成绩最高？它是多少环？请直接写出结论； (2)本周哪一天的平均成绩最低？它是多少环？请直接写出结论； (3)本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了这是下降了？提高或下降的环数是多少？请说明理由． 33．在数轴上，点，，分别表示有理数，，，且，点，表示互为相反数的两个数，点和点之间的距离为． (1)求点，表示的数； (2)计算的值． 34．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 35．小蜗牛从大树上某点出发，将大树看成一条直线，假设向上爬行的路线记为正数，则小蜗牛爬行的路线依次为：（单位：） ，，，，，，． (1)蜗牛最后是否能回到出发点？ (2)在爬行过程中，如果每爬行1奖励两片叶子，则小蜗牛一共得到几片叶子？ 36．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是AB的中点，且a、b满足|a＋3|＋（b＋3a）2＝0 (1)求点C表示的数； (2)若点P从A点出发向右运动，点M为AP的中点，在点P到达点B之前，求证2BM−BP为定值； (3)点P从A点以每秒2个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒1个单位的速度向左运动，若AP＋BQ＝3PQ，求运动时间t． 37．定义：数轴上，若有理数a，b在的两侧，且到的距离相等，则称a与b是关于的平衡数， 已知有理数x与y是关于的平衡数． (1)与是关于的平衡数吗？是，请证明；不是，请举出反例； (2)已知，对于每一个有理数k，是否总存在有理数m，n，使得与是关于的平衡数？若存在，试探究n，m与k之间的数量关系，并证明：若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．D 【分析】根据题意得出和的值，即可得出结论． 【详解】解：，，且， ，或，， 或， 的值为或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法以及绝对值，根据题意得出、的值是解题的关键． 3．B 【分析】先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，或，，． 当，，时，， 当，，时，， ∴或23． 故选：B 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键． 4．B 【分析】本题考查了相反数，最大负整数是，有理数的乘法，代数式的值，熟练掌握定义计算是解题的关键． 【详解】解：m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数， ∴． ∴． 故选：B． 5．A 【分析】此题考查了利用数轴上的点表示的数判断式子正负，由数轴可知，，根据有理数大小比较法则、有理数加法法则、乘法法则、绝对值的定义依次判断即可．正确掌握有理数大小比较法则、有理数加法法则、乘法法则、绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，故A选项符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：A． 6．B 【分析】根据有理数的分类，求解即可． 【详解】解，下列数中，正有理数为， 个数为2， 故选：B 【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类． 7．B 【分析】根据有理数的分类逐个判断即可求解． 【详解】在，，0，， ，，，，中， ，，，是分数，共4个， 故选：B 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． 8．A 【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】根据题意得：， 去括号得： 移项合并得： 解得：． 故答案为：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题关键是了解步骤：去括号，移项合并，将未知数化为1，求出解． 9．C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数． 【详解】解：在数中，负分数有，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误． 10．B 【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的取值不可能是1， 故选：B． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键． 11．D 【分析】由负数小于 小于正数，可得：＜＜＜ 从而可得答案． 【详解】解：＜＜＜ 最小的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握“负数小于 小于正数．”是解题的关键． 12．5 【分析】根据整数和分数统称为有理数，分数包含有限小数和无限循环小数即可求解． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，分数包含有限小数和无限循环小数， ∴有理数有3.1415926，，0，0.44444…，共5个， ∴有理数的个数有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的概念及其分类是解题的关键． 13． 【分析】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点是解题的关键．根据正方体的展开图中可得“5”与“”是对面，“”与“y”是对面，从而可根据相反数的定义求得x的值及y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵“5”与“”是对面，“”与“y”是对面，正方体中相对的面上的数互为相反数， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】根据相反数的性质得出，根据非负数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，有理数的乘法，求得是解题的关键． 15． 【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动100次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度． 【详解】解：由于 所以第一次跳动到的中点处时， 同理第二次从点跳动到处，离原点的处， 同理跳动100次后，离原点的长度为， 故线段的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 16．1 【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可求出a、b的值，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵|a+1|+（b-2020）2=0， ∴a+1=0，b-2020=0， ∴a=-1，b=2020， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了偶次方及绝对值的非负性，利用绝对值及偶次方的非负性求出a、b的值是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、求代数式的值，根据非负数的性质，求出a，b的值，然后把a，b的值代入代数式，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查解一元一次方程和相反数，先求得方程的解，再根据题意得到方程的解，即可求得答案． 