第08讲 指数与指数函数（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第08讲 指数与指数函数 【人教A版2019】 模块一 指数 1．指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 2．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 3．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 4．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型1 指数幂的化简、运算】 【例1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【题型2 指数式的给条件求值问题】 【例2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【例2.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式2.2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型3 指数方程与指数不等式】 【例3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·全国·模拟预测）求方程的解． 【变式3.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算： (1)； (2)求不等式的解集. 模块二 指数函数 1．指数函数的概念 (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【题型4 指数函数图象——底数比较大小】 【例4.1】（24-25高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【例4.2】（23-24高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024高二·湖北·学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【题型5 指数函数过定点问题】 【例5.1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一上·山东·期中）函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知幂函数，则过定点（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用指数函数单调性比较大小】 【例6.1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一上·吉林·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 模块三 指数型复合函数 1．指数型复合函数的解题策略 常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可. 【题型7 指数型函数——与二次函数复合】 【例7.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【例7.2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式7.1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 . (1)若，求不等式的解集; (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【题型8 指数型函数——与分式复合】 【例8.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【例8.2】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式8.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； (3)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【变式8.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的解析式并用定义证明的单调性； (2)使得成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 4．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 5．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   7．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 10．（23-24高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（    ） A． B．有解 C． D．与的图象关于对称 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 14．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 17．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 18．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 19．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 指数与指数函数 【人教A版2019】 模块一 指数 1．指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 2．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 3．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 4．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型1 指数幂的化简、运算】 【例1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【例1.2】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； （2）利用分数指数幂的运算化简； （3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； 【解答过程】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【解题思路】运用指数幂的性质计算即可. 【解答过程】（1） . （2） . 【题型2 指数式的给条件求值问题】 【例2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】给平方后再开方求解即可. 【解答过程】，所以. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【解答过程】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式2.2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【解答过程】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 【题型3 指数方程与指数不等式】 【例3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 【例3.2】（2024高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【解答过程】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 【变式3.1】（2024·全国·模拟预测）求方程的解． 【解题思路】根据指数的运算化简即可. 【解答过程】由已知 所以 所以 解得或. 【变式3.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算： (1)； (2)求不等式的解集. 【解题思路】（1）根据指数运算公式直接化简计算； （2）根据指数函数单调性解不等式. 【解答过程】（1） ； （2）， 即， 即， 因为函数在上单调递增， 所以，即， ， 解得， 所以不等式的解集为. 模块二 指数函数 1．指数函数的概念 (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【题型4 指数函数图象——底数比较大小】 【例4.1】（24-25高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【解答过程】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 【例4.2】（23-24高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【解答过程】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断. 【解答过程】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线， 该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A． 故选：A. 【变式4.2】（2024高二·湖北·学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【解答过程】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B. 【题型5 指数函数过定点问题】 【例5.1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】指数型函数过定点，令即可得到结果 【解答过程】根据指数函数恒过定点， 则恒过定点，令，， 所以函数的图象必经过定点， 故选：D. 【例5.2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解. 【解答过程】因为（，）, 令，得，， 所以的图像过定点， 将定点向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得， 所以的图像恒过定点. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一上·山东·期中）函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的性质，求出其过的定点． 【解答过程】因为当时，无论取何值，， 所以函数且的图象必经过定点， 故选：A. 【变式5.2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知幂函数，则过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的定义求出的值，进一步分析的解析式即可. 【解答过程】是幂函数，， 故则， 令，即， 得， 故过定点. 故选：D 【题型6 利用指数函数单调性比较大小】 【例6.1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【解答过程】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A. 【例6.2】（23-24高一上·吉林·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题可知，，，， 则，，. 因为在上单调递增，且，所以. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数与幂函数的单调性即可判断大小关系. 【解答过程】设，由指数函数的性质知在R上单调递减， 所以， 令，由幂函数的性质知在单调增， 所以， 所以. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数和幂函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】因为，， 因为在上单调递减， 所以，所以，所以， 因为在上单调递增，由，可得， 所以，故. 