第01讲 平方根（1个知识点+12大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第01讲 平方根（1个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握平方根的概念； 2.掌握算术平方根的概念与性质； 3.掌握平方根、算术平方根的实际应用； 1.掌握平方根、算术平方根的概念； 2.掌握算术平方根的非负性； 3、学会运用平方根解方程； 知识点01：平方根、算术平方根 1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零． 3.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 【即学即练1】 1．实数的平方根为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先计算平方根，然后根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解： ∴的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了求算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 【即学即练2】 2．下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根定义求解即可； 【详解】解：∵， ∴四个选项中，只有A选项，符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 题型01 求一个数的算术平方根 1．一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故选：． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，先化简，再运算4的算术平方根，即可作答． 【详解】解： 故选：B 3．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查算术平方根的定义及绝对值的定义，比较简单根据，求出a、b的值，又，说明a、b异号，确定最终a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴a、b异号， ∴， ∴， 故答案为：． 4．若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的平方根，由，利用算术平方根的定义可以得，求出x的值，即可得出x的算术平方根． 【详解】解：， ， ， 的算术平方根是， 故答案为：． 5．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7 (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴0.49的算术平方根是0.7； （2）解：， ∵， ∴的算术平方根是3； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根是； （4）解：∵， ∴的算术平方根是3． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 1．若，则（    ） A．1 B． C．0 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等知识点，根据非负数的性质求出与的值，再代入进行计算即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 故选：A． 2．若实数，满足，则的值是（　　） A．7 B． C．2024 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ． 故选：D 3．已知x、y是实数，且，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是非负数的性质．根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， ∴， 故答案为：8． 4．当的值最小时，x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，正确把握性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质分析得出答案． 【详解】解：∵代数式的值最小， ∴，解得：， 故答案为：． 5．已知的算术平方根是3，b、c满足． (1)求a、b、c的值： (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2). 【分析】本题考查算术平方根和非负性，求一个数的平方根： （1）根据算术平方根的定义求出，非负性，求出的值即可； （2）先将的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， b、c满足， ，， ，； （2）由（1）可知，， 36的平方根是． 题型03 估计算术平方根的取值范围 1．估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 2．估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】B 【分析】估算的值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴； 故选：B 【点睛】本题考查无理数的估算．确定“”是解题关键． 3．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 4．， ，则 ． 【答案】2.381 【分析】利用算术平方根的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2.381． 【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键． 5．为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，学校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封 【分析】本题考查了算术平方根的应用，通过利用平方根解方程，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键；设长方形信封的长为，宽为，根据长方形的面积求出长方形的宽，根据正方形的面积，求出正方形的边长，再比较即可判断； 【详解】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由如下： 设长方形信封的长为，宽为， 长方形面积为， ， ， 解得， 长方形的宽为， 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长为， ， ， ， 小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 3．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【详解】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 5．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 题型05 与算术平方根有关的规律探索题 1．如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可． 【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位； 故选：A． 2．已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握．由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故选：D 3．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．已知， ，那么 ． 【答案】0.04147 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 如果被开方数扩大（或缩写）为原来的100倍，则其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍，由这个规律即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：0.04147． 5．（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 题型06 算术平方根的实际应用 1．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据题意得，，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴大正方形与小正方形的边长之比， 故选：B． 2．如图1，小宇利用两个面积为的正方形拼成了一个面积为的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，如图2，利用四个直角边为的等腰直角三角形，可以感知到的无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据题干提供的信息，先求出四个直角边为的等腰直角三角形可以拼成的正方形的面积，然后求出正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：直角边为的等腰直角三角形的面积为： ， 四个直角边为的等腰直角三角形可以拼成的正方形的面积为： ， 面积为的正方形的边长为：， ∴可以感知到的无理数是． 故选：D． 3．如图所示，长方形内两相邻正方形的面积分别是1和9，那么长方形内阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的应用，将阴影部分利用平移的方法拼成一个长方形，判断出这个长方形的长和宽即可解决问题． 【详解】解：将阴影部分利用平移的方法拼成一个长方形． ∵小正方形的面积是1，大正方形的面积是9， ∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是3， ∴拼成的长方形的一边长为1，另一边长为， ∴阴影部分面积为． 故答案为：2． 4．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方和乘法计算，算术平方根的实际应用，正确理解面积不变规律是解题的关键．