【详解】解：，移项合并同类项得，，系数化为1得，， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴方程的解， 则，解得． 故答案为：． 19． 【分析】根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义． 20． 【分析】根据同类项定义列式解出x的值，代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 将代入得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值． 21． 【分析】由，根据非负数的性质可以求出x和y的值，然后代入x＋y求解． 【详解】∵有理数x、y满足等式， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查非负数绝对值和偶次方的性质即所有非负数都大于等于0，本题是一道基础题． 22．或 【分析】根据距离公式求出点C表示的数，求出相反数即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵， ∴， 或， ∴或， ∵9的相反数是，5的相反数是， ∴点B表示的数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是数轴和相反数，解题的关键是求出点C表示的数． 23．(1)，， (2) (3)不变，值为2，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离： （1）根据绝对值的非负性进行作答即可； （2）根据，则，，即可作答； （3）先用的代数式表示点A，点B，然后得到，，然后得到，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数， 所以， 因为， 所以， 即，； （2）解：因为 所以，， 则； （3）解：不变．理由如下： 依题意，t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为． ∴，， ∴， 即的不随着时间的变化而改变． 24．(1)这架飞机比起飞点高了千米． (2)这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 【分析】（1）本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，将题干中的数据相加求解，即可解题． （2）本题考查绝对值意义，以及有理数加法的实际应用，根据燃油消耗总量飞机上升消耗的燃油飞机下降消耗的燃油列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：（）， 上升记为正，下降记为负， 这架飞机比起飞点高了千米． （2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升）， 飞机下降消耗的燃油为：（升）， （升）， 这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 25．(1)39千米 (2)3.9升 【分析】本题考查正负数，属于基础题，一定要注意所走的总路程为所走路程的绝对值的和． （1）将所走的路程相加可得出小李距下午出发地点的距离． （2）耗油量耗油速率总路程，总路程为所走路程的绝对值的和． 【详解】（1）解：（千米）； 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点39千米； （2）解：（千米）， 则耗油（升）． 答：若汽车耗油量为0.06升/千米，这天下午汽车共耗油3.9升． 26．(1)该车停在出发点西边处 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算的实际应用， （1）根据正负数的意义判断即可； （2）把所行路程相加即可； 掌握正负数的意义以及有理数的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：以向东行驶为正方向，则 ， 即该车停在出发点西边处； （2）， 答：该出租车一共行驶了的路程． 27．(1)与； (2)守门员最后回到了球门线的位置，说明见解析； (3)米． 【分析】（1）根据相反数的定义即可求解； （2）将所有记录数据相加，根据正负数的意义即可求解； （3）将所有数据的绝对值相加即可求解． 【详解】（1）解：，中有一对相反数是：7与-7； 故答案为：7与-7； （2） ， 答：守门员最后回到了球门线的位置； （3） ． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了60米． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的加减混和运算的应用，绝对值的意义，正负数的意义，理解题意列出算式是解题的关键． 28．(1)； (2)点P对应的数是或4； (3)点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间距离为6． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得的值； （2）设秒后，点P的对应的数是：，根据，列式计算可求点P的对应的数； （3）分类讨论：点Q开始运动后秒后，当时，点P对应的数是，点Q对应的数是；当时，点P对应的数是，点Q对应的数是，根据两点间的距离是6，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：； （2）解：设秒后，点P对应的数是：， ∵， ∴， 解得或， 当时，点P对应的数是， 当时，点P对应的数是， 综上所述：点P对应的数是或4； （3）解：点P运动12秒时，点P对应的数是， 设点Q开始运动后秒后，点P对应的数是， ，, 当时，点Q对应的数是；当时，点Q对应的数是， 当时，由题意得， 解得或； 当时，由题意得， 解得或； 综上所述：点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间距离为6． 29．(1)在岗亭西方，距离岗亭千米 (2) (3)该摩托车这天巡逻共耗油升 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （1）将记录的各数直接相加，由它们的和可得出结果； （2）根据每次向东（西）走的路程，可以得出结果； （3）算出各数的绝对值的和就是行驶的总路程，再乘以可得出结果． 【详解】（1）根据题意：， ∵规定向东方向为正， ∴在岗亭西方，距离岗亭千米． （2）第一次向东走千米，从，经过一次， 第二次又向西走千米，从，经过一次， 第三次又向东走千米，从，经过一次， 第四次又向西走千米，从，经过一次， 第五次又向东走千米，从，不经过， 第六次又向西走千米，从，不经过， 第七次又向东走千米，从，不经过， 第八次又向西走千米，从，不经过， 所以巡警巡逻时经过岗亭东面千米处加油站，应该是次． （3）， ， ∴该摩托车这天巡逻共耗油升． 30．(1)二， (2)元 (3)141元 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式求值的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）将代入（2）中的代数式，即可求解； 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 二月份用电量最多， （度）， 故答案：二，； （2）解：由题意得 （元）， 答：小刚家七月份应交纳的电费为元； （3）解：由(2)知，小刚家七月份应交纳的电费为元， 当时， （元）. 答：小刚家七月份应交纳电费约141元. 31．(1)见解析 (2)；； (3) (4) (5) 【分析】（1）在数轴上找出、、、即可； （2）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （3）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （4）根据题意求出与在秒后所表示的数，即可求出、之间的距离； （5）根据数轴比较、、、与的大小关系，然后化简即可． 