专题06图形的性质---三角形&四边形（5考点）-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（山东专用）

专题06 图形的性质---三角形&四边形 考点1 图形的初步认识 1．（2024•济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（　　） A．人 B．才 C．强 D．国 2．（2024•青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 块． 考点2 相交线与平行 3．（2024•日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 4．（2024•淄博）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．36° C．35° D．30° 5．（2024•东营）已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1＝30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 考点3 三角形 7．（2024•德州）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 8．（2024•济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 9．（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 10．（2024•济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　 　°． 11．（2024•德州）如图，C是AB的中点，且CD＝BE，请添加一个条件 　 ，使得△ACD≌△CBE． 12．（2024•淄博）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 13．（2024•山东）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1： 【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离． （参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． （2）乙小组的方案用到了 　　 ．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 14．（2024•滨州）【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替换为AB+BD＝AC+CD，还能推出∠B＝∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军、小民的证明过程补充完整． 考点4 多边形 15．（2024•日照）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形 　 　边形． 16．（2024•济南）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 17．（2024•山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 18．（2024•威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝　 　. 考点5 （特殊）平行四边形的性质与判定 19．（2024•济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　，使四边形ABCD是平行四边形． 20．（2024•东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　） A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO＝FO C．AE＝CF D．EF⊥BD 21．（2024•济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 23．（2024•青岛）如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝　 　． 24．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 25．（2024•济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE． 26．（2024•德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 27．（2024•青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 28．（2024•日照）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H． （1）由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 　 ； （2）求证：CB＝CH； （3）若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的性质---三角形&四边形 考点1 图形的初步认识 1．（2024•济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（　　） A．人 B．才 C．强 D．国 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “建”与“国”是对面， 故选：D． 【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键． 2．（2024•青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 块． 【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答． 【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，3，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）． 故答案为：12；144． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识．先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 考点2 相交线与平行 3．（2024•日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵∠2＝∠BOC＝120°，∠1+∠COM＝∠BOC，∠1＝40°， ∴∠COM＝120°﹣40°＝80°． 故选：B． 【点评】本题考查对顶角，理解对顶角的性质是正确解答的关键． 4．（2024•淄博）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．36° C．35° D．30° 【分析】依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∠D＝∠DBC； ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC70°＝35°． ∴∠D＝35°． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键． 5．（2024•东营）已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1＝30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【解答】解：∵∠1＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠ABC＝60°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 6．（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【分析】过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，根据∠β＝45°求出∠FEH即可求解． 【解答】解：过点E作EH∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EH∥FG， ∴∠BEH＝α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°， ∵β＝45°， ∴∠FEH＝180°﹣45°﹣15°＝120°， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣120°＝60°， ∴EF与FG所成锐角的度数为60°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 考点3 三角形 7．（2024•德州）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【分析】利用三角形面积公式求出BC，再根据中线的定义求出BE即可． 【解答】解：∵S△ABCBC•AD＝12，AD＝4， ∴BC＝6， ∵AE是中线， ∴BEBC＝3． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式及中线的定义是解题的关键． 8．（2024•济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠DCE＝∠ACB＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 9．（2024•泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数． 【解答】解：如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°， 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．（2024•济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　 　°． 【分析】利用平行线的性质求出∠3＝70°，可得结论． 【解答】解：如图， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3＝70°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠2＝180°﹣45°﹣70°＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 11．