由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长即可． 【详解】解：∵拼成的正方形的面积为， ∴这个正方形的边长是， 故答案为：． 5．国庆手抄报展览即将开始．为制作出精美的国庆主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景． (1)请你帮小华设计一种可行的裁剪方案． (2)若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； (2)不能，理由见解析 【分析】此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 【详解】（1）解：设面积为的正方形纸片的边长为， ， 又， ， 又要裁出的长方形面积为， 若以原正方形纸片的边长为长方形的长， 则长方形的宽为：， 可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）解：长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为， ， ， 又， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 题型07 平方根的概念理解 1．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 2．下列说法中错误的是（    ） A．4的平方根是 B．2是4的一个平方根 C．是4的一个平方根 D．4的平方根是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的相关知识，掌握平方根的计算是解题的关键． 根据“4的平方根是”，即可判断． 【详解】解：A．4的平方根是，故本选项不符合题意； B． 4的平方根，因此2是4的一个平方根，故本选项不符合题意； C．4的平方根，因此是4的一个平方根，故本选项不符合题意； D．4的平方根是，故本选项符合题意． 故选：D． 3．已知正数x的两个平方根是和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，进而得到，再由平方根的定义可得． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数， 这个数是， 故答案为：． 5．已知的平方根为，的算术平方根为 (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，的值分别为7，2 (2) 【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的算术平方根为5， ∴，即 ∴． 综上所述：，的值分别为7，2； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为，即． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． 题型08 求一个数的平方根 1．7的平方根是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：7的平方根是， 故选：D． 2．若的平方等于3，则等于（   ） A． B．9 C．或 D．9或 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，直接利用平方根的概念计算即可． 【详解】解：∵， ． 故选：C． 3．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，算术平方根的非负性，先根据和互为相反数，得出，求出，，然后再求出的值，最后求出的平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 4．某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】∵某数的一个平方根为， ∴这个数是， ∵的平方根为， ∴它的另一个平方根是， 故答案为：． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 题型09 求代数式的平方根 1．若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 3．若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 4．若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 5．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 1．已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 2．已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据一个数的平方根互为相反数，列式求解可得的值，进而可得平方根，再根据平方根，可得这个数，掌握一个数的平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故选：． 3．已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 【答案】441或49 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可． 【详解】根据题意，得 解得或， ∴或， 则或， 所以这个数是441或49． 故答案为：441或49． 4．一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根的概念，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列出式子，计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，得：， 解得， 故答案为：． 5．一个正数b的两个平方根分别是与， (1)求和的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根的概念和求一个数的平方根： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可； （2）根据（1）求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵36的平方根为， ∴的平方根为． 题型11 利用平方根解方程 1．若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴或． 故选：C． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得：， 故选：D． 3．已知，的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，先将式子变形为，再利用平方根解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 4．已知：x满足，根据平方根的意义可求得 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了平方根的意义；根据平方根的意义得，从而求得x的值． 【详解】解：∵x满足， ∴， ∴或， 故答案为：4或． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）首先将原方程整理为，然后根据平方根的性质求解即可； （2）首先将原方程整理为，然后根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， 或． 题型12 平方根的应用 1．若正方形的面积与长为6，宽为3的矩形面积相等，则该正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， ∴（负值已舍去） 故选C． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案． 【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得： （x＋8）2＝64＋80 （x＋8）2＝144 ∴x＋8＝＝12（负值舍去）， ∴x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x＋8）2＝（64＋80）是解题的关键． 3．若和是实数的两个不同的平方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根，以及平方根根据正数有两个平方根，且互为相反数，求出m的值，即可求出所求． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 则， 故答案为：． 4．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】求出正方形的面积即可求出正方形的边长． 【详解】解：由题意得：， 设正方形ABCD的边长为x， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确求出正方形的面积是解题的关键． 5．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为． （2）甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 1．下列各等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的意义进行计算即可得到答案． 【详解】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 2．已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键．设正方体的棱长为，然后依据表面积为列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为． 根据题意得：， 解得：． 所以这个正方体的棱长为． 故选：B． 3．已知．则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 5．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．满足方程中的x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的性质求解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念， 根据平方根的概念分得和互为相反数，据此即可列出方程求得的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的平方根为和， ∴和互为相反数， 即，解得， 则这个数是； 故答案为：． 