【详解】（1）如图所示： （2）， ， ， 故答案为：，，； （3）； （4）由题意可知：秒后，点所走的路程为：，点所走的路程为：， 点、所表示的数分别为：，， 此时； （5）由数轴可知：， ∴，，，， ∴ 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值、两点之间的距离公式．解题的关键是理解题意，数形结合． 32．(1)本周二和本周五训练的平均成绩最高，是环 (2)本周日训练的平均成绩最低，是环 (3)本周日的平均成绩和上周日的平均成绩相比提高了，提高了环，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，根据题意得出数量关系，列出算式计算是解题的关键． （1）根据表中数据，跟别计算出本周各天的成绩，再比较即可； （2）根据（1）中的计算结果，即可解答； （3）本周日的成绩减上周日的成绩，若所得的结果为正，则提高，否则，下降． 【详解】（1）解：由表可知， 周一：（环）， 周二：（环）， 周三：（环）， 周四：（环）， 周五：（环）， 周六：（环）， 周日：（环）， ∵， ∴本周二和本周五训练的平均成绩最高，是环． （2）解：由（1）可知：本周日训练的平均成绩最低，是环． （3）解：（环）， 本周日的平均成绩和上周日的平均成绩相比提高了，提高了环． 33．(1)点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为 (2)或 【分析】此题考查的是数轴上两点之间的距离，根据两点的位置分类讨论和掌握相反数的定义是解决此题的关键． （1）根据求出点在数轴上所表示的数，然后根据点和点之间的距离为，分类讨论求出点所表示的数，最后根据点，表示互为相反数的两个数，求出点所表示的数即可求解； （2）由（1）可知，，的值，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 点所表示的数为， 点和点之间的距离为， 当点在点的左侧时，， 解得：， 当点在点的右侧时，， 解得：， 点，表示互为相反数的两个数， 当时，；当时，； 点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为； （2）解：①当，，时， ； ②当，，时， ， 综上，所求代数式的值为或． 34．(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 35．(1)能 (2)112片 【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明蜗牛最后回到出发点； （2）蜗牛一共得到的叶子数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把爬行距离的绝对值相加，再求得到的叶子数． 【详解】（1）解： ， ∴蜗牛最后回到出发点； （2）蜗牛爬行的总路程为： ， （片）， 所以，蜗牛一共得到112片叶子． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数运算的应用、化简绝对值等知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 36．(1)3 (2)见解析 (3)t=6或3 【分析】(1)首先由绝对值及平方运算的非负性，可求得a=−3，b=9，再根据点C是AB的中点，即得点C表示的数； (2)设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是−3+vt，M表示的数是，可得BM与BP，据此即可证得； (3)点P表示的数是−3+2t，点Q表示的数是9−t，由AP+BQ=3PQ，得2t+t=|3t−12|，即可解得． 【详解】（1）解：|a+3|+(b+3a)2=0， a+3=0，b+3a=0， a=−3，b=9， 点C是AB的中点， 点C表示的数是； （2）解：设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是−3+vt， 点M为AP的中点， 点M表示的数是， ，， ， 2BM−BP为定值； （3）解：点P表示的数是−3+2t，点Q表示的数是9−t， AP=2t，BQ=t，PQ=|-3+2t-9+t|=|3t-12| AP+BQ=3PQ， 2t+t=3|3t−12|， 解得t=6或3， 故运动时间为6或3秒． 【点睛】本题考查了绝对值方程的应用，绝对值及平方运算的非负性，数轴与点表示的数，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是掌握用含t的代数式表示点运动后表示的数． 37．(1)不是，反例见解析 (2)存在， 【分析】（1）令，，结合“关于的平衡数”的定义判断即可； （2）根据有理数x与y是关于的平衡数可求出．再根据与是关于的平衡数可得出，再将代入即可得出，得出答案． 【详解】（1）不是． 反例：令，， ∵和0在的两侧，且到的距离相等， ∴此时x和y是关于的平衡数． ∵，， 又∵2和0都在的右侧， ∴此时x和y不是关于的平衡数； （2）∵x与y是关于的平衡数， ∴或， ∴． ∵与是关于的平衡数， ∴或 ∴， ∴， ∴当时，对于每一个有理数k，存在有理数m，n，使得与是关于的平衡数，此时n，m与k之间的数量关系为． 【点睛】本题考查绝对值的意义，整式加减运算的应用．读懂题意，理解“关于的平衡数”的定义是解题关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 【思维导图+课前自测+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年10月 第一部分 思维导图 第二部分 课前自测 自测题目 自测1：如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足 (1)求线段，的长； (2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 自测2：如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 自测3：如图所示，观察数轴，请回答． （1）点C与点D的距离为 ，点B与点D的距离为 ；点B与点E的距离为 ，点C与点A的距离为 ； （2）发现：在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，则它们之间的距离可表示为MN= （用m，n表示）； （3）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： ①数轴上表示x的点P与 B之间的距离是1，则x的值是 ； ②|x+3|=2，则x= ； ③数轴上是否存在点P，使点P到点B、点C的距离之和为11？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 自测4：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究归纳：数轴上表示5和2的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4；则数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是______； 结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)应用： ①表示为数轴上数______和数_____两点之间的距离；表示为数轴上数______和数_______两点之间的距离． ②当|a﹣4|+的值最小时，a的取值范围______，最小值是______． 自测答案 自测1：(1)， (2)或 (3)，为定值． 