（2024•德州）如图，C是AB的中点，且CD＝BE，请添加一个条件 　 ，使得△ACD≌△CBE． 【分析】要使△ACD≌△CBE，已知CD＝BE，可求AC＝CB，则可以添加一个边从而利用SSS来判定其全等，或添加一个夹角从而利用SAS来判定其全等． 【解答】解：添加AD＝CE或∠A＝∠BCE后可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE． 故答案为：AD＝CE或∠ACD＝∠B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 12．（2024•淄博）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE． 请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE． 你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AE∥CF． 【分析】当选择①BF＝DE时，可依据“SSS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，可依据“SAS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE；综上所述即可得出答案（答案不唯一）． 【解答】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠B＝∠D， ∴AE∥CF； 当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下： 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； ∴∠B＝∠D， ∴AE∥CF； 当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE， 故答案为：①（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 13．（2024•山东）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1： 【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离． （参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． （2）乙小组的方案用到了 　　 ．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【分析】（1）如图，过B作BH⊥AP于H，先求解AH＝AB•cos79°≈60×0.19＝11.4米，BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8米，再求解∠APB＝37°及PH即可； （2）由全等三角形的判定方法可得△ADP≌△EDF（ASA），可得AP＝EF，从而可得答案． 【解答】解：（1）如图，过B作BH⊥AP于H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19， ∴AH＝AB•cos79°≈60×0.19＝11.4（米）， BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米）， ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°， ∴， ∴（米）， ∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）； 即A，P两点间的距离为89.8米； （2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时， ∴∠ADP＝∠EDF， ∴△ADP≌△EFD（ASA）， ∴AP＝EF， ∴只需测量EF即可得到AP长度； ∴乙小组的方案用到了②； 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键． 14．（2024•滨州）【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB+BD＝AC+CD．若把①中的BD＝CD替换为AB+BD＝AC+CD，还能推出∠B＝∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军、小民的证明过程补充完整． 【分析】（1）根据AD⊥BC，可以得到∠ADB＝∠ADC＝90°，然后根据SAS可以证明△ADB≌△ADC，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；由小民的证明过程可知，是根据勾股定理和相似三角形的判定和性质求的结论成立的，写出相应的证明过程即可． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠C； （2）小军的证明过程： 分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，如图所示， ∵AB+BD＝AC+CD， ∴BE+BD＝CF+CD， ∴DE＝DF， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝∠ADF＝90°， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）， ∴∠E＝∠F， ∵BE＝BA，CF＝CA， ∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF， ∴∠ABC＝∠ACB； 小民的证明过程： ∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形， 根据勾股定理，得：AD2+BD2＝AB2，AD2+CD2＝AC2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2+CD2＝AC2+BD2， ∵AB+BD＝AC+CD， ∴AB﹣CD＝AC﹣BD， ∴（AB﹣CD）2＝（AC﹣BD）2， ∴AB2﹣2AB•CD+CD2＝AC2﹣2AC•BD+BD2， ∴AB•CD＝AC•BD， ∴， 又∵∠ADB＝∠ADC， ∴△ADB∽△ADC， ∴∠B＝∠C． 【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 考点4 多边形 15．（2024•日照）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形 　 　边形． 【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：180（n﹣2）＝1080， 解得：n＝8， 故答案为：8． 【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用． 16．（2024•济南）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【分析】根据多边形的外角和列式计算即可． 【解答】解：由题意得360°÷45°＝8， 即这个正多边形是正八边形， 故选：C． 【点评】本题考查多边形的外角和，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 17．（2024•山东）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案． 【解答】解：∵四边形BCMN是正方形， ∴∠NBC＝90°， ∵∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°， ∴n的值为． 故选：A． 【点评】本题考查的是正方形的性质，多边形内角和外角，关键是正方形性质的应用． 18．（2024•威海）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝　 　. 【分析】根据题意利用多边形的内角和即可求得∠AFE，∠BAF的度数，继而求得∠AFG的度数，再根据平行线的性质求得∠FAH的度数，继而求得∠BAI的度数，最后根据直角三角形的两锐角互余即可求得答案． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AFE＝∠BAF120°， ∵∠EFG＝20°， ∴∠AFG＝120°﹣20°＝100°， ∵AH∥FG， ∴∠FAH＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BAI＝120°﹣80°＝40°， ∵BI⊥AH， ∴∠ABI＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质，结合已知条件求得∠FAH的度数是解题的关键． 考点5 （特殊）平行四边形的性质与判定 19．（2024•济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　，使四边形ABCD是平行四边形． 【分析】①当OB＝OD时，则OA＝OC，OB＝OD，进而得四边形ABCD是平行四边形；②当AD∥BC时，则∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，进而可依据“AAS”判定△OAD和△OCB全等，则OD＝OB，由此可得四边形ABCD是平行四边形；③AB∥CD时，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，进而可依据“AAS”判定△OAB和△OCD全等，则OB＝OD，由此可得四边形ABCD是平行四边形，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， 在△OAD和△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OD＝OB， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（AAS）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 20．（2024•东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　） A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO＝FO C．AE＝CF D．