2024-2025学年人教版数学九年级上册期中检测试卷（二） 【测试范围：人教版九年级上册21.1-22.3】

2024-2025学年九年级上学期（人教版） 期中数学检测试卷（二） 【测试范围：人教版九年级上册21.1-22.3】 （总分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意） 1．（2023湖北武汉·期中考题）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）. A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 2．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　）. A．y=（x﹣1）2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣2 3．（2023内蒙古呼和浩特·期中考题）下列运动形式属于旋转的是（　　）. A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 4．（2024贵州·中考真题）一元二次方程的解是（　　）. A．， B．， C．， D．， 5． 将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表 达式是（　　）. A．W=20x+16800≥17560 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2 6．（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）.    A． B． C． D． 7.（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　）. A． B． C．且 D．且 8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（　　）. A． a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 9.（2023海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（　　）.    A． B． C． D． 10． 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm， 最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）. A． B． C． D． 二、填空题（本题包括6小题，每空3分，共18分） 11．（2024山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 12．（2023四川泸州·期中考题）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ． 13．（2023山东青岛·期中考题）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ． 14．（2024四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 15．（2023黑龙江牡丹江·期中考题）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转至的位置，点B恰好在边上，则 度． 16．（2024湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题（本题包括7小题，共72分） 17．（8分）（1）（2024青海·中考真题）解一元二次方程：； （2）（2023四川广安·期中考题）解方程：①；②（配方法）； ③． 18．（8分）（2023浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 19．（8分）（2023福建漳州·期中考题）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． (1)若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； (2)若，求的长． 20．（10分）（2023江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        21．（10分）某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 （1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系： ①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y=（a≠0）． 你可选择的函数的序号是　 　． （2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？ 21．（11分）（2024山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 22．（11分）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直 线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分 别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为（1，0），半圆半径为2． （1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式． 23．（12分）（2024四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期（人教版） 期中数学检测试卷（二） （解析版） 【测试范围：人教版九年级上册21.1-22.3】 （总分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意） 1．（2023湖北武汉·期中考题）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）. A．5，7， B．，7，1 C．5，， D．5，，0 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 2．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　）. A．y=（x﹣1）2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣2 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣1﹣1=（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 3．（2023内蒙古呼和浩特·期中考题）下列运动形式属于旋转的是（　　）. A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 【考点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答． 【解答】解：A.足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意； B.电梯的运行是平移，不符合题意； C.热气球点火升空是平移，不符合题意； D.钟摆的摆动是旋转，符合题意； 故选：D． 4．（2024贵州·中考真题）一元二次方程的解是（　　）. A．， B．， C．， D．， 【考点】解一元二次方程 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【解答】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选：B． 5． 将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表 达式是（　　）. A．W=20x+16800≥17560 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【解答】y=x2向左平移1个单位得y=（x+1）2，再向上平移2个单位得y=（x+1）2+2． 故选：B． 6．（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）.    A． B． C． D． 【考点】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质． 【分析】由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【解答】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 7.（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　）. A． B． C．且 D．且 【考点】一元二次方程的定义及根的判别式 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 【解答】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（　　）. A． a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣＞0，又∵a＞0，∴b＜0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0. 故选：B．　 9.（2023海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（　　）.    A． B． C． D． 【考点】旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理. 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【解答】解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 10． 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm， 最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）. A． B． C． D． 【考点】二次函数的应用． 【分析】根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题． 【解答】∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm， ∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1）， ∴点D（1，1），点F（3，0），设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=a（x﹣3）2，则1=a（1﹣3）2，解得，a=， ∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=（x﹣3）2， 故选：D． 二、填空题（本题包括6小题，每空3分，共18分） 11．（2024山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【考点】本题考查了根的判别式 【分析】牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（2023四川泸州·期中考题）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ． 【考点】抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 13．（2023山东青岛·期中考题）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ． 【考点】旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是， 故答案为：． 14．（2024四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【考点】一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值． 【分析】对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 15．（2023黑龙江牡丹江·期中考题）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转至的位置，点B恰好在边上，则 度． 【考点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、旋转的性质. 【分析】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据旋转变换的性质得到，，，计算即可． 【解答】解：，， ， 由旋转的性质可知，，，， ∴， ， ， 故答案为：． 16．（2024湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【考点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【解答】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本题包括7小题，共72分） 17．（8分）（1）（2024青海·中考真题）解一元二次方程：； （2）（2023四川广安·期中考题）解方程：①；②（配方法）； ③． 【考点】（1）解一元二次方程——因式分解法法； （2）解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程. 【分析】（1）本题考查解一元二次方程，用因式分解法解即可； （2）本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．①直接开平方法解方程，即可作答．②先移项，再配方，然后开方，解方程，即可作答．③先得出，再代入求根公式进行计算，即可作答． 【解答】解：（1） 或； （2）①解： ∴； ②解： ∴ ∴； ③解：∵ ∴ ∴ ∴. 18．（8分）（2023浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【考点】利用待定系数法求解二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式． 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【解答】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 19．（8分）（2023福建漳州·期中考题）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． (1)若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； (2)若，求的长． 【考点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的概念和性质： （1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为的中点得出,由旋转的性质得 【解答】（1）解：根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得，， ∵ ∴ ∴, ∴旋转角度为， 故答案为：C； （2）解：∵，且点D为的中点， ∴ 由旋转得，. 20．（10分）（2023江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        【考点】一元二次方程的应用 【分析】根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 21．（10分）某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 （1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系： ①y=ax+b（a≠0）； ②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y=（a≠0）． 你可选择的函数的序号是　 　． （2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可． 【解答】（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时， 则，解得． ∴y=﹣6.5x+116， ∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90， ∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116； ②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时， 则,解得 ∴y=（x﹣20）2+26， ∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26． ③4×90=360，10×51=510，36×90=3240， ∵360≠510≠3240， ∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）． ∴选择的函数的序号是②． （2）∵y=（x﹣20）2+26， ∴当x=20时，y有最小值26， ∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元． 答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元． 21．（11分）（2024山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【考点】一元二次方程的应用(营销问题)、实际问题与二次函数(销售问题). 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【解答】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 22．（11分）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直 线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分 别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为（1，0），半圆半径为2． （1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．（2）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k． 【解答】（1）根据题意可得：A（﹣1，0），B（3，0）， 则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）， 又∵点D（0，﹣3）在抛物线上， ∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：a=1 ∴y=x2﹣2x﹣3， 自变量范围：﹣1≤x≤3 （2）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣3（k≠0）， 由题意可知方程组只有一组解 即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根， ∴k=﹣2， ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3． 23．（12分）（2024四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【考点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； （3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案． 【解答】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$