【分析】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． （1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解； （3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解． 【详解】（1） 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2） 若6秒后，在点左边时，，，， 由， 即， 解得， 若6秒后，在点右边时，， 则， 即， 解得， 综上所述，或 （3） 运动t秒后 ，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，为定值． 自测2：(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 自测3：（1）3，2，4，7；（2）或；（3）①-3或-1；②-5或-1；③存在，x的值为-5或6 【详解】解：（1）观察数轴可得：点C与点D的距离为3，点B与点D的距离为2； 点B与点E的距离为4，点C与点A的距离为7； 故答案为：3，2；4， 7； （2）观察数轴并结合（1）中运算可得MN=|m-n|＝； 故答案为：或； （3）①由（1）可知，数轴上表示x和﹣2的两点P与B之间的距离是1，则|x+2|＝1，解得x＝﹣3或x＝﹣1． 故答案为：﹣3或﹣1． ②|x+3|＝2，即x+3＝2或x+3＝﹣2， 解得x＝﹣1或﹣5， 故答案为：﹣5或﹣1． ③存在．理由如下： 若P点在B 点左侧，﹣2﹣x+3﹣x＝11，解得x＝﹣5； 若P点在B、C之间，x+2+3﹣x＝11，此方程不成立； 若P点在C点右侧，x+2+x﹣3＝11，解得x＝6． 答：存在．x的值为﹣5或6． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义及一元一次方程在数轴问题中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键． 自测5：(1)7 (2)①a，4；a，-1；②，5 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式解答即可； （2）①根据（1）的结论解答；②结合线段的知识解答． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7， 故答案为7； （2）解：①由（1）的结论可知，表示为数轴上数a和数4两点之间的距离；表示为数轴上数a和数-1两点之间的距离, 故答案为a，4；a，-1； ②由线段的知识可得，当一个点在线段上且在线段两端点之间时，这个点到线段两端点的距离和最小， ∵+表示点a到点4和点-1两点的距离和， ∴当时，|+的值最小，且最小值为 故答案为，5． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上点与数的对应关系、两点之间的距离及绝对值的意义是解题关键 ． 第三部分 知识精讲 1．有理数 （1）有理数的分类： ①按有理数的性质分类：； ②按有理数的定义分类：． （2）整数与分数对应，正数与负数对应，零既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数．在习惯上我们将正有理数和零称为非负有理数，将负有理数和零称为非正有理数，将正整数和零称为非负整数，将负整数和零称为非正整数． （3）所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合． （4）因为小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 2．数轴 （1）数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，… （2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度． （3）数轴的画法： ①画一条水平的直线． ②在直线上适当选取一点为原点． ③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）． ④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示： 3．相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0． （2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0． （3）相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0． （4）多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 4．绝对值 （1）绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． （2）绝对值的代数定义： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0． 即： 或 ． （3）绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． 第四部分 名师讲堂+典型例题（五大考向） 【考向1】有理数的概念和分类 自学笔记： 1．按整数和分数的关系分类： （1）整数：正整数、0、负整数 （2）分数：正分数、负分数 2．按正数、0和负数的关系分类： （1）正有理数：正整数、正分数； （2）0； （3）负有理数：负整数、负分数 命题方向： 1．正确识别有理数． 2．将有理数按要求分类． 3．考查有理数的规律探究． 名师点拨： 1．只要是整数或分数，就一定是有理数．不是分数． 2．分数可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数都能化为分数．无限不循环小数不能化为分数，因而无限不循环小数不是有理数，如圆周率π不是有理数． 3．有理数的分类标准必须一致，要么按定义分成整数和分数，要么按性质分成正有理数、0、负有理数，两者不能混在一起． 典型例题 例题1：下列数中既是分数又是负数的是（　　） A．5.2 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 【分析】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义与特点是解答本题的关键；注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数，也不是负数．按照有理数的分类解答即可． 【答案】D 【解析】A，5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；B，0是整数，故本选项不合题意；C，﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；D，﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．故选D． 【考向2】数轴 自学笔记： 1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2．数轴的三要素为：原点、正方向、单位长度． 3．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数–a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 命题方向： 1．数轴上点的运动． 2．数轴在实际问题中的应用． 名师点拨： 1．画数轴时，三要素缺一不可，且单位长度要统一． 2．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数（如数轴上点可以表示π，但π不是有理数）． 