8．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 9． 的平方根是 ；的相反数是 ． 【答案】 【分析】先化简，再求解平方根即可； 根据相反数的含义求解的相反数． 本题考查的是实数的相反数的含义，算术平方根与平方根的含义，先求解是解本题的关键． 【详解】解：，9的平方根是， ∴ 的平方根是， 故答案为：； 的相反数是， 故答案为：． 10．阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是 ，的平方根是 ，5的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意一个正数有两个平方根． 根据开方运算，可得一个正数的平方根． 【详解】解：∵，， ∴25的平方根是， ∵，， ∴的平方根是． ∴5的平方根是． 故答案为：；；． 11．计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，注意正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根；正数的算术平方根有一个，0的算术平方根是0． （1）（2）考查了一个正数的算术平方根； （3）（4）考查了一个正数的平方根． 【详解】（1）900的算术平方根是30， （2）1的算术平方根是1， （3）的平方根是， （4）14的平方根是． 12．一个正数的平方根是与，求和的值． 【答案】，． 【分析】此题考查了平方根，根据一个整数的两个平方根互为相反数，列式求出a的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴ 解得， ∴， 即，． 13．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a，再求出这个数即可； （2）先根据a的值，求出的值，再求出其算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：由（1）知， ∴． 14．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 15．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7． (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根（1个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握平方根的概念； 2.掌握算术平方根的概念与性质； 3.掌握平方根、算术平方根的实际应用； 1.掌握平方根、算术平方根的概念； 2.掌握算术平方根的非负性； 3、学会运用平方根解方程； 知识点01：平方根、算术平方根 1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零． 3.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 【即学即练1】 1．实数的平方根为（    ） A． B． C．3 D． 【即学即练2】 2．下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 题型01 求一个数的算术平方根 1．一个数的算术平方根是，这个数是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，且，则 ． 4．若，则的算术平方根是 ． 5．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 1．若，则（    ） A．1 B． C．0 D．2022 2．若实数，满足，则的值是（　　） A．7 B． C．2024 D．1 3．已知x、y是实数，且，则的值是 ． 4．当的值最小时，x的值为 ． 5．已知的算术平方根是3，b、c满足． (1)求a、b、c的值： (2)求的平方根． 题型03 估计算术平方根的取值范围 1．估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 3．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 4．， ，则 ． 5．为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，学校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 4．的整数部分是 ．小数部分是 ． 5．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 题型05 与算术平方根有关的规律探索题 1．如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 2．已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 3．若，，则的值为 ． 4．已知， ，那么 ． 5．（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 题型06 算术平方根的实际应用 1．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 2．如图1，小宇利用两个面积为的正方形拼成了一个面积为的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，如图2，利用四个直角边为的等腰直角三角形，可以感知到的无理数是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，长方形内两相邻正方形的面积分别是1和9，那么长方形内阴影部分的面积是 ． 4．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 5．国庆手抄报展览即将开始．为制作出精美的国庆主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景． (1)请你帮小华设计一种可行的裁剪方案． (2)若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 题型07 平方根的概念理解 1．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 2．下列说法中错误的是（    ） A．4的平方根是 B．2是4的一个平方根 C．是4的一个平方根 D．4的平方根是2 3．已知正数x的两个平方根是和，则 ． 4．一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ． 5．已知的平方根为，的算术平方根为 (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型08 求一个数的平方根 1．7的平方根是（    ） A． B．7 C． D． 2．若的平方等于3，则等于（   ） A． B．9 C．或 D．9或 3．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 4．某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09 求代数式的平方根 1．若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 3．若，求的平方根是 ． 4．若，则= ． 5．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 1．已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 3．已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 4．一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 5．一个正数b的两个平方根分别是与， (1)求和的值． (2)求平方根． 题型11 利用平方根解方程 1．若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，的值是 ． 4．已知：x满足，根据平方根的意义可求得 ． 5．计算： (1)； (2)． 题型12 平方根的应用 1．若正方形的面积与长为6，宽为3的矩形面积相等，则该正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 2．如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A． B． C． D． 3．若和是实数的两个不同的平方根，则的值为 ． 4．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是 ． 5．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 1．下列各等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（   ） A．1 B． C． D．3 3．已知．则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 4．已知，，则（  ） A． B． C． D． 5．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 6．满足方程中的x的值为 ． 7．若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 8．若，则 ． 9． 的平方根是 ；的相反数是 ． 10．阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是 ，的平方根是 ，5的平方根是 ． 11．计算： 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； 求下列各数的平方根： (3)； (4)14． 12．一个正数的平方根是与，求和的值． 13．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 14．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 15．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7． (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$