EF⊥BD 【分析】由矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，再由平行线的性质得出∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED， A、∵O为矩形ABCD两条对角线的交点， ∴OB＝OD， 在△BOF和△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（AAS），故A不符合题意； B、在△BOF和△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（AAS），故B不符合题意； C、∵AE＝CF， ∴BC﹣CF＝AD﹣AE， 即BF＝DE， 在△BOF和△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（ASA），故C不符合题意； D、∵EF⊥BD， ∴∠BOF＝∠DOE＝90°，不能判定△BOF≌△DOE，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 21．（2024•济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据菱形对角线互相垂直得到△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∵E是AB的中点， ∴OEAB， ∵OE＝3， ∴AB＝6， 即菱形的边长为6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AF＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解． 【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， ∵∠EMF+∠EGF＝180°， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴EM＝BE•cos30°＝4， ∴MHEM＝2AP， ∴AG≥AP＝2， ∴AG最小值是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 23．（2024•青岛）如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝　 　． 【分析】根据菱形的面积公式结合BC的长度即可得出BD、AC的长度，在Rt△BOC中利用勾股定理即可求出CO的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【解答】 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10， ∵S菱形ABCDAC•BD＝60， ∴AC•BD＝120， ∴BO•OC＝30， ∵BO2+CO2＝BC2＝100， ∴（BO+OC）2﹣2BO•CO＝100， ∴BO+CO＝4 （负值已舍去）， ∴BO＝4OC， ∴BO2+CO2＝102， ∴（4OC）2+CO2＝100， ∴CO，CO＝3（舍去）， ∵AE⊥BC，AO＝CO， ∴OE＝CO， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及直角三 角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求 出AC、BD的长度．本题属于基础题，难度不 大，解决该题型题目时，根据菱形的性质结合 勾股定理求出对角线的长度是关键． 24．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 【分析】作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，由菱形的性质得OD＝OB，OA＝OC，AC⊥BD，则，求得OHBC＝5，再证明△OFH∽△EFC，得，则ECOH＝6，再证明∠OEC＝∠COE，则OC＝EC＝6，求得OB8，则BD＝16，AC＝12，所以S菱形ABCDBD•AC＝96，于是得到问题的答案． 【解答】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC， ∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BC＝10，OD＝OBBD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴，∠BOC＝90°， ∴OHBC＝5， ∵OH∥EC，， ∴△OFH∽△EFC， ∴， ∴ECOH5＝6， ∵AC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC， ∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC， ∴∠OEC＝∠COE， ∴OC＝EC＝6， ∴OB8， ∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12， ∴S菱形ABCDBD•AC16×12＝96， 故答案为：96． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（2024•济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE． 【分析】根据菱形的性质得到AD＝CD，根据垂直的定义得到∠AED＝∠CFD＝90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AE⊥CD CF⊥AD， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， 在△AED与△CFD中， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∴AD﹣DF＝CD﹣DE， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 26．（2024•德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAC＝∠BCA，再证明∠BCA＝∠BAC，得AB＝BC，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB∠DCB＝37°，AC⊥BD，AOAC＝4，再由锐角三角函数定义求出BC的长即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：如图，连接BD交AC于点O， 由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB∠DCB74°＝37°，AC⊥BD，AOAC＝4， ∴∠AOB＝90°， 在Rt△CBO中，cos∠ACBcos37°≈0.80， 即0.80， 解得：BC≈5， 答：菱形ABCD的边长约为5． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 27．（2024•青岛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 【分析】（1）判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD，而AB∥CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形； （2）判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，∠BAO＝60°，由平行四边形的性质推出AC＝2AO，BD＝2OB，得到AC＝BD，即可证明四边形ABCD是矩形，由锐角的正切定义得到tan∠BAC． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO，∠BAO＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴tan∠BAC＝tan60°． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形当判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD；判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，由平行四边形的性质推出AC＝BD，由锐角的正切得到tan∠BAC． 28．（2024•日照）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H． （1）由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 　 ； （2）求证：CB＝CH； （3）若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积． 【分析】（1）由尺规作图即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠1＝∠CHB再由作图可知，∠1＝∠2，则∠CHB＝∠2，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （3）由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，则∠2＝∠AGB，进而证明∠1＝∠AGB，则AG＝AB＝4，得BC＝AD＝AG+GD＝6，CH＝CB＝6，过点H作HK⊥BC，交BC的延长线于点K，再由锐角三角函数定义求出HK的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】（1）解：由作图可知，∠1与∠2的数量关系是∠1＝∠2， 故答案为：∠1＝∠2； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠CHB， 由作图可知，∠1＝∠2， ∴∠CHB＝∠2， ∴CB＝CH； （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴∠2＝∠AGB， 由作图可知，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠AGB， ∴AG＝AB＝4， ∵AG＝2GD， ∴GD＝2， ∴BC＝AD＝AG+GD＝4+2＝6， 由（2）可知，CH＝CB＝6， 过点H作HK⊥BC，交BC的延长线于点K， 则∠HKC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠HCK＝∠ABC＝60°， 在Rt△HCK中，HK＝CH•sin∠HCK＝63， ∴S△BCHBC•HK6×39． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、尺规作图以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$