典型例题 例题2：下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1.5 D．﹣3 【分析】此题考查数轴，掌握到原点距离最近的点就是绝对值最小的点，到原点距离最远的点就是绝对值最大的点是解题的关键．根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【答案】D 【解析】A，2到原点的距离是2个长度单位，不符合题意； B，1到原点的距离是1个长度单位，不符合题意； C，﹣1.5到原点的距离是1.5个长度单位，不符合题意； D，﹣3到原点的距离是3个长度单位，符合题意； ∴在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是﹣3．故选D． 【考向3】相反数 自学笔记： 1．几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数． 2．代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数． 3．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0． 命题方向： 1．理解相反数的概念． 2．利用相反数的概念求值． 名师点拨： 1．“0的相反数是0”，是定义的一部分，不能漏掉． 2．相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数． 典型例题 例题3：数轴上表示数为a和a﹣4的点到原点的距离相等，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．不存在 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．根据相反数的几何意义可知：a与a﹣4互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【答案】B 【解析】由题意知：a与a﹣4互为相反数，∴a+a﹣4＝0，解得：a＝2．故选B． 【考向4】绝对值 自学笔记： 1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值的意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 命题方向： 1．与绝对值有关的计算． 2．绝对值的实际应用． 名师点拨： 1．任何数的绝对值都不小于它本身，即． 2．含有绝对值的加、减、乘、除运算，先按照“正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”的原则将绝对值符号去掉，然后再进行加、减、乘、除运算． 3．任何数都有唯一的绝对值，绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数． 4．互为相反数的两个数的绝对值相等． 典型例题 例题4：【精讲14】实数a的绝对值是，a的值是（　　） A． B． C．± D．± 【分析】根据绝对值的意义直接进行解答 【答案】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【解析】∵|a|，∴a＝±．故选D． 【考向5】有理数大小的比较 自学笔记： 1．在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数；即正数大于0，0大于负数，正数大于负数． 2．异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小．利用绝对值比较有理数的大小时，正数的绝对值越大，该数就越大；负数的绝对值大，该数就越小． 命题方向： 1．利用数轴比较有理数的大小． 2．利用绝对值比较有理数的大小． 名师点拨： 1．利用法则比较有理数的大小：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．利用数轴比较有理数的大小：先将要比较的有理数在数轴上表示出来，再根据“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大”求解． 典型例题 例题5：将下列各数表示在数轴上，并用“＞”连接． 5，﹣2，3，，0． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识、比较有理数的大小，找出各点在数轴的位置是解题的关键．首先画出数轴表示出各点，然后根据右边的数大于左边的数比较即可． 【答案】． 【解析】如图所示： 由数轴上右边的数大于左边的数可知：． 第五部分 高频真题 一、单选题 1．的相反数是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．若，则的值为（   ） A．或 12 B．或2 C．12或2 D．或 【答案】D 【分析】根据题意得出和的值，即可得出结论． 【详解】解：，，且， ，或，， 或， 的值为或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法以及绝对值，根据题意得出、的值是解题的关键． 3．若，，，且，，则（    ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 【答案】B 【分析】先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，或，，． 当，，时，， 当，，时，， ∴或23． 故选：B 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键． 4．若m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数，则的值为（　　） A． B． C．1 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，最大负整数是，有理数的乘法，代数式的值，熟练掌握定义计算是解题的关键． 【详解】解：m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数， ∴． ∴． 故选：B． 5．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用数轴上的点表示的数判断式子正负，由数轴可知，，根据有理数大小比较法则、有理数加法法则、乘法法则、绝对值的定义依次判断即可．正确掌握有理数大小比较法则、有理数加法法则、乘法法则、绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，故A选项符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：A． 6．下列数中，正有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，求解即可． 【详解】解，下列数中，正有理数为， 个数为2， 故选：B 【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类． 7．在，，0，， ，，，，中，分数有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据有理数的分类逐个判断即可求解． 【详解】在，，0，， ，，，，中， ，，，是分数，共4个， 故选：B 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． 8．如果与互为相反数，那么x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】根据题意得：， 去括号得： 移项合并得： 解得：． 故答案为：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题关键是了解步骤：去括号，移项合并，将未知数化为1，求出解． 