精品解析：安徽省绩溪中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试题

安徽省绩溪中学2024-2025学年第一学期 高二第一次段考数学试题 10.11-10.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C D. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C D. 8. 在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________. 13. 在中，，，点M为AC的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为____________. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 16. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线一般式方程及点的坐标. 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省绩溪中学2024-2025学年第一学期 高二第一次段考数学试题 10.11-10.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 3. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 4. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题得. 故选：A. 5. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6. 一束光线从点射出，沿倾斜角为直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 8. 在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，，，，然后算出，，即可. 【详解】 不妨设，，，，， 所以，所以 所以 设平面的法向量为 则有，即，即 所以可取 所以， 同理可得， 因为， 所以，故， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若直线与直线互相垂直，则 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 ．根据直线垂直的等价条件进行判断， ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断， ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件． ．过原点的直线也满足条件． 【详解】解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误， ．直线的斜率，则，即，则，故正确， ．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误， ．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误， 故选：． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过定点且倾斜角是直线倾斜角两倍的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知直线的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直线的斜率，点斜式求出直线方程. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 即可得，所以所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即， 故答案为：. 13. 在中，，，点M为AC的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】 如图建立坐标系，，，， 由与，则直线的方程为，整理可得， 设，则，， ， 当时，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，，，所以，， 因为，所以， ， 因为，所以令，代入上式得： 其中， 所以， 因此的最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法. 四、解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 16. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【小问1详解】 直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. 【小问2详解】 依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【小问1详解】 如图，连接交于点， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则，即点， 则三棱锥的体积，解得， 所以，则， 设平面的法向量， 由，令，则， 即可得平面的一个法向量， 由轴平面，故为平面的一个法向量， 所以， 由图可知二面角是锐二面角， 故二面角的余弦值是． 【点睛】 19. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，只需证出共面即可得证； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直， 则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 根据题意，得． 所以． 因为， 所以共面， 又有公共点， 所以四点共面． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ，则， 设为平面的法向量， 则，即，令， 得平面的一个法向量为． 假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 令， 则， 设为平面的法向量，则， 即， 令，得平面的一个法向量为． 设平面与平面所成角为， 则． 化简整理，得，因，所以， 所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $