第15讲 等差数列（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第15讲 等差数列 【人教A版2019】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为 d+d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0. 【题型1 等差数列的基本量的求解】 【例1.1】（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例1.2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1.1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 等差数列的通项公式的求解】 【例2.1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【变式2.2】（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 【题型3 利用等差数列的性质解题】 【例3.1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【例3.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式3.1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【变式3.2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【题型4 等差数列的判定与证明】 【例4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【例4.2】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【变式4.1】（23-24高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列有，（常数），对任意的正整数n，，并有满足． (1)求a的值； (2)试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由． 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【例5.2】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【变式5.1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6.1】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为    （    ） A． B．0 C． D．5 【例6.2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求出数列的前项和． 【变式6.2】（23-24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【例7.2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 【变式7.1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【变式7.2】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8.1】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【例8.2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 【变式8.2】（23-24高二下·全国·单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，，（且），则数列的最大项是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·全国·专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 7．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 8．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且公差，若对于任意正整数n，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 三、填空题 12．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知等差数列中，，则 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的正整数的最大值为 ． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间插入1项，使其与原数列的数构成新的等差数列，则数列的通项公式为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 16．（2024高三·全国·专题练习）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.求数列的通项公式. 17．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 18．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中， 的前项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 19．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 等差数列 【人教A版2019】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为 d+d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0. 【题型1 等差数列的基本量的求解】 【例1.1】（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【解答过程】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A. 【例1.2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据等差数列基本量的计算，即可求解出. 【解答过程】在等差数列中， 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据条件，利用等差数列的下标和性质结合，进而得到，即可求解. 【解答过程】因为，，所以 故. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【解答过程】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D. 【题型2 等差数列的通项公式的求解】 【例2.1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【解答过程】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 【例2.2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出该等差数列的公差，即可得出该数列的通项公式. 【解答过程】由题意，， 在等差数列中，首项， 设公差为 ,前 30 项中奇数项的和为 , 偶数项的和为 , 且 , ∴，解得：， ∴， 即， 故选：B. 【变式2.1】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【解题思路】（1）由等差数列的定义确定新的公差即可求解； （2）由（1）所得通项公式代入验证即可 【解答过程】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 【变式2.2】（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 【解题思路】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求； （2）分别求出在不同通项公式下的的值； （3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案 【解答过程】（1）由，得， 又，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实根， 解得或 当时，公差 数列的通项公式为： 当时，公差， 数列的通项公式为： （2）当时， 当时， （3）当时，由，解得，不合题意， 所以不是数列中的项 当时，由，解得，所以是数列中的第20项. 另解：（1）由，得， 又，所以=7， 设数列的公差为则， 化简整理的，解得 数列的通项公式为：或 下解同前. 【题型3 利用等差数列的性质解题】 【例3.1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【解题思路】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解. 【解答过程】由题 ，解得， 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【解题思路】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将的值代入即可求出值． 【解答过程】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【解题思路】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求. 【解答过程】由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 【变式3.2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】先由等差数列的性质得，再用性质求解 【解答过程】解：依题意，由，得，即 所以 故选C. 【题型4 等差数列的判定与证明】 【例4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 【例4.2】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 【变式4.1】（23-24高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. 【解题思路】（1）根据递推关系式求得. （2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 则. 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列有，（常数），对任意的正整数n，，并有满足． (1)求a的值； (2)试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由． 【解题思路】（1）令结合已知条件可求出a的值； （2）由，得，两式相减化简结合等差数列的定义分析判断即可. 【解答过程】（1）由已知，得， 所以. （2）由得，则， 所以， 即， 于是有，并且有， 所以， 即， 而是正整数，则对任意正整数都有， 所以数列是等差数列， 因为，，所以公差 所以通项公式是. 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【解题思路】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【解答过程】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 【例5.2】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【解题思路】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【解答过程】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 【变式5.1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解. 【解答过程】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C. 【变式5.2】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【解答过程】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，， ，. 故选：A. 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6.1】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知等差数列的公差大于0，，，则的前10项和为    （    ） A． B．0 C． D．5 【解题思路】由题中条件根据等差数列性质求出，，，再利用等差数列求和公式求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，则． 由，得． 又，则， 又，则， 所以， 因此可得． 故选：C. 【例6.2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【解答过程】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求等差数列的通项公式； (2)求出数列的前项和． 【解题思路】（1）根据和的值先计算得到和，从而得到等差数列通项公式. （2）根据等差数列前项和公式计算. 【解答过程】（1）由题意，等差数列的公差，， 所以的通项公式为. （2）. 所以数列的前项和. 【变式6.2】（23-24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【解题思路】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【解答过程】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 【题型7 等差数列前n项和的最值】 【例7.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【解题思路】根据等差数列通项公式可求得公差，结合通项和求和公式可知AB正误；利用的二次函数性可确定CD正误. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：， 又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 【例7.2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 【解题思路】对于AB，利用等差数列求和公式求出，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用求得，利用数列单调性判断的最值即可. 【解答过程】对于A，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值，正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以当或时，取得最大值为，正确； 对于C，若，则，又， 所以，所以，正确； 对于D，若，则， 又，所以，所以， 所以等差数列为递减数列，所以， 所以取最大值时的值为9，错误. 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【解题思路】（1）根据与的关系求出通项公式； （2）根据等差数列的定义判断； （3）结合二次函数性质求解最小值及取得最小值时n的值. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 又， 所以时，也成立， 所以数列的通项公式为，. （2）数列为等差数列，证明如下： 因为， 所以数列是等差数列. （3）因为，又， 所以当或时，最小，最小值为. 【变式7.2】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 【解题思路】（1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式； （2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果； （3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，， 可得，，解得，，所以. （2）根据（1）中所求，， 是关于的二次函数，其对称轴； 又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36. （3）因为，所以，， 当时， ； 当时， ， 综上. 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8.1】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【解题思路】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【解答过程】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C. 【例8.2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【解题思路】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【解答过程】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·全国·课后作业）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 【解题思路】（1）根据条件求出时间的间隔，即可求得18时，最后一辆车行驶的时间； （2）每辆车行驶的时间构成数列，结合等差数列的求和公式进行计算，即可求解. 【解答过程】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时， 则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为， 所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟. （2）设每辆车行驶的时间构成数列， 由题意可得构成首项为，公差为的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为小时， 所以行驶的总里程为. 【变式8.2】（23-24高二下·全国·单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 【解题思路】（1）根据给定条件，构建数列，计算前3项，得出规律并计算第10项即可. （2）利用（1）的信息求出数列的通项，再求出项数及总和即得. 【解答过程】（1）设每月付款依次构成数列，， 则，， ，…， 显然，， 故第10个月应交付527.5元． （2）由（1）可得， 则为等差数列，且，数列前20项的和为， 所以， 所以买家用电器实际花了12025元． 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【解题思路】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【解答过程】由可得公差， 故, 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【解答过程】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【解答过程】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 4．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意整理可得，可知数列为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得，即可得结果. 【解答过程】因为，可得，可知数列为等差数列， 又因为，即，即， 可知是2为公差的等差数列， 且，则， 可得，即，所有. 故选：B. 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，，（且），则数列的最大项是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先构造数列，求出其通项公式，再利用累加法求数列的通项公式，结合函数的性质求数列的最大项. 【解答过程】∵（且），∴， ∴数列是公差为的等差数列． ∵，，∴， 所以. 所以当时，，，…，. 以上各式相加，得： . 所以 当时，上式亦成立. 所以对，有. 结合二次函数的性质，可知当时，取得最大值. ∴数列的最大项是． 故选：B. 6．（2024高二·全国·专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【解题思路】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【解答过程】设甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的钱数为数列，等差数列的公差为d， 依题意得即解得 所以，故丁有101钱． 故选：C． 7．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【解题思路】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得. 【解答过程】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 8．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设等差数列的首项为，公差为，根据条件得到，，从而得到，即可求出结果. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 【解题思路】对A，根据，分析即可；对B，根据判断即可；对CD，根据等差数列的定义判断即可. 【解答过程】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，因为，，，故B错误； 对C，，故数列是等差数列，故C正确； 对D，，故数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且公差，若对于任意正整数n，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，得到，，判断出AB选项；举例说明不一定为零可得C项错误；利用求和公式及等差数列性质得到，判断D项. 【解答过程】因为，所以，且， 即，， AB项，因为，，且， 所以，则，故A错误，B正确； C项，当，即时， 当时，；当时，， 所以此时数列满足恒成立，但，故C错误； D项，，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 【解题思路】根据已知条件得到，结合等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知等差数列中，，则 3 . 【解题思路】设等差数列的公差为，根据条件，利用等差数列的通项公式求得，即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，得到，即， 又，得到，所以 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的正整数的最大值为 3 ． 【解题思路】先由可得，再根据可得，进而可得. 【解答过程】设的公差为，由题可得，故， 则，， 由可得，又，故， 又，即的最大值为3． 故答案为：3. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间插入1项，使其与原数列的数构成新的等差数列，则数列的通项公式为 ． 【解题思路】根据题意可得等差数列的公差，且数列的公差，结合等差数列的通项公式分析求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得， 设数列的公差为，由题意可知， 故数列是以3为首项，4为公差的等差数列，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【解题思路】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【解答过程】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 16．（2024高三·全国·专题练习）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.求数列的通项公式. 【解题思路】先由题意得递推关系和首项，接着利用累加法结合等差数列前n项和公式即可求解. 【解答过程】依题意，且， 所以 ， 所以. 17．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【解题思路】（1）根据题意可得，结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可知公差为，且，结合等差数列的通项公式运算求解. 【解答过程】（1）因为 ， 可得，即， 所以是以公差为的等差数列． （2）由（1）知的公差为， 又因为，即，可得， 所以． 18．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中， 的前项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【解题思路】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 19．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由等差数列通项公式及前项和公式，列出方程即可求解； （2）由（1）确定，再结合等差中项列出方程，求解即可. 【解答过程】（1）解：设等差数列的公差为. 由已知得， 即解得. 故， （2）解：由（1）知.要使成等差数列，必须， 即， 移项得：，整理得， 因为为正整数，所以只能取. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$