9．在数中，负分数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数． 【详解】解：在数中，负分数有，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误． 10．若，则的取值不可能是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的取值不可能是1， 故选：B． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键． 11．下列各数中：，0，12，0.5，最小的数是（　　　） A．0.5 B．0 C．12 D． 【答案】D 【分析】由负数小于 小于正数，可得：＜＜＜ 从而可得答案． 【详解】解：＜＜＜ 最小的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握“负数小于 小于正数．”是解题的关键． 二、填空题 12．在3.1415926，，0，，0.44444…，，5.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），有理数的个数有 个． 【答案】5 【分析】根据整数和分数统称为有理数，分数包含有限小数和无限循环小数即可求解． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，分数包含有限小数和无限循环小数， ∴有理数有3.1415926，，0，0.44444…，共5个， ∴有理数的个数有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的概念及其分类是解题的关键． 13．如图是一个正方体的表面展开图．若正方体中相对的面上的数互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点是解题的关键．根据正方体的展开图中可得“5”与“”是对面，“”与“y”是对面，从而可根据相反数的定义求得x的值及y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵“5”与“”是对面，“”与“y”是对面，正方体中相对的面上的数互为相反数， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得出，根据非负数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，有理数的乘法，求得是解题的关键． 15．如图，数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动100次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度． 【详解】解：由于 所以第一次跳动到的中点处时， 同理第二次从点跳动到处，离原点的处， 同理跳动100次后，离原点的长度为， 故线段的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 16．若，那么的值是 ． 【答案】1 【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可求出a、b的值，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵|a+1|+（b-2020）2=0， ∴a+1=0，b-2020=0， ∴a=-1，b=2020， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了偶次方及绝对值的非负性，利用绝对值及偶次方的非负性求出a、b的值是解题的关键． 17．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、求代数式的值，根据非负数的性质，求出a，b的值，然后把a，b的值代入代数式，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程和相反数，先求得方程的解，再根据题意得到方程的解，即可求得答案． 【详解】解：，移项合并同类项得，，系数化为1得，， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴方程的解， 则，解得． 故答案为：． 19．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义． 20．已知和是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同类项定义列式解出x的值，代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 将代入得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值． 21．已知有理数x、y满足等式，那么 ． 【答案】 【分析】由，根据非负数的性质可以求出x和y的值，然后代入x＋y求解． 【详解】∵有理数x、y满足等式， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查非负数绝对值和偶次方的性质即所有非负数都大于等于0，本题是一道基础题． 22．已知数轴上点A表示，点表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为，则点B表示的数是 ． 【答案】或 【分析】根据距离公式求出点C表示的数，求出相反数即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵， ∴， 或， ∴或， ∵9的相反数是，5的相反数是， ∴点B表示的数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是数轴和相反数，解题的关键是求出点C表示的数． 三、解答题 23．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值； ______    ______    ______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在到1之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2) (3)不变，值为2，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离： （1）根据绝对值的非负性进行作答即可； （2）根据，则，，即可作答； （3）先用的代数式表示点A，点B，然后得到，，然后得到，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数， 所以， 因为， 所以， 即，； （2）解：因为 所以，， 则； （3）解：不变．理由如下： 依题意，t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为． ∴，， ∴， 即的不随着时间的变化而改变． 24．我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)这架飞机比起飞点高了千米． (2)这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 【分析】（1）本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，将题干中的数据相加求解，即可解题． （2）本题考查绝对值意义，以及有理数加法的实际应用，根据燃油消耗总量飞机上升消耗的燃油飞机下降消耗的燃油列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：（）， 上升记为正，下降记为负， 这架飞机比起飞点高了千米． （2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升）， 飞机下降消耗的燃油为：（升）， （升）， 这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 25．