故选：D. 模块三 指数型复合函数 1．指数型复合函数的解题策略 常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可. 【题型7 指数型函数——与二次函数复合】 【例7.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【解题思路】（1）利用换元法即可求解， （2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解， （3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解. 【解答过程】（1）令，则 故，其中且 （2）当时，，则， 故，则，解得,解得， 故的定义域为 （3）由于，故 当时，故值域为， 当时，故值域为. 【例7.2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值； （2）换元令，可得恒成立，结合运算求解. 【解答过程】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式7.1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 . (1)若，求不等式的解集; (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）依题意可得，即可得到，根据指数函数的性质解得即可； （2）令，则，依题意可得对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）当时，可得， 即，即，整理得， 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为，令，则，可得， 由，可得， 因为，恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 即实数的取值范围为． 【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由求出参数并检验即可得解； （2）分离参数并通过换元法可得，故只需求出不等式右边的最小值即可得解. 【解答过程】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则. 【题型8 指数型函数——与分式复合】 【例8.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解； （2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得在上有解，进一步可得，由此即可得解. 【解答过程】（1）方法一：是奇函数，，即，解得， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故． 方法二：是奇函数， ， ， 即恒成立． 或， 当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故满足题意． （2）由（1）知， 则由复合函数单调性可知在上为减函数， 又是奇函数，由得： ， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为， ，即． 【例8.2】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由是上的奇函数求出，，然后，即可判断出其单调性； （2）先化简得，根据题意恒成立，利用换元法和基本不等式可得实数m的取值范围． 【解答过程】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的x成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以，对任意的，， 有， 所以，故函数是上的增函数； （2）， 因为恒成立， 等价为恒成立， 令，， 则，则， 可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故． 【变式8.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； (3)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【解题思路】（1）根据奇函数的性质可知； （2）由函数为奇函数可得，即可求得，从而可得函数解析式，再根据分母不等于零即可得函数的定义域； （3）任取，且，利用作差法判断的大小即可得出结论. 【解答过程】（1）因为是其定义域上的奇函数，所以； （2）因为是其定义域上的奇函数，所以， 又由，有，解得，经验证是奇函数，则，定义域为； （3）在区间上的单调递减，理由如下： 对任意，且， ， 因为在单调递增，且，所以，所以， 所以在区间上的单调递减. 【变式8.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的解析式并用定义证明的单调性； (2)使得成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据奇函数（定义域为）的性质求出的值，再代入检验，最后根据单调性的定义证明函数的单调性； （2）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解. 【解答过程】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 则， 且， 所以为定义在上的奇函数，故，即. 是上的增函数，证明如下： 任取，且， 则 ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （2）当时，不等式即， 故， 则令，因为，所以， 由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以，即实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将根式转化为指数式，化简可得解. 【解答过程】， 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【解题思路】先求得的解析式，进而求得. 【解答过程】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【解题思路】由，变形代值即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【解题思路】根据指数函数定义求参. 【解答过程】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 5．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】利用基本不等式及指数幂的运算性质求最值，注意等号成立条件. 【解答过程】由，当且仅当，即时取等号， 所以目标式最小值为. 故选：C. 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【解答过程】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B. 7．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由复合函数单调性性质，求出单调区间，即可得到范围. 【解答过程】令，则 ∵，∴在上单调递增； ，对称轴为， 时，单调递减；时，单调递增； 由复合函数可知：时，单调递减；时，单调递增. 故，∴，∴. 故选：D. 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件求出，再代入讨论符号即可求解. 【解答过程】根据题意知，其图象无限接近直线但又不与该直线相交， 所以可求得，则函数， 所以 当时，则可得，又因单调递增，所以可得， 当时，则可得，又因单调递增，所以可得， 综上可得的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【解题思路】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【解答过程】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 10．（23-24高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 【解题思路】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【解答过程】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC. 11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（    ） A． B．有解 C． D．与的图象关于对称 【解题思路】对于A，验证符合题意即可说明选项错误；对于B，假设，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项正确；对于D，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误. 【解答过程】对于A：若，则由知的定义域包含，再由是奇函数有，代入得，故，经检验符合题意. 若，则，其定义域关于原点对称，且，从而是奇函数. 这表明的所有可能值是或，故A错误； 对于B：由上面的结论知或. 无论哪种情况，都意味着，两边同时平方得到，即，这是不可能的. 所以无解，故B错误； 对于C：若，则由知单调递减； 若，则由知在上单调递减. 无论怎样，都有在上单调递减，故. 所以，故C正确； 对于D：该选项的描述即为（若等号两边都有意义）. 即（若等号两边都有意义）. 但根据上面的论证，知在上单调递减，故时必有.故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= 1 . 【解题思路】根据指数幂的运算法则计算即可. 【解答过程】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1. 13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【解题思路】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【解答过程】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 14．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【解题思路】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【解答过程】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【解题思路】运用指数幂的性质计算即可. 【解答过程】（1） . （2） . 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【解题思路】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【解答过程】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 17．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【解题思路】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 18．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【解题思路】（1）根据函数为偶函数可得，整理即可求解； （2）利用作差法即可证明函数的单调性； （3）根据函数是偶函数且在上单调递增，可得，即可求解. 【解答过程】（1）由函数为偶函数，有， 可得， 有恒成立，解得， 故实数的值为. （2）由（1）可知， 设，由指数函数的性质有， 可得，则， 利用不等式的性质有， 又由，再由不等式的性质有， 所以，则， 故函数在上单调递增； （3）由函数为偶函数及函数在上单调递增， 可知函数的递增区间为，递减区间为，如图所示， 由函数的图象和性质可知，不等式可化为， 则或，解得或， 故不等式的解集为． 19．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【解答过程】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$