出租车司机小李某天下午在东西走向的人民大道上开车如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远 (2)若汽车耗油量为每千米耗油0.06升，这天下午小李共耗油多少升 【答案】(1)39千米 (2)3.9升 【分析】本题考查正负数，属于基础题，一定要注意所走的总路程为所走路程的绝对值的和． （1）将所走的路程相加可得出小李距下午出发地点的距离． （2）耗油量耗油速率总路程，总路程为所走路程的绝对值的和． 【详解】（1）解：（千米）； 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点39千米； （2）解：（千米）， 则耗油（升）． 答：若汽车耗油量为0.06升/千米，这天下午汽车共耗油3.9升． 26．一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶，这辆出租车连续送客次，其中次向东行驶，次向西行驶，向东每次行驶，向西每次行驶． (1)该出租车连续次送客后，停在何处？ (2)该出租车一共行驶了多少千米的路程？ 【答案】(1)该车停在出发点西边处 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算的实际应用， （1）根据正负数的意义判断即可； （2）把所行路程相加即可； 掌握正负数的意义以及有理数的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：以向东行驶为正方向，则 ， 即该车停在出发点西边处； （2）， 答：该出租车一共行驶了的路程． 27．卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下(单位：米)：． (1)上面给出的数据中有一对相反数是：______； (2)守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； (3)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ 【答案】(1)与； (2)守门员最后回到了球门线的位置，说明见解析； (3)米． 【分析】（1）根据相反数的定义即可求解； （2）将所有记录数据相加，根据正负数的意义即可求解； （3）将所有数据的绝对值相加即可求解． 【详解】（1）解：，中有一对相反数是：7与-7； 故答案为：7与-7； （2） ， 答：守门员最后回到了球门线的位置； （3） ． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了60米． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的加减混和运算的应用，绝对值的意义，正负数的意义，理解题意列出算式是解题的关键． 28．如图，已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，其中，a、c满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动．    (1)求a、c的值． (2)点P开始运动后，若点P到A点的距离是其到B点距离的2倍，求此时点P所对应的数． (3)当点P运动12秒时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒钟时，P、Q两点之间距离为6． 【答案】(1)； (2)点P对应的数是或4； (3)点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间距离为6． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得的值； （2）设秒后，点P的对应的数是：，根据，列式计算可求点P的对应的数； （3）分类讨论：点Q开始运动后秒后，当时，点P对应的数是，点Q对应的数是；当时，点P对应的数是，点Q对应的数是，根据两点间的距离是6，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：； （2）解：设秒后，点P对应的数是：， ∵， ∴， 解得或， 当时，点P对应的数是， 当时，点P对应的数是， 综上所述：点P对应的数是或4； （3）解：点P运动12秒时，点P对应的数是， 设点Q开始运动后秒后，点P对应的数是， ，, 当时，点Q对应的数是；当时，点Q对应的数是， 当时，由题意得， 解得或； 当时，由题意得， 解得或； 综上所述：点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间距离为6． 29．某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻．某天他从岗亭出发，晚上停留在处．规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)在岗亭何方？通过计算说明距离岗亭多远？ (2)在岗亭东面千米处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站______次． (3)若摩托车每行千米耗油升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？ 【答案】(1)在岗亭西方，距离岗亭千米 (2) (3)该摩托车这天巡逻共耗油升 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （1）将记录的各数直接相加，由它们的和可得出结果； （2）根据每次向东（西）走的路程，可以得出结果； （3）算出各数的绝对值的和就是行驶的总路程，再乘以可得出结果． 【详解】（1）根据题意：， ∵规定向东方向为正， ∴在岗亭西方，距离岗亭千米． （2）第一次向东走千米，从，经过一次， 第二次又向西走千米，从，经过一次， 第三次又向东走千米，从，经过一次， 第四次又向西走千米，从，经过一次， 第五次又向东走千米，从，不经过， 第六次又向西走千米，从，不经过， 第七次又向东走千米，从，不经过， 第八次又向西走千米，从，不经过， 所以巡警巡逻时经过岗亭东面千米处加油站，应该是次． （3）， ， ∴该摩托车这天巡逻共耗油升． 30．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 【答案】(1)二， (2)元 (3)141元 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式求值的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）将代入（2）中的代数式，即可求解； 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 二月份用电量最多， （度）， 故答案：二，； （2）解：由题意得 （元）， 答：小刚家七月份应交纳的电费为元； （3）解：由(2)知，小刚家七月份应交纳的电费为元， 当时， （元）. 答：小刚家七月份应交纳电费约141元. 31．如图： (1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、； (2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______； (3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______； (4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______． (5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) (4) (5) 【分析】（1）在数轴上找出、、、即可； （2）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （3）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值； （4）根据题意求出与在秒后所表示的数，即可求出、之间的距离； （5）根据数轴比较、、、与的大小关系，然后化简即可． 【详解】（1）如图所示： （2）， ， ， 故答案为：，，； （3）； （4）由题意可知：秒后，点所走的路程为：，点所走的路程为：， 点、所表示的数分别为：，， 此时； （5）由数轴可知：， ∴，，，， ∴ 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值、两点之间的距离公式．解题的关键是理解题意，数形结合． 32．小明利用业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 七 平均成绩变化/环 (1)本周哪一天的平均成绩最高？它是多少环？请直接写出结论； (2)本周哪一天的平均成绩最低？它是多少环？请直接写出结论； (3)本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了这是下降了？提高或下降的环数是多少？请说明理由． 【答案】(1)本周二和本周五训练的平均成绩最高，是环 (2)本周日训练的平均成绩最低，是环 (3)本周日的平均成绩和上周日的平均成绩相比提高了，提高了环，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，根据题意得出数量关系，列出算式计算是解题的关键． （1）根据表中数据，跟别计算出本周各天的成绩，再比较即可； （2）根据（1）中的计算结果，即可解答； （3）本周日的成绩减上周日的成绩，若所得的结果为正，则提高，否则，下降． 【详解】（1）解：由表可知， 周一：（环）， 周二：（环）， 周三：（环）， 周四：（环）， 周五：（环）， 周六：（环）， 周日：（环）， ∵， ∴本周二和本周五训练的平均成绩最高，是环． （2）解：由（1）可知：本周日训练的平均成绩最低，是环． （3）解：（环）， 本周日的平均成绩和上周日的平均成绩相比提高了，提高了环． 33．在数轴上，点，，分别表示有理数，，，且，点，表示互为相反数的两个数，点和点之间的距离为． (1)求点，表示的数； (2)计算的值． 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为 (2)或 【分析】此题考查的是数轴上两点之间的距离，根据两点的位置分类讨论和掌握相反数的定义是解决此题的关键． （1）根据求出点在数轴上所表示的数，然后根据点和点之间的距离为，分类讨论求出点所表示的数，最后根据点，表示互为相反数的两个数，求出点所表示的数即可求解； （2）由（1）可知，，的值，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 点所表示的数为， 点和点之间的距离为， 当点在点的左侧时，， 解得：， 当点在点的右侧时，， 解得：， 点，表示互为相反数的两个数， 当时，；当时，； 点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为； （2）解：①当，，时， ； ②当，，时， ， 综上，所求代数式的值为或． 34．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 35．小蜗牛从大树上某点出发，将大树看成一条直线，假设向上爬行的路线记为正数，则小蜗牛爬行的路线依次为：（单位：） ，，，，，，． (1)蜗牛最后是否能回到出发点？ (2)在爬行过程中，如果每爬行1奖励两片叶子，则小蜗牛一共得到几片叶子？ 【答案】(1)能 (2)112片 【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明蜗牛最后回到出发点； （2）蜗牛一共得到的叶子数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把爬行距离的绝对值相加，再求得到的叶子数． 【详解】（1）解： ， ∴蜗牛最后回到出发点； （2）蜗牛爬行的总路程为： ， （片）， 所以，蜗牛一共得到112片叶子． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数运算的应用、化简绝对值等知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 36．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是AB的中点，且a、b满足|a＋3|＋（b＋3a）2＝0 (1)求点C表示的数； (2)若点P从A点出发向右运动，点M为AP的中点，在点P到达点B之前，求证2BM−BP为定值； (3)点P从A点以每秒2个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒1个单位的速度向左运动，若AP＋BQ＝3PQ，求运动时间t． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)t=6或3 【分析】(1)首先由绝对值及平方运算的非负性，可求得a=−3，b=9，再根据点C是AB的中点，即得点C表示的数； (2)设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是−3+vt，M表示的数是，可得BM与BP，据此即可证得； (3)点P表示的数是−3+2t，点Q表示的数是9−t，由AP+BQ=3PQ，得2t+t=|3t−12|，即可解得． 【详解】（1）解：|a+3|+(b+3a)2=0， a+3=0，b+3a=0， a=−3，b=9， 点C是AB的中点， 点C表示的数是； （2）解：设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是−3+vt， 点M为AP的中点， 点M表示的数是， ，， ， 2BM−BP为定值； （3）解：点P表示的数是−3+2t，点Q表示的数是9−t， AP=2t，BQ=t，PQ=|-3+2t-9+t|=|3t-12| AP+BQ=3PQ， 2t+t=3|3t−12|， 解得t=6或3， 故运动时间为6或3秒． 【点睛】本题考查了绝对值方程的应用，绝对值及平方运算的非负性，数轴与点表示的数，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是掌握用含t的代数式表示点运动后表示的数． 37．定义：数轴上，若有理数a，b在的两侧，且到的距离相等，则称a与b是关于的平衡数， 已知有理数x与y是关于的平衡数． (1)与是关于的平衡数吗？是，请证明；不是，请举出反例； (2)已知，对于每一个有理数k，是否总存在有理数m，n，使得与是关于的平衡数？若存在，试探究n，m与k之间的数量关系，并证明：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是，反例见解析 (2)存在， 【分析】（1）令，，结合“关于的平衡数”的定义判断即可； （2）根据有理数x与y是关于的平衡数可求出．再根据与是关于的平衡数可得出，再将代入即可得出，得出答案． 【详解】（1）不是． 反例：令，， ∵和0在的两侧，且到的距离相等， ∴此时x和y是关于的平衡数． ∵，， 又∵2和0都在的右侧， ∴此时x和y不是关于的平衡数； （2）∵x与y是关于的平衡数， ∴或， ∴． ∵与是关于的平衡数， ∴或 ∴， ∴， ∴当时，对于每一个有理数k，存在有理数m，n，使得与是关于的平衡数，此时n，m与k之间的数量关系为． 【点睛】本题考查绝对值的意义，整式加减运算的应用．读懂题意，理解“关于的平衡数”的定义是解题关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$